太原理工大学概率论习题册答案解析

第二章习题课单选：1、C；2、C；3、D；4、A；5、B判断：1、×；2、×；3、√；4、×；5、√填空：1、；2、；3、；4、；；；5、2.02121154231e161四、设随机变量X的概率密度函数为：1011)(2xxxAxf试求：（1）系数；A（2）求（3）的分布函数)21(XP)(xFX解：（1）所以1221112AdxxA1A当时，,11x21arcsin111)(12xdxxxFx31112)21(22102dxxXP（3）当时，，0)(xF1x当时，。1x1)(xF所以1,111,21arcsin11,0)(xxxxxF五、设连续型随机变量X的分布函数为，求：(1)A和B；(2)概率密度解：由连续型随机变量的分布函数的连续性得.,1)0(,arcsin,0)(axaaxaaxBAaxxF).(xf)(xF12arcsin)(lim0)(lim2)arcsin()(limBAaaBAxFxFBAaaBAxFaxaxax解得1,21BA概率密度其它01)().(22axaxaxFxf第四、五章习题课一、填空题答案：1、30;2、0.0228;3、0;4、2.5;5、。21pp二、选择题答案：1、A；2、B；3、C；4、D；5、A。1、×；2、√；3、×；4、×；5、√三、判断题四、飞机在第一次飞行后必须进行检修的概率是0.4，在以后的两次飞行中，每一次飞行后其被检修的概率各增加0.1，求三次飞行后修理次数的数学期望。解：表示第次飞行后须进行检修次数，iXi3,2,1i则，其分布列为：不须检修须检修01iX4.06.0101pX5.05.0102pX6.04.0103pX所以5.16.05.04.0)(321XXXE五、设随机变量X的概率密度为02cos21xxf其它,0,x对X独立地重复观察4次，Y表示观察值大于的次数，求。3)(2YE212cos21)3(3dxxXP解：Y01234161418341161kP4,3,2,1,0,161211)21(444kCCkYPkkkk516144138324111610222222YE解：设表示正面出现的次数，则。由中心极限定理有X)5.0,1000(~BX六、掷一枚硬币1000次，已知出现正面的次数在400到k之间的概率为0.5，问k为何值？500,05005.0)325.6(15.0)105500(5.0)105100()105500()5.05.010005.01000400()5.05.010005.01000()400(kkkkkkXP七、设随机变量与独立，且均服从正态分布，求、及XY)21,0(N)(YXE)),(max(YXE)),(min(YXE解：因为，所以)1,0(~NYX221)(221dxexYXEx又)(21,maxYXYXYX)(21,minYXYXYX所以21][21)),(max(YXEEYEXYXE21][21)),(min(YXEEYEXYXE八、设相互独立，皆服从,试求与的相关系数（其中是不为零的常数）.YX,),(2NYXZ1YXZ2,)()()()()()()()(21YEXEZEYEXEZE222222222221)()()()()()()()(YDXDZDYDXDZD)()()(),cov(212121ZEZEZZEZZ222222222222222222222222)()())()(())()(()()()()()(YEYDXEXDYEXEYXE2222112121)()(),cov(),(ZDZDZZZZ),(YX其它,01,1)(22yxxf九、设二维随机变量的概率密度为，验证X与Y是不相关的，但不是相互独立的.nn~1nn~1X)(XE十、将只球（号）随机地放进只盒子（一只盒子装一只球.若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对.记号）中去，为总的配对数，求y十一、解设储备件，可获利Q,该商品每周的需求量为X,X~U;则Q为的函数y],[ba第六章习题课答案1.；2.；3.；4.),1(nF)1(2)81,41()22(2n5.1.0二、填空题一、选择题答案：1、D；2、B；3、C；4、C；5、A。三．设总体,是简单随机样本,为样本均值,(1)若,计算;(2)若要求,至少取多大？)4,(~NX),,,(21nXXXX25n)1.0(XP95.0)1.0(XPn解：（1）因为所以)1,0(~52NX)25.052()1.0(XPXP1974.015987.021)5.2(2（2）为使95.0)1.0(XP)65.1(95.0)05.02()1.0(nnXPXP95.01)05.0(2n)96.1(975.0)05.0(n96.105.0n64.1536n所以至少取1537。n四．设，是简单随机样本,)1,0(~NX),,,(621XXX26542321)()(XXXXXXY试决定常数,c使服从分布。