二重积分的计算

二重积分的计算欧阳顺湘北京师范大学珠海分校2005.1.2-1.5基本思想oyxzab二重积分的计算——化二重积分为二次积分预备知识：平行截面面积以知的立体体积的计算（演示）baVAxdxA(x)x如右图所示立体：介于平面x=a与x=b之间在区间[a,b]内任取一点x，过该点作x轴的垂直平面，若该平面的面积为A(x)，则由定积分的元素法可知立体体积为baVAxdx21()(),bxaxfxydydx21()(),xxAxfxydy如果积分区域D可表示为：,axb12()()xyxaby=Φ2(x)y=Φ1(x)oxyХ-型区域用平行于yoz面的平面去截立体，则截面面积为：21()(),,bxaxDfxydxdyfxydydx于是，立体体积为直角坐标系下化二重积分为二次积分dcVAydy21()(),dycyfxydxdy21()(),yyAyfxydx如果积分区域D可表示为：,cyd12()()yxyу-型区域用平行于xoz面的平面去截立体，则截面面积为：21()(),,dycyDfxydxdyfxydxdy于是，立体体积为直角坐标系下化二重积分为二次积分oxcdyx=φ2(y)x=φ1(y)21,bxaxfxydydx21,dycyfxydxdy21,bxaxdxfxydy或记为21,dycydyfxydx或记为利用直角坐标系计算二重积分,Dfxydxdy1、,Dfxydxdy2、X-型区域Y-型区域abxyoDcdDyxo例1计算二重积分其中D为矩形区域22x11y:D(4)2Dxydxdy[2,2][1,1](4)2xydxdy例2•已知xoy平面第一象限内的区域D是由直线x=0和y=2和抛物线y=x^2/2所围成.•求区域D的面积•求由曲面z=f(x,y)为顶，以D为底的曲顶柱体的体积.练习解答8（2）计算下列二重积分8.(2):2,,2Dyxyxy由围成22Dxyxd22202yydyxyxdx2322021132yyxyxxdy2320193248yydy2430191139686yy先积后积如何？yx解原式要分成两部分之和例1计算下列二重积分22Dxyxd先积后积yx1222222201xxxdxxyxdydxxyxdy要分作两部分计算解小结：化二重积分为二次积分时，积分次序的确定应考虑积分区域的形状，还应考虑积分计算的难度与方便。22Dxyxd8.(2):2,,2Dyxyxy由围成直角坐标系下交换二次积分的积分次序如果积分区域D既可表示为Х-型区域：,axb12()()yxyyx又可表示为у-型区域：,cyd12()()yxy2211()()()(),,byxdyayxcyfxydydxfxydxdy则有如下交换积分次序公式：у-型区域Х-型区域例4化下列二重积分为二次积分（两种次序）,Dfxyd420,xxfxydydx2404,yyfxydxdy由2,4yyxx围成。1D420,xxdxfxydy或记为,Dfxyd故或记为2404,yydyfxydx解D可表示为：04,2xxyxD又可表示为：204,4yyxyo44xy=xy2=4xyxy2222:,0Dxyry,Dfxyd220,rrxrfxydydx22220,rryryfxydxdy例4化下列二重积分为二次积分（两种次序）,Dfxyd或或记为220,rrxrdxfxydy或记为22220,rryrydyfxydxoxy-rrx2+y2=r2例4化下列二重积分为二次积分（两种次序）,31,2yDxxxy由围成。,Dfxyd211,xxfxydydx12221112,,yyfxydxdyfxydxdy,Dfxyd或或记为211,xxdxfxydy或记为12221112,,yydyfxydxdyfxydx补充题1、改变积分的次序。1100(,)xdxfxydy有些二重积分，其积分区域的边界曲线用极坐标表示较为方便，或被积函数用极坐标表示比较简单，这时可考虑利用极坐标计算。（演示）在二重积分的定义式,Dfxyd中被积函数可用极坐标表示为：sin,cosrrf面积元素如图所示：rddr于是，极坐标下二重积分为：,DfxydrdrdrrfDsin,cos可表示为drdrdrdrdrrfDsin,cosdrdrrrf21sin,cos21sin,cosrdrrrfd参考直角坐标系下化二重积分为二次积分的做法，可得：利用极坐标系计算二重积分12D例3计算下列立体的体积21200drrdr（2）由曲面22zxy及平面1z围成的立体。201044dr2222DVxyd解立体在xoy面内的投影区域D可表示为：02,01r221xy,Dfxyd为极坐标下的二次积分。例4化二重积分2222:1byxaD,Dfxydrdrrrfdba20sin,cosxyxD2:2221cos2r,Dfxydrdrrrfd22cos20sin,cos解解,Dfxydrdrrrfd20sincos01sin,cos10,10:3xxyD1sincosrcos1sinrr,Dfxyd为极坐标下的二次积分。例4化二重积分解1cossinr例5计算二重积分D是由22sinDxydxdy2224xy222xy和围成。解积分区域D可表示为：02,2r22sinsinDDxydxdyrrdrd220sindrrdr220(cossin)rrrd22036dD另一方面，Dyxde2242121202002dder0202rdredr一方面，Dyxde222200xyeedydx2200yxedyedxdxex02例6求2200xyeedydx220xedx所以：dxex022解22112xedx例7计算下列立体的体积20302214rdrrd由柱面曲面222zxy223,xy及所围成的立体体积。221zxy324200212rrd22122Dxyd解2222(2)(1)DDVxydxyd练习•Page210例8TheEnd二重积分欧阳顺湘北京师范大学珠海分校2005.1.2