二重积分练习题

二重积分练习1..),(D化为二次积分将dyxf;1,1,1)1(围成的闭区域由直线yxyxy;1,)2(22围成的闭区域由抛物线xyxy.0,2,4)3(22围成的闭区域由xxxyxy.2)4(2xxyx闭区域2.改变下列二次积分的积分次序：;),()1(2121dyyxfdxx.),()2(221110dxyxfdyyy1..),(D化为二次积分将dyxf;1,1,1:)1(围成yxyxyD解D是Y－型.将D向y轴投影..10,11:yyxyDdxdyyxf),(Ddxyxfyy),(1110dy;1,:)2(22围成xyxyDoxy11121xy2xyoxy121xy11xy求交点：.1,22xyxy于是.1,2222:22xyxxDD是X－型.将D向x轴投影.得).21,22()21,22(，;1,:)2(22围成xyxyDoxy11121xy2xy求交点：.1,22xyxy2222dxdyyxf),(Ddyyxfxx),(2212222dx.0,2,4:)3(22围成xxxyxyDoxy1222xxy24xy2在极坐标系中，闭区域D可表示为.2cos2r,20D),(dyxfDdrdrrrf)sin,cos(.)sin,cos(2cos220drrrrfdsincosryrxoAcos2r2r于是dxdyyxf),(Ddyyxfxx),(2212222dx.2:)4(2xxyxDDdrdrrrf)sin,cos(.)sin,cos(2cos220drrrrfdsincosryrxoAcos2rxy1122xxyxy2o在极坐标系中，D可表示为.cos20r,24D),(dyxfDdrdrrrf)sin,cos(.)sin,cos(cos2024drrrrfd2.改变下列二次积分的积分次序：;),()1(2121dyyxfdxx.),()2(221110dxyxfdyyy解(1)积分区域为.1,21:2xyxD.41,2:yxyD2121),(xdyyxfdxD),(dyxf.),(241ydxyxfdy将D向y轴投影.oxy1212xy4积分区域为.10,11:22yyxyD.10,11:2xyxD将D向x轴投影..),()2(221110dxyxfdyyyxy11o1122yxdxyxfdyyy),(221110.),(21011xdyyxfdxD),(dyxf3.围成．由其中计算2,1,.22xxyxyDdyxD4..10,11:.2yxDdxyD其中计算5..sin21231xdyydx计算6..)cos1(.22）所围的面积（取圆外部线和心脏是由圆其中计算ararDdyxD7..)()(11)()(12banxanbadyyfybndyyfyxdx证明3.解围成．由其中计算2,1,.22xxyxyDdyxDdyxD22dxyxxx1212213)(dxxx.49.,1,21:xyxxDD是X－型.将D向x轴投影.oxyxy22xxy11xxdyyxdx12221解先去掉绝对值符号，4..10,11:.2yxDdxyD其中计算1D时，当2yx.02xy.1,11:21yxxD记时，当2xy.02xy.0,11:22xyxD记2DdxydxydxyDDD21)()(222oxy1112202111211)()(xxdyyxdxdyxydx.1511.1,11:21yxxD记时，当2xy.02xy.0,11:22xyxD记dxydxydxyDDD21)()(22211411242)212(dxxdxxx5..sin21231xdyydx计算解积分区域为.21,31:yxxD.20,11:yyxD将D向y轴投影.oxy1221xy3dxdyydyydxDx221231sinsinydxydy11220sin202sindyyy.24cos1解drdrrdyxDD226..)cos1(.22）所围的面积（取圆外部线和心脏是由圆其中计算ararDdyxD在极坐标系中，闭区域D可表示为).cos1(ara,22)cos1(22aardrrdoAa2a222233]1)cos1[(31da).2922(3adrdrrdyxDD22)cos1(22aardrrd证7..)()(11)()(12banxanbadyyfybndyyfyxdx证明积分区域为.,:xyabxaD.,:byabxyD将D向y轴投影.oxyaxybabdyfyxdyyfyxdxDnxanba)()()()(22dyyxnyfbabyn1)(11)(.)()(111bandyyfybnbynbadxyfyxdy)()(2.,:byabxyDdyfyxdyyfyxdxDnxanba)()()()(228.10..)(342222所围成的立体的表面积和锥面求由上半球面yxzyxz.642Vyxz限上的体积所围成的立体在第一挂及三个坐标面，平面求由抛物柱面9..1部分的面积的有限，被三个坐标面所割出求平面czbyax8..642Vyxz限上的体积所围成的立体在第一挂及三个坐标面，平面求由抛物柱面oxyz426解所求立体可以看成是一个曲顶柱体，它的曲顶为,42xz.60,20:yxD底为于是，dxVD)4(2dyxdx60220)4(20602)4(dxyx202)4(6dxx.329.().1000求平面被三个坐标面所割出的有限部分的面积xyz=abca,b,coxyzcab221yzxz解,1222222cacbbaab平面方程.ybcxaccz,acxz,bcyzaxyoxyDbdxdyyzxzAxyD122所求面积221yzxz,1222222cacbbaabaxyoxyDbdxdyyzxzAxyD122所求面积dxdycacbbaabxyD2222221abcacbbaab211222222.21222222cacbba10..)(342222所围成的立体的表面积和锥面求由上半球面yxzyxzⅠⅡxyzo解所求表面分成Ⅰ和Ⅱ，如图.第一块（Ⅰ）在半球面上，422yxz第一块（Ⅱ）在锥面,)(322上yxz记为AⅠ.记为AⅡ..面上的投影区域先求它们在xoy,)(3,42222yxzyxz由.1:22yxDxy.面上的投影区域先求它们在xoy,)(3,42222yxzyxz由,122yxz得投影柱面消去ⅠⅡxyzo因此，曲面Ⅰ和Ⅱ在xoy面上的投影区域均为圆域：xoy11xyDAⅠ的曲面方程为，422yxz221yzxz,4222yxDxy极坐标系下表示：,20.10rxyDdxdyyx2242dxdyyzxzxyD122AⅠAo1xyDAⅠ的曲面方程为，422yxz221yzxz,4222yxAⅠxyDdxdyyx2242xyDrdrdr242AⅠxyDdxdyyx2242xyDrdrdr2421022042drrrd).32(4dxdyyzxzxyD122AⅡAⅡ的曲面方程为221yzxz,2,)(322yxzxyDdxdy2xoy11xyD.2所求面积A=AⅠ+AⅡ).325(2