工科概率统计3-4

概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布随机变量离散型分布律连续型概率密度分布函数函数分布边缘分布律边缘密度条件密度条件分布律独立性概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布1、多维随机变量的定义上是定义同一样本空间）（设SXXXn)(,),(,21.))(,),(),((,21维随机向量维随机变量或上的为样本空间则称的随机变量nnSXXXn2、多维随机变量的联合分布函数元函数称n.))(,,)(,(),,,(221121函数元随机变量的联合分布是）（nxXxXxXPxxxFnnn类似于高等数学中二元函数的有关结论可推广到多元函数一样,二维随机变量的有关结论也可推广到多维随机变量.一、基本内容与结论概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布),(),(yYxXPyxF概率．点的无穷矩形中的为右上顶落在以点表示平面上的随机，意义是：二元分布函数的几何),(,yxYXyxFy(x,y)(X,Y)概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布，，设：2121yyxx则2121,yYyxXxP1222,,yxFyxF1121yxFyxF，，yxox1x2y1y2(X,Y)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)(x1,y1)概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布3、分布函数具有以下的基本性质：F(x,y)是变量x,y的不减函数，即对于任意固定的y,当x1x2时，对于任意固定的x,当y1y2时，);,(),(21yxFyxF);,(),(21yxFyxF对于任意固定的Y,对于任意固定的X,,1),(0yxF;0),(yF;0),(xF.1),(;0),(FF(2)(1)且概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布(3)F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0),即F(x,y)关于x右连续，关于y也右连续..0),(),(),(),(21111222yxFyxFyxFyxFyxox1x2y1y2(X,Y)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)(x1,y1)(4)概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布4、边缘分布函数的分布和则的联合分布函数为设YXyxFYX),,(),(函数为),()()(YxXPxXPxFX),(),(limxFyxFy),(),(lim)(yFyxFyFxY同理.),()()(的边缘分布函数、关于为、称YXYXyFxFYX其分布律为为离散型随机变量若,),(YX，，，，21jiyYxXPPjiij概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布iixXPP.则jijjjipyYxXP，同样地称边缘分布律的关于为二维随机变量则称,),(),,2,1(XYXniPijjyYPP.iijijipyYxXP),(.),(),,2,1(分布律的边缘关于为二维随机变量YYXnj概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布5、定义：对于二维随机变量(X,Y)分布函数F(x,y)，如果存在非负函数f(x,y)，使得对于任意的x，y有：yxdudvvufyxF,),(),(则称(X,Y)是连续型的二维随机变量，函数f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的概率密度，或称为X和Y的联合概率密度。概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布6、概率密度f(x,y)具有以下性质：;0),()1(yxf;1),(),()2(Fdxdyyxf).,(),(),(),()3(2yxfyxyxFyxyxf连续，则有在点若（4）设G是平面上的一个区域，点(X,Y)落在G内的概率为：GdxdyyxfGYXP.),(}),{(概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布在几何上z=f(x,y)表示空间的一个曲面，上式即表示P{(X,Y)G}的值等于以G为底，以曲面z=f(x,y)为顶的柱体体积xyz概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布7、边缘概率密度),()()(xFxXPxFXdudvvufx),(相应概率密度为为连续型随机变量可以看出,dyyxfxFxfXX),()()('dxyxfyfY),()(同理.)()(的边缘概率密度、为关于、称YXyfxfYX概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布定义：设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j,若P{Y=yj}0,则称,2,1,}{},{}|{ippyYPyYxXPyYxXPjijjjiji为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律。