初三复习资料一元二次方程知识点_中考考点_典型例题分类和中考真题练习

第二节一元二次方程第三节方程及其应用是初中代数中的核心内容，是各地历年中考命题的一个重点，也是一个热点。方程的思想和方法是初中数学中最重要的思想和方法之一，有些虽然是几何问题，也常常可以用或需要用方程的思想和方法来解决。第四节初中数学中的方程，除了一元一次方程以外，还有二元一次方程组、分式方程、一元二次方程，以及内容十分相近的不等式和不等式组。第五节实际上，对于以后学到的二元一次方程组、分式方程、一元二次方程，都是通过“转化”的思想和方法，把它们转化为一元一次方程，从而最终得到解决的。新课标要求1．理解并掌握一元二次方程的意义，正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数；2．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解；3．明确解一元二次方程的基本思想是以降次为目的，会用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方解一元二次方程；4．了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的字母系数的取值范围；5．会列一元二次方程解决生活中的实际问题，与二次函数综合考查最优问题。命题趋势：本节的主要考查一元二次方程的根，解一元二次方程，根的判别式，以及一元二次方程在实际生活中的应用。在重庆中考中，往往会在填空题中考查一元二次方程的根，根的判别式，在解答题中考查一元二次方程的解法，尤其是在倒数第二题中考查一元二次方程在实际生活中的应用，和二次函数相结合的综合应用。考点整合1、一元二次方程概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。2、一般表达式：20(0)axbxca其中2ax是二次项，a叫二次项系数；bx是一次项，b叫一次项系数，c是常数项。二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式。3、使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。4、一元二次方程的解法：（1）直接开方法，适用于能化为2)0xabb的一元二次方程。（2）因式分解法，即把一元二次方程变形为（x+a）（x+b）=0的形式，则（x+a）=0或（x+b）=0（3）配方法，即把一元二次方程配成2)0xabb形式，再用直接开方法，(4)公式法，其中求根公式是242bbacxa（b2-4ac≥0）5、根的判别式、根与系数的关系：当b2-4ac0时，方程有两个不相等的实数根。当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。当b2-4ac0时，方程有没有的实数根。如果一元二次方程20(0)axbxca有两根12,xx则有1212,bcxxxxaa6、列一元二次方程解实际应用题步骤考点精析考点一、一元二次方程的解例1：（2011黑龙江哈尔滨3分）若x=2是关于x的一元二次方程x2－mx＋8=0的一个解．则m的值是．(A)6(B)5(C)2(D)－6考点：一元二次方程的解。分析：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。若x=2是关于x的一元二次方程x2－mx＋8=0的一个解，则把x=2带入方程，方程左右两边相等，再把问题转化为解一元一次方程。解：把x=2代入方程x2－mx＋8=0即可得到一个关于m的一元一次方程4－2m＋8=0，，解之即得：m=6。故选A。点评：本题考查了学生对一元二次方程解的意义的理解，通常以填空和选择题型出现，难度不大．举一反三1.（2011广西贵港3分）若关于x的一元二次方程x2－mx－2＝0的一个根为－1，则另一个根为A．1B．－1C．2D．－2解：根据一元二次方程的根的定义，将1代入方程，即可求出m＝1，从而得到一元二次方程，解之即得另一根为2。故选C。2.(2012年河北一模)关于x的一元二次方程(a－1)x2+x+a2－1=0的一个根是0，则a的值为（）A.1B.－1C.1或－1D.0解：根据一元二次方程的根的定义，将0代入方程，得a2－1=0，解之得1a，又10a，1a1a。故选B3.（2011广西百色3分）关于x的方程2220xmxm的一个根为1，则m的值为A.1B.12.C.1或12.D.1或－12.解：把1代入，方程2220xmxm，得2120mm，解得m＝1或－12。故选D。4.（2012年浙江一模）已知关于x的方程2220xxk的一个根是1，则k=．解：把1x带入方程得122k0，解得12k考点二、一元二次方程的解法例题1,：（1）（2012湖北荆州）用配方法解关于x的一元二次方程x2－2x－3＝0，配方后的方程可以是()A．(x－1)2＝4B．(x＋1)2＝4C．(x－1)2＝16D．(x＋1)2＝16考点：一元二次方程的配方法分析：本题考察了一元二次方程的配方法，当二次项的系数为1时，两边同时加上一次项系数一半的平方即可完成配方。如果二次项系数不为1，则需要在方程两边同时除以二次项系数解：把x2－2x－3＝0移项得：223xx，两边加上1得2214xx，即(x－1)2＝4，故选A点评：配方法解一元二次方程的常用方法，当二次项的系数为1时，两边同时加上一次项系数一半的平方即可完成配方，难度较小。如果二次项系数不为1，则需要在方程两边同时除以二次项系数，所以解决这类题目时，同时要分清楚二次项系数。（2）（2012山东省滨州中考）方程x（x﹣2）=x的根是．考点：一元二次方程的因式分解法分析：观察原方程不难发现，原方程可化为等号左边是几个因式的乘积，等号右边是0的形式，所以选择用分解因式法解比较简单。解：x（x﹣2）﹣x=0，x（x﹣2﹣1）=0，x=0或x﹣3=0，解得：x1=0，x2=3．点评：本题考查解一元二次方程的方法－因式分解法。用提公因式法分解因式是解方程比较简单的方法，属于简单题此题．