(线性代数)第一章 矩阵

线性代数数学系我想说•课程的重要性•课程要求综合考评课时分配•如何学好做好预习复习多看多练多想工科基础考研基础期末成绩平时成绩授课学时4*8=32习题课1*4=4数学实验(5%)数学实验2*2=4答疑时间：周一晚1-2节教八4楼专用教室按时完成作业ABC教材与参考书目•教材•购书联系方式•参考书目工程数学—线性代数，第4版，同济大学应用数学系，2003，高教出版社线性代数作者：陈建龙，周建华，韩瑞珠，周后型唐风书店(山西路军人俱乐部长三角文化用品)科学出版社，2007.2线性代数附册—学习辅导与习题选解，第4版，同济大学应用数学系，2003，高教出版社定价：18.00线性代数一、核心工具解线性方程组线性方程组Axb方程间的关系向量间的关系矩阵的性质和运算行列式的运算返回考虑再学方程对应一个向量再学向量组构成矩阵再学方阵再学二、主要问题应用线性方程组•求方阵的特征值特征向量•方阵的相似对角化问题•实对称矩阵的正定性三、重点难点•向量组的线性无关性•逆矩阵线性方程组：11112212112222axaxbaxaxb11112211211222221122nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb11112122122212,,,,,,,,,nnmmmmnAaaaAaaaAaaaAxb1112111212222212,,nnmmmnmnaaabxaaabxAbxaaabx教学内容和基本要求第一章矩阵教学内容学时数§1.1-1.2矩阵的基本概念和运算2§1.3分块矩阵§1.4初等变换与初等矩阵2§1.5方阵的逆矩阵§1.6行列式的定义2§1.6行列式的性质及计算§1.7矩阵的秩2第一章矩阵§1.1矩阵的基本概念一.矩阵与向量二.几种特殊矩阵一.矩阵的线性运算三.矩阵的转置§1.2矩阵的基本运算二.矩阵的乘法例1.某厂家向三个代理商发送四种产品.A=2050302516201616B=200180190100120100150160140180150150第一章矩阵§1.1矩阵的基本概念单价(元/箱)重量(Kg/箱)数量(箱)南京苏州常州啤酒(瓶装)2016200180190啤酒(易拉罐)5020100120100干啤3016150160140生啤2516180150150§1.1矩阵的基本概念例2.四个城市间的单向航线如图所示.若aij表示从i市到j市航线的条数,则右图可用矩阵表示为1423A=[aij]=0111100001001010①②③④①④③②第一章矩阵§1.1矩阵的基本概念§1.1矩阵的基本概念一.矩阵与向量1.mn矩阵(Matrix)元素:aij(i=1,…,m,j=1,…,n)注:元素都是实(复)数的矩阵称为实(复)矩阵.今后除非特别说明,我们所考虑的矩阵都是实矩阵(Rm×n).复矩阵(Cm×n).Am×n==(aij)m×na11a12…a1na21a22…a2n…………am1am2…amnn阶方阵:nn矩阵2.方阵主对角线元素:aii(i=1,…,n)3.向量(Vector)n维行向量:1n矩阵ai=(ai1,ai2,…,ain)n维列向量:n1矩阵Aj=常用希腊字母,,表示.5.同型矩阵A=(aij)mn与B=(bij)mn6.相等矩阵A=B•aij=bij,1im,1jn•同型矩阵第一章矩阵§1.1矩阵的基本概念a1ja2j…anj4.11矩阵(a11)=a117.零矩阵Omnaij=0，1im,1jn1.对角矩阵(diagonal)=diag(1,2,…,n)=10…002…0…………00…n2.数量矩阵A111nE3.单位矩阵引入Kronecker记号ij=1,i=j0,ij=(ij)=(ij)=(iij)第一章矩阵§1.1矩阵的基本概念二.几种特殊矩阵4.三角矩阵a11a12…a1n0a22…a2n…………00…anna110…0a21a22…0…………an1an2…anna11…a1n-1a1na21…a2n-10…………an1…000…0a1n0…a2n-1a2n…………an1…a1n-1ann上三角矩阵：方阵的主对角线下的元素全为0下三角矩阵：方阵的主对角线上的元素全为0第一章矩阵§1.1矩阵的基本概念5.行阶梯矩阵称A中非零行的行数为A的阶梯数,记为r(A).(简称阶梯阵)(rowechelonform)若A有零行(元素全为零的行),则零行位于最下方;非零行的非零首元(自左至右第一个不为零的元,称为主元)的列标随行标的递增而递增.r(A)=3r(A)=4第一章矩阵§1.1矩阵的基本概念11204013220002300000110040102200023000046.行最简形矩阵A为阶梯形矩阵(简称阶梯阵)若A有零行,则零行位于最下方;主元的列标随行标的递增而递增.A为行最简形矩阵(reducedrowechelonform)(rref)各非零首元(主元)全为1,主元所在的列(称为主列)除1外其余元素全为0.不是rref单位列向量第一章矩阵§1.1矩阵的基本概念是rref102010130200010000001010101000011000000000§1.1矩阵的基本概念一.矩阵与向量二.几种特殊矩阵一.矩阵的线性运算三.矩阵的转置§1.2矩阵的基本运算二.