cY2解：因为)3,0(~)(321NXXX)3,0(~)(654NXXX所以)2(~)3()3(226542321XXXXXX故。31c五．，抽取样本容量的简单随机样本，计算:),(~2NX16n),,,(21nXXX)2)(12(2122niiXnP解：因为，所以，)(~)(2212nXnii当时，有16n)32)(8()2)(12(2122122niiniiXPXnP94.005.099.0),(~21NX),(~22NYXY101n152n21S22S六．，且相互独立，从、两总体中分别抽取，和简单随机样本，样本方差分别为与计算)02(2221SSP所以01.0990.01)2()02(22212221SSPSSP解：)1(~)1(122121nSn)1(~)1(222222nSn)14,9(~2221FSS七、设是来自正态总体的样本,试求下列统计量的分布：（1）（2）),,,(21nXXX),0(2N;22242221223211nnXXXXXXY.22242212312nnXXXXXXY)(~222122321nXXXn),(~222422212232122242221223211nnFnXXXnXXXXXXXXXYnnnn)(~22222422nXXXn)(~..2222422123122242212312ntnXXXnXXXXXXXXXYnnnn)1,0(~.1231NnXXXn八、设总体，为样本，（1）写出的联合概率密度；（2）写出的概率密度。),(~2NX),(~2NX),,,(1021XXX),,,(1021XXXX解：102)(1011011021]21[)]([)(),,,(22xiiexfxfxxxf),(~2nNX22222)(2)(221)(nxnxXenenxf九、设，为样本。（1）求的分布律，（2）的分布律（3）求，，。解：),,,(21nXXX)(XE)(XD)(2SE),1(~pbX),,,(21nXXXniiX11,0,)1()(1kppkXPkkiniiniiixxnnixxnnppppxXxXxXP11)1()1(),,(112211),(~1pnbXXniiknkknniippCkXP)1()(1)()(,)()(),()(2XDSEnXDXDXEXE由)1()(,)1()(,)(2ppSEnppXDpXE第七章习题课一．填空题答案：1.无偏估计，，2.，3ˆX2},,,max{ˆ21nXXX3.，；niiXL1)1()()ln(ˆ11nxxxn4.5.)2,2(2121nXnXnXp二、选择题答案：1、B；2、C；3、A；4、C；5、B。解：由总体X的概率密度函数知，似然函数为：iniixnnnixpppppL1)1()1()(11三．设总体X的分布列为：，1)1()(kppkXPnXXXk,,,,,2,121是来自总体X的容量为的样本，求的极大似然估计量。np取对数)1ln()(ln)(ln1pxnpnpLnii令0)(11)(ln1niixnppndppLd解得极大似然估计值为：xxnpnii11所以p的极大似然估计量为：。Xp1四．设总体X的分布列为：0123Xp2)1(2221其中是未知参数，利用总体X的如下样本值：3，1，3，0，3，1，2，3，求)210(的矩估计值和极大似然估计值。解：（1）利用得：XXE)()1(2222)2113333(81)21(3所以的矩估计值为：。41ˆ（2）由已知似然函数为：426)21()1(4)(L取对数)21ln(4)1ln(2ln64ln)(lnL令0218126)(lndLd，解之得：12137ˆ解得极大似然估计值为：12137ˆ五、设总体，是的样本，试确定常数，使为的无偏估计。),(~2NX),,(21nXXXXc2111)(niiiXXc2)1(21)1(2)1(2))(1(2[)2[)2()2(())((2222211112111211121211121212111ncncnncEXEXEXEXcEXEXEXEXcXXXXcEXXcEniniiniiiiniiiiiniiiiiniii六、设总体的概率密度为：，是来自总体的容量为样本，求的矩估计和极大似然估计量。其他，，002),(2xxxfX),,(21nXXXXn解：矩估计niiXnXxdxxxXE1032021323212)(niiXnX112323ˆ极大似然估计其它0,,1,02)()()(),,,(),,,(21212121nixxxfxfxfxxxfxxxLinniinnnn由于极大似然函数不存在极大值，所以不存在极大似然估计七、设总体的概率密度为：其中未知，是常数。是来自总体的样本，求的极大似然估计量。X0,00,),(1xxexxfx00),,(21nXXXX其它0,,1,0)()()()(),,,(),,,(111212121nixe