广州大学版高数课件高数

一、引例.1.变速直线运动的瞬时速度.设某物体作变速直线运动，其位移S与时间t的函数关系为S=S(t).问：在任一时刻t0的速度应当怎样定义？时间位移速度＝匀速直线运动：第一节导数的定义由时刻t0到时刻t0+t走过的位移为)()(00tSttSS).(0tVVt越接近于越小，若当t0时，平均速度tS的极限存在.则称该极限值为该物体在t0时刻的瞬时速度.即ttSttStStVtt)()(limlim)(00000变速直线运动：SS(t0+t)S(t0)0S考虑时刻t0附近的某时刻t0+t.tSV平均速度：2.曲线的切线斜率设曲线方程为y=f(x).问:怎样求曲线上任一点的切线斜率.曲线的切线：对于曲线C上任一点M，考虑其附近一点N.(N可在M的左侧，也可在M的右侧).让点N沿曲线C趋向点M，若割线MN有极限位置MT.则直线MT就称为曲线C在点M处的切线.Ty=f(x)Mxx0x0+xxy0NCy0+yy0记点M的坐标为(x0,y0);点N的坐标为(x0+x,y0+y).注意到y0=f(x0),y=f(x0+x)f(x0)则割线MN的斜率,k(为割线MN的倾角).tank(为切线MT的倾角).tanxyxxfxxf)()(00所以kx0limxxfxxfxyxx)()(limlim0000当N沿曲线C趋向M时，.0x此时,割线MN的斜率无限地接近于切线MT的斜率k.k3.非均匀细杆的线密度.设有一根质量不均匀的细杆，取坐标系如图，其一端点为坐标原点，另一端点为杆长l,对于[0,l]上的任一点x,在[0,x]上的质量是x的函数，记为m=m(x).所以在],[xxx上的质量为).()(xmxxmm称],[xxx为细杆在上的平均线密度.xmx0xx+xl.0x当若xm的极限存在，则称该极限值为细杆在点x处的线密度.即：xxmxxmxmxuxx)()(limlim)(00二、导数的定义设函数y=f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义,当自变量x在x0处有增量x(点x0+xU(x0))时，相应的函数有增量y=f(x0+x)f(x0);如果,y与x之比，当x0时的极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导.并称这个极限值为函数y=f(x)有点x0处的导数,记为,0xxy也可记作.)(dd),(000xxxxdxxdfxyxf或即xxfxxfxyxx)()(limlim00000'xxy(1)定义1.导数定义式(1)的不同形式：hxfhxfxfh)()(lim)('0000(2)和000)()(lim)('0xxxfxfxfxx(3)(记x=x0+x)注1：若xyx0lim不存在，则称函数y=f(x)在点x0处不可导.特别地，若.lim0＝xyx也称函数y=f(x)在点x0处的导数为无穷大.例1.下列各题中,均假定f'(x0)存在,指出A表示什么:(1)Axxfxxfx)()(lim000解:xxfxxfAx)()(lim000xxfxxfx)()(lim000)(0xf(2).)0(,0)0(.)(lim0存在且其中ffAxxfx解:xxfAx)(lim00)0()(lim0xfxfx)0(f(3)Ahhxfhxfh)()(lim000解:hhxfhxfAh)()(lim000)(2)()(000xfxfxfhxfhxfhxfhxfh)()()()(lim00000hxfhxfhxfhxfhh)()(lim)()(lim000000注2：若f(x)在(a,b)内每一点处都可导，则称函数f(x)在(a,b)内可导.此时，对于x(a,b).都对应着f(x)的一个确定的导数值，从而构成一个新的函数，称为函数y=f(x)的导函数，简称导数，.)().(.dxxdfdxdyxfy或即xxfxxfxfx)()(lim)(0(4).)(')(00xxxfxf记为三、求导数举例例2.求函数f(x)=C(C为常数)的导数.解：.0)()(CCxfxxfy)(xf即0)(Cxx0lim00lim0xxyx0lim=0例3.设y=xn,n为正整数.求'.y解：nnxxx)(nnnxxxnnxxn)(...)(!2)1(221xy有所以y即：1)(nnxnx.1)(x特别：由于y121)(...)(!2)1(nnnxxxnnxnxyx0lim1nxnn=1时，注意：.1)(uuxux例如)(21x(2)当x0时)1(x对于幂函数y=xu.(u为常数).有(1)当x0时12121x2121xx21)(1x111x21x例4.设y=sinx.求y'解：sin)sin(xxx2sin)2cos(2xxxxy有22sin)2cos(xxxx所以y]22sin)2[cos(lim0xxxxx1cosxxcos由于yxxxx2sin)2cos(2xyx0limxxcos)(sin类似地，对y=cosx,利用xxxycos)cos(可得xxsin)(cos即2sin)2sin(2xxx例5..).1,0(.yaaayx求设解：xxxaa令.1tax则.1taxxy)1(xxaataxta1)1(log1)1(logttaax所以ytaxtta10)1(log1limeaaxlog1.lnaax由于y).1(logtxaxaaxx)1(xyx0limaaaxxln)(.)