【优化方案】2012高中数学 第2章2.5.1等比数列的前n项和课件 新人教A版必修5

2．5等比数列的前n项和2．5.1等比数列的前n项和学习目标1.理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导过程．2．能够应用前n项和公式解决等比数列有关问题．3．进一步提高解方程(组)的能力，以及整体代换思想的应用能力．课堂互动讲练知能优化训练2.5.1等比数列的前n项和课前自主学案课前自主学案温故夯基1．数列{an}为等比数列⇔an＋1an＝q(q≠0且n∈N*)．2．等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(n∈N*)．3．等差数列的前n项和公式是：__________＝_______________na1＋12n(n－1)d.na1＋an2知新盖能等比数列的前n项和公式课堂互动讲练考点突破等比数列前n项和的有关计算Sn＝a1－anq1－q，Sn＝a11－qn1－q(q≠1)均为等比数列的求和公式，一共涉及a1，an，Sn，n，q五个量，通常已知其中三个，可求另外两个，而且方法就是解方程组，这也是求解等比数列问题的基本方法．在等比数列{an}中，(1)若a1＝1，a5＝16，且an＞0，求S7；(2)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n；(3)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求a4和S5.例1【思路点拨】(1)由an＝a1qn－1――→代入数据求出q――→利用公式求S7(2)Sn＝a11－qn1－q，an＝a1qn－1――→代入已知量列方程组―→求解(3)据an＝a1qn－1――→代换列方程组―→求a1，q―→求a4和S5【解】(1)设数列{an}的公比为q(q＞0)，则有a5＝a1q4＝16，∴q＝2，数列的前7项和为S7＝a11－q71－q＝1－271－2＝127.(2)由Sn＝a11－qn1－q，an＝a1qn－1以及已知条件得189＝a11－2n1－2，96＝a1·2n－1，∴a1·2n＝192，∴2n＝192a1.∴189＝a1(2n－1)＝a1(192a1－1)，∴a1＝3.又∵2n－1＝963＝32，∴n＝6.(3)设公比为q，由通项公式及已知条件得a1＋a1q2＝10，a1q3＋a1q5＝54，即a11＋q2＝10，①a1q31＋q2＝54.②∵a1≠0,1＋q2≠0，∴②÷①得，q3＝18，即q＝12，∴a1＝8.∴a4＝a1q3＝8×(12)3＝1，S5＝a11－q51－q＝8×[1－125]1－12＝312.变式训练1在等比数列{an}中，(1)已知a1＝3，an＝96，Sn＝189，求n；(2)已知S3＝72，S6＝632，求an.解：(1)由Sn＝a1－anq1－q可得189＝3－96q1－q，解得q＝2.又an＝a1qn－1，∴96＝3·2n－1，即2n－1＝32，∴n－1＝5，即n＝6.(2)已知S6≠2S3，则q≠1，又∵S3＝72，S6＝632，即a11－q31－q＝72①a11－q61－q＝632②②÷①得1＋q3＝9，∴q＝2.将q＝2代入①，可求得a1＝12，因此an＝a1qn－1＝2n－2.等比数列前n项和的性质等比数列前n项和的常用性质(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{an}中，公比为q.①若共有2n项，则S偶∶S奇＝q；②若共有2n＋1项，则S奇－S偶＝a1＋a2n＋21＋q(q≠1且q≠－1)．(2)“片断和”性质：等比数列{an}中，公比为q，前m项和为Sm(Sm≠0)，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，Skm－S(k－1)m，…构成公比为qm的等比数列，即等比数列的前m项的和与以后依次m项的和构成等比数列．已知等比数列{an}中，前10项和S10＝10，前20项和S20＝30，求S30.例2【思路点拨】法一：设公比为q→根据条件列方程组→解出q→代入求S30法二：根据题意S10，S20－S10，S30－S20成等比数列→S10＝10，S20＝30→S30【解】法一：设公比为q，则a11－q101－q＝10①a11－q201－q＝30②②①得1＋q10＝3，∴q10＝2，∴S30＝a11－q301－q＝a11－q101－q(1＋q10＋q20)＝10×(1＋2＋4)＝70.法二：∵S10，S20－S10，S30－S20仍成等比数列，又S10＝10，S20＝30，∴S30－S20＝S30－30＝30－10210，即S30＝70.等比数列的综合应用已知等差数列{an}，a2＝9，a5＝21.(1)求{an}的通项公式；(2)令bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Sn.【思路点拨】首先求出a1和d，再计算an，由bn＝2an可判断数列{bn}的类型．例3【解】(1)设等差数列{an}的公差为d，依题意得方程组a1＋d＝9，a1＋4d＝21，解得a1＝5，d＝4.所以{an}的通项公式为an＝4n＋1.(2)由an＝4n＋1得bn＝24n＋1，所以{bn}是首项为b1＝25，公比为q＝24的等比数列．于是得{bn}的前n项和Sn＝25×24n－124－1＝3224n－115.【名师点评】在解决等差、等比数列的综合题时，重点在于读懂题意，而正确利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式是解决问题的关键．变式训练2已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－n2，an＝log5bn，其中bn＞0，求数列{bn}的前n项和．解：设{bn}的前n项和为Sn′，当n＝1时，a1＝S1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3－2n，又∵an＝log5bn，∴bn＝53－2n.∵bn＋1bn＝53－2n＋153－2n＝125，b1＝5，∴{bn}是以5为首项，125为公比的等比数列，∴Sn′＝5[1－125n]1－125＝12524(1－125n)．1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．2．在前n项和公式的应用中，要注意对前n项和公式进行分类讨论，因为q≠1和q＝1时有不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．方法感悟3．理解等比数列前n项和公式与函数的关系．Sn＝a11－qn1－q＝a11－q－a11－qqn，设a＝a11－q，则Sn＝a－aqn，Sn为一个常数a减去a与指数函数的积，即若Sn＝a－aqn，则数列为等比数列．4．等比数列{an}前n项和Sn(Sn≠0)，前n项积Tn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…和Tn，T2nTn，T3nT2n，…都成等比数列．