3条件概率、全概率、贝叶斯公式

例1设口袋里装有8个球，5个红的，3个白的。先从中随机取出一球，然后把另一白球放入，再随机抽取一球。试求以下事件的概率：A：第一次取的是白球。B：第二次取的是白球。解：3,8PA335429888864PBPABPAB3388PAB其中：PAPBA记作5488PAB记作PAPBA条件概率及乘法公式乘法公式——PABPAPBA0PABPBAPAPA当时PABPBPAB0PABPABPBPB当时例2为防止意外，矿出内设有两种报警系统，单独使用时，系统A有效的概率为0.92，系统B有效的概率为0.93，在系统A失灵的情况下，系统B有效的概率为0.85，（1）C：发生意外时，这两个系统至少一个有效。求以下事件的概率。（2）D：系统B失灵的情况下，系统A有效。解：设A表示“A系统有效”，B表示“B系统有效”。由题目已知：0.92,0.93,0.85PAPBPBA1PBAPBPABPBAPAPA再由：0.862PAB例2为防止意外，矿出内设有两种报警系统，单独使用时，系统A有效的概率为0.92，系统B有效的概率为0.93，在系统A失灵的情况下，系统B有效的概率为0.85，（1）C：发生意外时，这两个系统至少一个有效。求以下事件的概率。（2）D：系统B失灵的情况下，系统A有效。解：设A表示“A系统有效”，B表示“B系统有效”。由题目已知：0.92,0.93,0.85PAPBPBA......0.862PAB10.988PCPABPAPBPAB20.82861PABPAPABPABPBPB乘法公式还可以推广至有限个事件的乘积的情形——123...nPAAAA例3在一个化妆舞会上，有20个男同学，10个女同学，试问：其中男同学GG请的第三个舞伴还不是女同学的概率。解：“请的第三个舞伴还不是女同学”相当于“第一、第二、第三次请的都是男同学”。设表示“第次请的是男同学”。iAi则所求事件的概率是：123121312PAAAPAPAAPAAA1918170.265292827121312121......nnPAPAAPAAAPAAAA凡事不过三例4在空战中，甲机向乙机开火，击落乙机的概率为0.4，若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率为0.5，若甲机仍未被击落，则再进攻乙机，击落乙机的概率为0.6，求这几个回合中，（1）甲机被击落的概率；（2）乙机被击落的概率。解：设A表“乙机受第一次袭击就被击落”B表“甲机被击落”C表“乙机受第二次进攻时被击落”则“甲机被击落”的概率0.60.50.3PBPAB“乙机被击落”的概率PAPCPAPABC0.40.60.50.60.58例1设口袋里装有8个球，5个红的，3个白的。先从中随机取出一球，然后把另一白球放入，再随机抽取一球。试求以下事件的概率：A：第一次取的是白球。B：第二次取的是白球。解：3,8PA335429888864PBPABPAB回顾例1：B的出现与A和A均有关，所以把B分解为AB+AB去解决问题。全概率公式则对任一随机事件B，有1niiiPBPAPBA（全概率公式）证明：12...nPBPBPBAAA12...nPBABABA1niiiPAPBA12...nPBAPBAPBA定理设构成一个完备事件组，且诸12,,...nAAA0,iPA例5设播种用的麦种由一等、二等、三等、四等的种子混合而成，分别占0000000095.5,2,1.5,1,已知由一、二、三、四等种子长出的麦穗含50粒以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05。求由这些种子所结的麦穗含50粒以上麦粒的概率。解：设表示“此种子是第等的”。iAi1,2,3,4i表示“所结的麦穗含50粒以上麦粒”B1234PBPABABABAB则0.9550.50.020.150.48250.0150.10.010.0541iiiPAPBA甲盒乙盒丙盒3白球2红球4白球3红球5白球4红球取1球取1球例6如上图所示，求小孩取到红球的概率。取1球解：设A表示“从甲盒中取出红球”，C表示“从丙盒中取出红球”。,BABABCBCBC则有：B表示“从乙盒中取出红球”，甲盒乙盒丙盒3白球2红球4白球3红球5白球4红球取1球取1球取1球例6如上图所示，求小孩取到红球的概率。解：......PBPAPBAPAPBA24331758584023140PBPB甲盒乙盒丙盒3白球2红球4白球3红球5白球4红球取1球取1球取1球例6如上图所示，求小孩取到红球的概率。解：......17,40PB23140PBPBPCPBPCBPBPCB17523417740104010400M白球N红球M白球N红球......M白球N红球取1球K个盒如上图所示，怎么求小孩取到红球的概率?答案：NPMN方法：数学归纳法。取1球取1球取1球有些问题，利用它的层次感去看问题是方便的，如前面各例，但有些问题则适宜整个面地去看。例如：某班有20个同学，采取抽签的方式分配三张音乐会门票,求第二位同学MM抽到门票的概率.方法一：第二位同学MM抽到门票的概率为3217332019201920319!320!20方法二：第二位同学MM抽到门票的概率为若MM同学排得比较后，则用此法描述不便。MM同学排哪都无所谓。例5*设播种用的麦种由一等、二等、三等、四等的种子混合而成，分别占0000000095.5,2,1.5,1,已知由一、二、三、四等种子长出的麦穗含50粒以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05。若某粒种子所结的麦穗含50粒以上表示“所结的麦穗含50粒以上麦粒”B41iiiPBPAPBA则0.4825麦粒，问它是一等品的概率是多少？1PAB所求的概率为：111PAPBAPABPBPB0.9550.50.98960.4825解：设表示“此种子是第等的”。iAi1,2,3,4i设播种用的麦种由一等、二等、三等、四等的种子混合而成，分别占0000000095.5,2,1.5,1,已知由一、二、三、四等种子长出的麦穗含50粒以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05。表示“所结的麦穗含50粒以上麦粒”B设表示“此种子是第等的”。iAi1,2,3,4i在这个问题中则称为验前概率，10.955PA10.9896PAB称为验后概率。求验后概率的公式——贝叶斯(Bayes)公式（贝叶斯公式）1kkkniiiPAPBAPABPAPBA1kkniiiPAPBAPAPBAkkkkPAPBAPABPABPBPB证明：定理设构成一个完备事件组，且诸12,,...nAAA0,iPA则对任一概率不为零的随机事件B，有0PB例7某保险公司针对人群中的某一类事故进行一项经营分析，认为人可以分为“易出事故的”和“比较谨慎的”两类。前者在一年内发生一起事故的概率是0.06，而后者在一年内发发生一起事故的概率是0.02（假定不存在一年内发生两次以上事故的情形），如果第一类人占人群的，那么，0030一保险新客户在购买保单的一年内将发生一起事故的概率是多少？若他（她）在一年内真发生了一起事故，问他（她）是易出事故的人的概率是多少？解：设A表示“该人属于易出事故的那一类”，B表示“该人出事故了”。10.30.060.70.020.032PB则：2PAPBAPABPB0.30.060.032安全第一！0.5625例8艾滋病普查：使用一种血液试验来检测人体内是否有携带艾滋病病毒。设这种试验的假阴性比例为，假阳性比例为。据统计人群中携带病毒者约占，若某人的血液检验结果呈阳性，试求该人携带艾滋病病毒的概率。0050010001解：设A表示“该人携带艾滋病病毒”，B表示“该人血液检验结果呈阳性”。则：0.001,0.95,0.01.PAPBAPBA所求的概率为：PABPAPBAPABPBPB0.0010.950.08680.0010.950.9990.01点解？