(xxee即：特别:解：xxxln)ln(xy有即：xx1)(ln类似地，由axxalnlnlog可得axxaln1)(logxxxxx)1ln(1由于y所以yxxxxxx)1ln(1lim0exln1x1例6.设y=lnx,x0求y'xxx)1ln(xyx0lim)1ln(xx求函数f(x)=|x|=x,x0.x,x0.在x=0处的导数.解：0)0()(lim00xfxfx0)0()(lim00xfxfx所以0)0()(lim0xfxfx不存在.即f(x)=|x|在x=0处不可导.例7由于xxx0lim001xxx0lim001注：左导数：xxfxxfxfx)()(lim)('0右导数：xxfxxfxfx)()(lim)('0如果，函数f(x)在点x0处存在左(右)导数，则称f(x)在点x0处左(右)可导.y=f(x)在点x0处可导)()(00xfxf与都存在且相等.在x=a处有右导数，在x=b处有左导数.函数f(x)在[a,b]上可导:是指f(x)在(a,b)内可导，四、导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0)在几何上表示曲线y=f(x)在点M(x0,f(x0))处的切线的斜率.即：fx=tanTy=f(x)MxyCx0注1：法线：过点M(x0,f(x0))且与切线垂直的直线称为曲线y=f(x)在点M处的法线.注2：(1)当f(x0)存在且不为0时，曲线y=f(x)在点M(x0,f(x0))处)()('1)(000xxxfxfy切线方程：y－f(x0)=f(x0).(x–x0)法线方程：(2)当f(x0)＝0时，曲线y=f(x)在点M(x0,f(x0))处：(3)当f(x0)=.曲线y=f(x)在点M(x0,f(x0))处f(x)连续：法线方程：x=x0切线方程：y=y0法线方程：y=y0切线方程：x=x0解：显然点M(2,0)不在曲线xy1上.设所求切线的切点为N(x0,y0)001xy则且切线的斜率k,有.1)'1(200xxkxx所以，所求切线的方程为)(110200xxxxy求过点M(2,0)且与曲线相切的直线方程.xy1例8又点M(2,0)在切线上，所以)2(110200xxx故.1,100yx从而所求切线方程为)1(1xy即：xy2解：)0(f00lim310xxx3201limxx曲线在0(0,0)的切线为x=0(即y轴)法线为y=0(即x轴)0x3xyy求曲线3xy在原点O(0,0)处的切线、法线方程.例90)0()(lim0xfxfx五、函数的可导性与连续性的关系若y=f(x)在x0处可导y=f(x)在x0处连续.证明：xyxfx00lim)(由)0lim()(00xxfxy其中得xxxfy)(0所以y0xlim:故0结论：反之不一定成立.])('[lim00xxxfx类似可证：设y=f(x)在x0处左(右)可导y=f(x)在x0处左(右)连续.y=|x|在点x0=0处连续，但不可导.y=|x|oxy注：例10：为了使函数f(x)在x=1处连续且可导，a,b应取什么值？解：,1)1(f)01(f要使f(x)在x=1处连续a+b=1(1))01(f即f(x)=x2x≤1ax+b.x1设函数)(lim01xfx201limxx=1)(lim01xfx)(lim01baxxbaf(1－0)=f(1+0)=f(1))1(f)1(f.)1(存在f故：a=2,b=－111lim201xxx)1(lim01xx11lim01xbaxx1lim01xaaxx1)1()(lim01xfxfx1)1()(lim01xfxfx=2=a).1()1(ff(1)[u(x)±v(x)]'=u'(x)±v'(x)(2)[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)2xvxvxuxvxuxvxu(3)0xv定理1：设函数u=u(x),v=v(x)在点x处可导，且则u(x)±v(x),u(x)·v(x)在点x处可导；xvxu在点x处可导，当v(x)0时,第二节求导法则函数的和、差、积、商的求导法则一.(1)y=u(x)±v(x)则证：y=[u(x+x)±v(x+x)]－[u(x)±v(x)]=[u(x+x)–u(x)]±[v(x+x)－v(x)]=u±v])()([xvxuxvxuxx00limlimxyx0limxvuoxlimxvxu(2)设y=u(x)v(x)则y=[u(x+x)v(x+x)]－u(x)v(x)=[u(x+x)v(x+x)－u(x)v(x+x)]+[u(x)v(x+x)－u(x)v(x)]=u·v(x+x)+u(x)v)()(xvxu)()()()(xvxuxvxu])()([lim0xvxuxxvxuxxvxuxxvuox)()(limxyx