（3）（2011江苏省无锡市）解方程：x²－4x+2=0考点：一元二次方程的公式法分析：解一元二次方程首先要计算判别式Δ=b²－4ac,当Δ＞0时，方程有两个不等的实数根；当Δ=0时,方程有两个相等的实数根；Δ＜0时，方程无实数根。解：∵1,4,2abc∴Δ=4²－4×1×2=8∴244822bbacxa∴22x，22x点评：此题考查一元二次方程的解法，一元二次方程有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法，要能够根据方程的不同特点，进行比较、鉴别，灵活选用适当的方法解方程.这些方法的前提条件是方程有根，其中求根公式法可以用于一切有根的方程，可称为“万能解法”。这个考点的常考题型是填空题、计算题、应用题举一反三1：（2012贵州铜仁，17，4分一元二次方程0322xx的解为____________；解：运用分解因式法容易得出.由x2－2x－3＝0，得（x+1)(x－3)=0∴x+1=0或x－3=0解得121,3xx2：(2012贵州黔西南州，4，4分)三角形的两边分别为2和6，第三边是方程x2―10x＋21=0的解，则第三边的长为()．A．7B．3C．7或3D．无法确定解：x2－10x＋21=0，得x1=3，x2=7．根据三角形三边的关系，第三边还应满足4＜x＜8．所以第三边的长x=7．故答案A．3：解方程：（1）（2011广东清远6分）解方程：x2－x－1=0．解：由原方程，得(x－2)2＝5x＋2＝±5∴x＝－2±5（2）（2011湖北武汉6分）解方程：x2+3x+1=0.解：∵a=1,b=3,c=1∴△=b2－4ac=9－4×1×1＝5＞0，∴x=－3±52。∴x1=－3＋52，x2=－3－52。考点三：根的判别式，根与系数的关系例题：（2012湖北襄阳）如果关于x的一元二次方程kx2－21kx＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是A．k＜12B．k＜12且k≠0C．－12≤k＜12D．－12≤k＜12且k≠0考点：根的判别式，一元二次方程的概念，解不等式组分析：一是由“一元二次方程”知k≠0，二是由二次根式的意义知2k＋1≥0，三是由原方程有两个不相等的实数根知(21k)2－4k＞0；要同时满足这三个条件，解不等式组即可得解。解析：由题意，得2(21)4011210-kk0.220kkkk，解得且故选择D点评：解决此题需要从三方面综合考虑，一是由“一元二次方程”知k≠0，二是由二次根式的意义知2k＋1≥0，三是由原方程有两个不相等的实数根知(21k)2－4k＞0，三者缺一不可．同时，本题也是一道易错题，部分学生会忽视21k这一符号条件下的不等关系而错选为B．举一反三1.（2011广西钦州）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A．210xB．2210xxC．210xxD．2210xx解：A．方程210x的△＝－4＜0，无实数根，选项错误；B．方程2210xx的△＝0，有两个相等的实数根，选项错误；方程C．210xx的△＝－3＜0，无实数根，选项错误；D．方程2210xx的△＝8＞0，有两个不相等的实数根，选项正确。故选D。2.（2012北京昌平初三一模）若关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是（）A．a＜2且a≠0Ｂ．a＞2Ｃ．a＜2且a≠1Ｄ．a＜－2解：由题意得：101144(1)0112aaaaaaa＜2且a≠1。故选C3.（2011福建厦门）已知关于x的方程x2﹣2x﹣2n=0有两个不相等的实数根．（1）求n的取值范围；（2）若n＜5，且方程的两个实数根都是整数，求n的值．考点：一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，解一元二次方程。分析：（1）方程有两个不相等的实数根，说明Δ＞0，即Δ=b²－4ac＞0，然后代入a、b、c的值得到关于n的不等式，解不等式即n的值。(2)一元二次方程根是整数，则说明Δ=b²－4ac是一个完全平方数，用列举法解得。解：（1）∵于x的方程x2﹣2x﹣2n=0的二次项系数a=1、一次项系数b=﹣2、常数项c=﹣2n，∴△=b2﹣4ac=4+8n＞0，解得，n＞－12。（2）由原方程，得（x﹣1）2=2n+1，∴x=12n1。∵方程的两个实数根都是整数，且n＜5，∴0＜2n+1＜11，且2n+1是完全平方形式。∴2n+1=1，2n+1=4或2n+1=9。解得，n=0，n=1.5或n=4。考点四：一元二次方程的应用例题：（2012南京市）某汽车销售公司6月份销售某厂家汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系，若当月仅售出1辆汽车，则该汽车的近价为27万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内（含10辆），每辆返利0.5万元，销售量在10辆以上，每辆返利1万.（1）若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为万元；（2）如果汽车的售价为28万元/辆，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利=销售利润+返利）考点：列一元二次方程解应用题分析：用销售数量表示出每辆的进价、返利等，再表示出盈利，列出方程，求解.解：（1）27－（3－1）×0.1=26.8.（2）设销售汽车x辆，则汽车的进价为27－（x－1）×0.1=27.1－0.1x万元，若x≤10,则（28－27.1+0.1x）x+0.5x=12解得x1=6,x2=－20(不合题意，舍去)若x10,则（28－27.1+0.1x）x+x=12解得x3=5(与x10舍去，舍去),x4=－24(不合题意，舍去)公司计划当月盈利12万元，需要售出6辆汽车.点评：解此题的关键是表示出进价以及每辆车的利润，而返利的多少与售出数量有一定关系，因而得讨论出售汽车的数量问题，这一点容易忽略.同时，在列一元二次方程解应用题中，一定要对解出的两个根进行检验取舍，看两根是否符合实际题意。学生往往容易漏掉这一点。举一反三1.（2012广东湛江）湛江市