条件分布律具有分布律的以下特性：10P{X=xi|Y=yj}0；1110.11}|{2ijjiiijjjijjippppppyYxXP8、条件分布概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布同样对于固定的i,若P{X=xi}0,则称,2,1,}{},{}|{jppxXPyYxXPxXyYPiijijiij为在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律。,0,),(yYX对于任意为连续型随机变量设若,0)(yyYyP)(lim0yyYyxXPy).()(,,yYxXPyxFXyYYX或记作分布函数的条件下关于则称此极限为在条件存在概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布xYYXYXYXyfyxfyxfdxyxfyxF.)(),()(,)()(其中.)(的条件概率密度下关于为称XyYyxfYX,)()(dyxyfxyFyXYXY类似地.)(),()(xpyxfxyfXXY其中.)(的条件概率密度下关于为称YxXxyfXY概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布9.随机变量的独立性．是相互独立的随机变量，则称，，有，的．如果对于任意的分布函数为随机变量，的分布函数为，又随机变量，合分布函数为是二维随机变量，其联，设YXyFxFyxFyxyFYxFXyxFYXYXYX概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布由独立性的定义可知yYxXPyxF，，⑴．由于yYPyFxXPxFYX，以及：相互独立，实际上是指与可知，随机变量YX相互独立．与，随机事件，对于任意的yYxXyx概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布相互独立，则由与⑵．如果随机变量YXyFxFyxFYX，可知，唯一确定．与可由其边缘分布函数，函数的联合分布，二维随机变量yFxFyxFYXYX概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布离散型随机变量的独立性，其联合分布律为是二维离散型随机变量，设YXjiijyYxXPp，的分布律为又随机变量X，，，21jiiixXPp，，21i的分布律为随机变量YjjyYPp，，21jji，如果对于任意的jiijppp．是相互独立的随机变量，则称YX概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布连续型随机变量的独立性，，数为，其联合密度函是二维连续型随机变量，设yxfYX．是相互独立的随机变量，则称YX必须成立．，的所有连续点，特别地，上式对yxyxf，的边缘密度函数为又随机变量xfXX有，，如果对于几乎所有的yxyfxfyxfYX，，缘密度函数为yfY的边随机变量Y概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布10.随机变量函数的分布，，数为，其联合密度函是二维连续型随机变量，设yxfYX)1(，令：YXZdyyyzfzfZ，相互独立，则有与特别地，如果随机变量YXyfxfyxfYX，此时，我们有概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布dyyfyzfzfYXZyfxfzfYXZ*dxxzfxfzfYXZdyyfyzfzfYXZ),(~,),,2,1)(,(~12112niiniiniiiiiNXniNX则且相互独立若概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布．令：，密度函数为的分布函数为随机变量，是独立同分布的连续型，，，设xfxFXXXXn121，，，，，，，，nnnXXXXXXXX2121)1(maxmin)(),(,)()()(111xfxFXxfxFXnnn密度函数为的分布函数为为，密度函数的分布函数为设随机变量(2)．最值的分布xXPxF11xXXXPn，，，21min概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布xXxXxXPn，，，211xXXXPn，，，21min1xXPxXPxXPn211xXPxXPxXPn111121nxF11xFxf11所以，xfxFnn11xXPxFnnxXXXPn，，，21max概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布xXxXxXPn，，，21xXPxXPxXPn21nxFxFxfnn所以，xfxFnn1概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布二、类题解析例1.二维随机变量的分布函数则函数分别为分布分别为变量且它们的概率密度连续型随机为任意两个相互独立的和设),(),(),(),()1(212121xFxFxfxfXX[]密度必为某随机变量的概率、)()(21xfxfA密度必为某随机变量的概率、)()(21xfxfB函数必为某随机变量的分布、)()(21xFxFC函数必为某随机变量的分布、)()(21xFxFDD概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布;,211)]()([21不成立知解：由Adxxfxf;,1)()(21不成立知未必等于由Bdxxfxf;,211)]()([lim21不成立知由CxFxFx事实上必选,D①),()0,211121xFxFxx（则对给定的实数),()()()(),()0222112112212xFxFxFxFxFxF得（;)()(21单调不减即xFxF②;1)()(01)(0,1)(02121xFxFxFxF知由概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三