矩阵的乘法Amn=(aij)mn1.n阶方阵2.三角矩阵3.对角矩阵=diag(1,2,…,n)4.数量矩阵5.单位矩阵En=(ij)=(ij)=(iij)6.行阶梯矩阵7.行最简形矩阵主元全为1,主列为单位列向量.0行最下方;主元列标随行标递增1.加法注1:A,B同型.C=A+B=(aij+bij)mn注3:负矩阵A=(aij)mn注4:减法：2.数乘kA=(kaij)mn=向量:k+l=(kai+lbi)(A,B是同型矩阵)kAlB=(kaijlbij)mn第一章矩阵§1.2矩阵的基本运算ka11ka12…ka1nka21ka22…ka2n…………kam1kam2…kamn§1.2矩阵的基本运算一.矩阵的线性运算AB=A+(B)3.性质定理2.1设A,B,C,O是同型矩阵,k,l是数,则(1)A+B=B+A,(2)(A+B)+C=A+(B+C),(3)A+O=A,(4)A+(A)=O,(5)1A=A,(6)k(lA)=(kl)A,(7)(k+l)A=kA+lA,(8)k(A+B)=kA+kB.(9)kA=0k=0或A=O.(10)A+X=BX=BA.第一章矩阵§1.2矩阵的基本运算A=2050302516201616B=200180190100120100150160140180150150单价(元/箱)重量(Kg/箱)数量(箱)南京苏州常州瓶装啤酒2016200180190易拉罐5020100120100干啤3016150160140生啤2516180150150总价(元)180001815016750总重(Kg)10480102409680CC=AB1.设A=(aij)ms,B=(bij)sn,则A与B的乘积是C=AB=(cij)mn=(Ai*B*j)=,其中cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj=aikbkj.k=1s二.矩阵的乘法1sikkjkab注1:时才有意义，且.mnrsCABnrmsC(1)(kA)B=k(AB),(2)A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC,(3)(AB)C=A(BC).注2:性质第一章矩阵§1.2矩阵的基本运算AB=(Ai*B*j)=二.矩阵的乘法1sikkjkab注3:123aaa112233ababab注4:ABBA•不一定都有意义•同型但不相等AB:A左乘以B;B右乘以A•有意义但不同型123bbb133131123bbb123aaa1311ab21ab31ab3312ab22ab32ab13ab23ab33ab34424234ABBA101212003400121010340030第一章矩阵§1.2矩阵的基本运算注5:方阵的正整数幂：A2=AA,Ak+1=AkA,AkAl=Ak+l,(Ak)l=Akl,(AB)kAkBk,(A+B)2A2+B2+2AB,只有AB=BA时等式成立.注6:消去率未必成立.ABOAOorBO100000001100ABABACAOorBCABCO(AB)k=ABABAB.(A+B)2=(A+B)(A+B)=A2+B2+AB+BA比如:第一章矩阵§1.2矩阵的基本运算(A+B)(AB)=A2B2AB+BAA2B2例3.关于Ak解:200611,2,,.1若求，，11,2112111,2112122006200512112第一章矩阵§1.2矩阵的基本运算注7：对角矩阵的性质•==(iij)(tiij)=(itiij)=(tiij)(iij)=•EmAm×n=Am×n=Am×nEn•(aEm)Am×n=aAm×n=Am×n(aEn)t10…00t2…0…………00…tn10…002…0…………00…n1t10…002t2…0…………00…ntn=第一章矩阵§1.2矩阵的基本运算注8：方阵的多项式设A为一个方阵,f(x)为一个多项式称之为方阵A的一个多项式.f(x)=asxs+as1xs1+…+a1x+a0f(A)=asAs+as1As1+…+a1A+a0E1212A23fxxx23fAAAE例5：1212123121212E3E第一章矩阵§1.2矩阵的基本运算第一章矩阵§1.2矩阵的基本运算一.矩阵的线性运算二.矩阵的乘法三.矩阵的转置kAlB=(kaijlbij)mnAB=(Ai*B*j)=1sikkjkabABBAABOAOorBO•矩阵乘法是否有意义，乘积矩阵的行列数•交换率一般不成立•消去率一般不成立三.矩阵的转置1.设矩阵A=(aij)m×n,则矩阵A的转置为TTijAajinma11121naaa21222naaa12mmmnaaa2.性质：(1)(AT)T=A,n×m(4)证明：1sTTTTijikkjkBABATjiijABAB1sjkkikab1skijkkba(2)(A+B)T=AT+BT,(4)(AB)T=BTAT.(3)(kA)T=kAT,第一章矩阵§1.2矩阵的基本运算=3.对称矩阵满足AT=A.A=(aij)mn为对称矩阵m=n且aij=aji(i,j=1,2,…,n).反对称矩阵A：满足AT=A.A=(aij)mn为反对称矩阵A为方阵且aij=aji(i,j=1,2,…,n).比如：123240305A为对称矩阵；0110B为反对称矩阵.第一章矩阵§1.2矩阵的基本运算•反对称矩