工科概率统计4-2

概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征第二节方差§4.2方差一、方差概念二、方差的性质三、切贝雪夫(chebyshev)不等式概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征引例甲、乙两射手各打了6发子弹,每发子弹击中的环数分别为：问哪一个射手的技术较好？解首先比较平均环数甲=8.3,乙=8.3甲10,7,9,8,10,6,乙8,7,10,9,8,8,有五个不同数有四个不同数§4.2方差概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征再比较稳定程度34.13)3.86()3.87()3.88()3.89()3.810(222222甲：乙：34.5)3.87()3.88(3)3.89()3.810(2222乙比甲技术稳定，故乙技术较好.概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征进一步比较平均偏离平均值的程度甲])3.86()3.87()3.88()3.89()3.810(2[6122222乙])3.87()3.88(3)3.89()3.810[(61222222.26/34.1389.06/34.5512)(kkkpXEx412)(kkkpXExE[X-E(X)]2概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征若E[X-E(X)]2存在,则称其为随机称)(XD为X的均方差或标准差.一、方差概念定义即D(X)=E[X-E(X)]2变量X的方差,记为D(X)或Var(X)两者量纲相同概念D(X)——描述r.v.X的取值偏离平均值的平均偏离程度——数概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征,2,1,)(kpxXPkk若X为离散型r.v.，分布律为12)()(kkkpXExXD若X为连续型r.v.，概率密度为f(x)dxxfXExXD)()()(2计算方差的常用公式：)()()(22XEXEXD概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征D(C)=0D(aX)=a2D(X)D(aX+b)=a2D(X)))())(((2)()()(YEYXEXEYDXDYXD特别地，若X,Y相互独立，则)()()(YDXDYXD二、方差的性质性质概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征若nXX,,1相互独立，baaan,,,,21为常数则niiiniiiXDabXaD121)(若X,Y相互独立)()()(YDXDYXD)()()(YEXEXYE对任意常数C,D(X)E(X–C)2,当且仅当C=E(X)时等号成立D(X)=0P(X=E(X))=1称为X依概率1等于常数E(X)概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征常见随机变量的方差分布方差概率分布参数为p的0-1分布pXPpXP1)0()1(p(1-p)B(n,p)nkppCkXPknkkn,,2,1,0)1()(np(1-p)P(),2,1,0!)(kkekXPk方差表概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征分布方差概率密度区间(a,b)上的均匀分布其它,0,,1)(bxaabxf12)(2abE()其它,0,0,)(xexfx21N(,2)222)(21)(xexf2概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征例4已知X,Y相互独立,且都服从N(0,0.5),求E(|X–Y|).解)5.0,0(~),5.0,0(~NYNX1)(,0)(YXDYXE故)1,0(~NYXdzezYXEz2221|||)(|222202dzezz例4概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征例5设X表示独立射击直到击中目标n次为止所需射击的次数,已知每次射击中靶的概率为p,求E(X),D(X).解令Xi表示击中目标i-1次后到第i次击中目标所需射击的次数，i=1,2,…,n1,2,1,)(1qpkpqkXPki1111)(kkkkikqpkpqXEpqp1)1(12nXXX,,,21相互独立，且niiXX1例5概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征11112)1()(kkkkikpqpqkkXEpqkkpqkk1)1(22pxdxdpqqxkk1022pxpqqx1)1(2322pp222112)(pppppXDi概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征pnXEXEnii1)()(故21)1()()(ppnXDXDnii本例给出了几何分布与巴斯卡分布的期望与方差概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征例6将编号分别为1~n的n个球随机地放入编号分别为1~n的n只盒子中,每盒一球.若球的号码与盒子的号码一致，则称为一个配对.求配对个数X的期望与方差.解niiiXi,,2,1,0,1其它号盒号球放入则niiXX1nXXX,,,21不相互独立，但例6概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征11)()(1nnXEXEnii212)(niiXEXEiXP10n1n11ni,,2,1nnjijiniiXXXE1122nnjijiniiXXEXE112)(2)(概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征2iXP10n1n11ni,,2,1nji,,2,1,jiXXP10)1(1nn)1(11nnnXEi1)(2)1(1)(nnXXEji概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征nnjijiniiXXEXEXE1122)(2)()(nnjininnn11)1(121)1(1212nnCnnn21)()()(22XEXEXD概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征标准化随机变量设随机变量X的期望E(X)、方差D(X)都存在,且D(X)0,则称)()(XDXEXX为X的标准化随机变量.显然，1)(,0)(XDXE概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征仅知r.v.的期望与方差并不能确定其分布XP-1010.10.80.1YP-2020.0250.950.025与2.0)(,0)(XDXE2.0)(,0)(YDYE有相同的期望方差但是分布却不相同例如概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征例7已知X服从正态分布,E(X)=1.7,D(X)=3,Y=1–2X,求Y的密度函数.解1234)(,4.27.121)(YDYEyeyfyY,621)(24)4.2(2例7在已知某些分布类型时,若知道其期望和方差,便常能确定分布.概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征例8在[0,1]中随机地取两个数X,Y,求D(min{X,Y})解其它,010,10,1),(yxyxf1101010},min{yxdxdyyx.3/1dydxydxdyxyx101101}),(min{YXE附例概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征dydxydxdyxYXEyx101210122}),{(min.6/1},min{},{min}),(min{22YXEYXEYXD.18/1概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征例9已知X的d.f.为其它,0,10,)(2xBxAxxf其中A,B是常数，且E(X)=0.5.(1)求A,B.(2)设Y=X2,求E(Y),D(Y)例8概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征解(1)1)()(102dxBxAxdxxf21)()(102dxBxAxxdxxxf2134123BABA6,6BA概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征(2).10/3)66(1022dxxxx.7/1)66(1024dxxxx.70037)()()(22YEYEYDdxxfxXEYE)()()(22dxxfxXEYE)()()(442概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征设随机变量X的方差D(X)存在，则对于任意实数0,2)()|)((|XDXEXP三、切贝雪夫(chebyshev)不等式或2)(1)|)((|XDXEXP当2D(X)无实际意义,则的概率密度为证明：设),(xfX)()()|)((|XExdxxfXEXP概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征)(22)()(XExdxxfXExdxxfXEx)()(1222)(XD例10设有一大批种子，其中良种占1/6.试估计在任选的6000粒种子中,良种所占比例与1/6比较上下小于1%的概率.解设X表示6000粒种子中的良种数,X~B(6000,1/6)概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征01.0616000XP65000)(,1000)(XDXE)60|1000(|XP2606500017685.010883例1作业P138习题1617192122