北京市人大附中2018届高三第二次模拟考试数学(文)试卷(含答案)

·1·人大附中2018届高三第二次模拟考试卷文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·菏泽期末]已知，则复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．[2018·武邑中学]设为锐角，，，若与共线，则角（）A．15°B．30°C．45°D．60°3．[2018·丹东期末]下列函数为奇函数的是（）A．B．C．D．4．[2018·渭南质检]如图，执行所示的算法框图，则输出的值是（）·2·A．B．C．D．5．[2018·吉林实验中学]函数的部分图像如下图，且，则图中的值为（）A．1B．C．2D．或26．[2018·赣中联考]李冶（1192-1279），真实栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（）A．10步，50步B．20步，60步C．30步，70步D．40步，80步7．[2018·育才中学]如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）·3·A．4B．8C．D．8．[2018·嵊州期末]若实数，满足约束条件，则的取值范围是（）A．B．C．D．9．[2018·天津期末]在中，内角，，的对边分别为，，，已知，且，，则等于（）A．B．C．2D．10．[2018·衡水金卷]若函数图像上存在两个点，关于原点对称，则对称点为函数的“孪生点对”，且点对与可看作同一个“孪生点对”．若函数恰好有两个“孪生点对”，则实数的值为（）A．0B．2C．4D．611．[2018·乌鲁木齐一模]已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于两点，且为的中点，则的值为（）A．3B．2或4C．4D．212．[2018·江西联考]已知函数函数，其中·4·，若函数恰有4个零点，则实数b的取值范围是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·淮安一模]已知集合，，则________．14．[2018·孝感八校]将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，若最小正周期为，则__________．15．[2018·淮南一模]过动点作圆：的切线，其中为切点，若（为坐标原点），则的最小值是________．16．[2018·乐山期末]如图，在三棱锥中，、、分别为、、中点，且，，则异面直线与所成的角的大小为_________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分，每个试题12分．17．[2018·达州期末]已知是数列的前项和，，．（1）证明：当时，；（2）若等比数列的前两项分別为，求的前项和．·5·18．[2018·濮阳一模]进入12月以业，在华北地区连续出现两次重污染天气的严峻形势下，我省坚持保民生，保蓝天，各地严格落实机动车限行等一系列“管控令”．某市交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的态度，随机采访了200名市民，将他们的意见和是否拥有私家车的情况进行了统计，得到如下的列联表：赞同限行不赞同限行合计没有私家车9020110有私家车7040110合计16060220（1）根据上面的列联表判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“对限行的态度与是否拥有私家车有关”；（2）为了了解限行之后是否对交通拥堵、环境染污起到改善作用，从上述调查的不赞同限行的人员中按是否拥有私家车分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽出3名进行电话回访，求3人中至少有1人没有私家车的概率．附：，其中．·6·19．[2018·菏泽期末]如图所示，在四棱锥中，，都是等边三角形，平面平面，且，．（1）求证：平面平面；（2）是上一点，当平面时，三棱锥的体积．·7·20．[2018·乌鲁木齐一模]已知椭圆的焦距为2，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于两点，为椭圆上一点，为坐标原点，且满足，其中，求的取值范围．·8·21．[2018·陕西一模]已知函数，．（1）求函数的图像在处的切线方程；（2）证明：；（3）若不等式对任意的均成立，求实数的取值范围．·9·（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．[2018·武邑中学]选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（是参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设为曲线上任意一点，求的取值范围．23．[2018·佛山质检]已知函数，．（1）若，求的取值范围；（2）若，对，都有不等式恒成立，求的取值范围．·10·文科数学答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】D【解析】由题意，，对应点为，在第四象限，故选D．2．【答案】B【解析】由题意，，又为锐角，∴．故选B．3．【答案】D【解析】和非奇非偶函数，是偶函数，是奇函数，故选D．4．【答案】D【解析】按照图示得到循环一次如下：，；，；，；，；，；，；，；，；，．不满足条件，得到输出结果为：4．故答案为：D．5．【答案】B【解析】由题意可得，，又，∴，又，·11·∴或，，由周期，得，∴，故选：B．6．【答案】B【解析】设圆池的半径为步，则方田的边长为步，由题意，得，解得或（舍），所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步，故选B．7．【答案】D【解析】如图所示，在棱长为2的正方体中，题中三视图所对应的几何体为四棱锥，该几何体的体积为：．本题选择D选项．8．【答案】D【解析】画出表示的可行域，如图所示的开放区域，平移直线，由图可知，当直线经过时，直线在纵轴上的截距取得最大值，此时有最小值，无最大值，的取值范围是，故选D．·12·9．【答案】C【解析】∵，且，，∴由正弦定理可得：，由于，可得：，∴由余弦定理，可得：，可得：，∴解得：，或（舍去）．故选：C．10．【答案】A【解析】当时，，故函数在区间，上递减，在上递增，故在处取得极小值．根据孪生点对的性质可知，要恰好有两个孪生点对，则需当时，函数图像与的图像有两个交点，即，．11．【答案】B【解析】设，，，两式相减得，，为的中点，，，代入，·13·解得或4，故选B．12．【答案】B【解析】由题可知，故，∵函数恰有4个零点，∴方程有4个不同的实数根，即函数与函数的图象恰有4个不同的交点．又，在坐标系内画出函数函数的图象，其中点，的坐标分别为，．由图象可得，当时，函数与函数的图象恰有4个不同的交点，故实数b的取值范围是．选B．第Ⅱ卷·14·二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】【解析】，所以．14．【答案】【解析】，向右平移个单位后得到函数，函数的最小正周期是，那么，故填：．15．【答案】【解析】设，得，即，所以点的运动轨迹是直线，所以，则．16．【答案】【解析】由三角形中位线的性质可知：，，则或其补角即为所求，由几何关系有：，由余弦定理可得：，则，据此有：异面直线与所成的角的大小为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分，每个试题12分．17．【答案】（1）见解析．（2）．【解析】（1）证明：当时，·15············3分，···········5分．···········6分（2）解：由（1）知，，···········7分，···········8分等比数列的公比，···········9分又，···········10分．···········12分18．【答案】（1）在犯错误概率不超过的前提下，不能认为“对限行的态度与是否拥有私家车”有关；（2）0.8．【解析】（1）．···········4分所以在犯错误概率不超过的前提下，不能认为“对限行的态度与是否拥有私家车”有关．···········6分（2）设从没有私家车的人中抽取人，从有私家车的人中抽取人，由分层抽样的定义可知，解得，···········7分在抽取的6人中，没有私家车的2人记为，有私家车的4人记为，，，，则所有的基本事件如下：，，，，，，，，，，，，，，·16·，，，，，共20种．···········9分其中至少有1人没有私家车的情况有16种．···········11分记事件为“至少有1人没有私家车”，则．···········12分19．【答案】（1）证明见解析；（2）6．【解析】（1）因为，，，所以，所以，，又因为是等边三角形，所以，所以，·······2分因为平面平面，平面平面，所以平面，···········4分因为平面，所以平面．···········6分（2）过点作交于，过点作交于，因为，平面，平面，所以平面，同理可得平面，所以平面平面，···········7分因为平面，所以平面．因为，所以，在直角三角形中，，，所以，所以，···········9分在平面内过作于，因为平面，平面，所以，·17·因为，所以平面，所以是点到平面的距离，···········10分过点作于，则，由，得，所以，因为，所以．······12分20．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）依题意，有，···········3分∴椭圆方程．···········4分（2）由题意可知该直线存在斜率，设其方程为，由得，···········5分∴，得，···········6分·18·设，，，则，由得，···········7分代入椭圆方程得，···········8分由得，···········9分∴，···········10分令，则，∴．···········12分21．【答案】（1）；（2）见解析；（3）．【解析】（1）∵，∴．···········1分又由，···········2分得所求切线：，即所求切线为．···········4分（2）设，则，令，得，···········5分得下表：1·19·单调递增极大值单调递减∴，即．···········8分（3），，．（i）当时，；···········9分（ii）当时，，不满足不等式；···········10分（iii）当时，设，，令，得下表：单调递增极大值单调递减+0-∴，即不满足等式．综上，．···········12分（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由，得，故直线的普通方程为，···········2分由，得，所以，即，·20·故曲线的普通方程为；···········5分（2）据题意设点，则，···········8分所以的取值范围是．···········10分23．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），···········1分若，则，得，即时恒成立，···········2分若，则，得，即，···········3分若，则，得，即不等式无解，···········4分综上所述，的取值范