关于积分限函数的小结----习题课选例

2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：如果事件A，B互斥，那么()()()PABPAPB.如果事件A，B相互独立，那么()()()PABPAPB.棱柱的体积公式VSh，其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高.棱锥的体积公式13VSh，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高.一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)设全集为R，集合{02}Axx，{1}Bxx，则A∩(CRB)=(A){01}xx(B){01}xx(C){12}xx(D){02}xx分析：由题意首先求得CRB，然后进行交集运算即可求得最终结果由题意可得：CRB={x|x1}，结合交集的定义可得：A∩(CRB)={x|x1}本题选择B选项.(2)设变量x，y满足约束条件5,24,1,0,xyxyxyy则目标函数35zxy的最大值为(A)6(B)19(C)21(D)45分析：由题意首先画出可行域，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：{x+y=5−x+y=1，可得点A的坐标为：A(2,3)，据此可知目标函数的最大值为：Zmax=3x+5y=3×2+5×3=21本题选择C选项.(3)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为(A)1(B)2(C)3(D)4分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值.结合流程图运行程序如下：首先初始化数据：N=20,i=2,T=0,Ni=202=10，结果为整数，执行T=T+1=1,i=i+1=3，此时不满足i≥5Ni=203，结果不为整数，执行i=i+1=4，此时不满足i≥5；Ni=202=10Ni=204=5，结果为整数，执行T=T+1=2，i=i+1=5，此时满足i≥5；跳出循环，输出T=2.本题选择B选项.(4)设xR，则“11||22x”是“31x”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系.绝对值不等式|x−12|12得−12x-1212即0x1由x31得x1据此可知|x−12|12是x31的充分而不必要条件.本题选择A选项.(5)已知2logea，ln2b，121log3c，则a，b，c的大小关系为(A)abc(B)bac(C)cba(D)cab分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果，由题意结合对数函数的性质可知：a=log2e1，b=ln2=1log2e∈(0,1),c=log1213=log23log2e据此可得：cab.本题选择D选项.(6)将函数sin(2)5yx的图象向右平移10个单位长度，所得图象对应的函数(A)在区间35[,]44上单调递增(B)在区间3[,]4上单调递减(C)在区间53[,]42上单调递增(D)在区间3[,2]2上单调递减分析：由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.由函数图象平移变换的性质可知：将的y=sin(2x+π5)图象向右平移π10个单位长度之后的解析式为：y=sin[2(x−π10)+π5]=sin2x则函数的单调递增区间满足：2kπ≤2x≤2kπ+π2(k∈z),即kπ−π4≤x≤kπ+π4(k∈z)，令k=1可得一个单调递增区间为[3π4,5π4]函数的单调递减区间满足：，即2kπ+π2≤2x≤2kπ+3π2，kπ+π4≤x≤kπ+3π4(k∈z)令k=1可得一个单调递减区间为.[5π4,7π4]本题选择A选项.(7)已知双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d和2d，且126dd，则双曲线的方程为(A)221412xy(B)221124xy(C)22139xy(D)22193xy分析：由题意首先求得A,B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后求解a的值即可确定双曲线方程.设双曲线的右焦点坐标为F(c,0)(c0)，则XA=XB=c，由c2a2-y2b2=1可得y=±b2a：，不妨设A(c,b2a)B(c,-b2a)，双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0,据此可得：d1=|bc−b2|√a2+b2=bc−b2cd2=d1=|bc+b2|√a2+b2=bc+b2c则，d1+d2=2bcc=2b=6则，b=3,b2=9,双曲线的离心率：e=ca=√1+b2a2=√1+9a2=2可得：a2=3则双曲线的方程为x23-y29=1本题选择A选项(8)如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADCD，120BAD，1ABAD.若点E为边CD上的动点，则AE.⃗⃗⃗⃗⃗⃗BE⃗⃗⃗⃗⃗的最小值为(A)2116(B)32(C)2516(D)3分析：由题意建立平面直角坐标系，然后结合点的坐标得到数量积的坐标表示，最后结合二次函数的性质整理计算即可求得最终结果.建立如图所示的平面直角坐标系，则，A(0,12),B(√32,0)，C(0,32),D(-√32,0)点E在CD上，则DE⃗⃗⃗⃗⃗=λDC⃗⃗⃗⃗⃗(0≤λ≤1)，设E(x,y)，则：(x+√32,y)=λ(√32,32)，即{x+√32=√32y=32λλ，据此可得：E(√32λ−√32,32λ)，且：，，由数量积的坐标运算法则可得：AE⃗⃗⃗⃗⃗∙BE⃗⃗⃗⃗⃗=(√32λ−√32)(√32λ−√3)+32λ(32λ+12)整理可得：，结合二次函数的性质可知，当λ=14时，AE⃗⃗⃗⃗⃗∙BE⃗⃗⃗⃗⃗取得最小值2116.本题选择A选项.第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2.本卷共12小题，共110分。二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。(9)i是虚数单位，复数67i12i.分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.由复数的运算法则得：6+7i1+2i=(6+7i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=20−5i5=4-i.(10)在51()2xx的展开式中，2x的系数为.分析：由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到r的值，然后求解的系数即可,结合二项式定理的通项公式有：，令可得：，则的系数为：.(11)已知正方体1111ABCDABCD的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥MEFGH的体积为.分析：由题意首先求解底面积，然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积.由题意可得，底面四边形为边长为的正方形，其面积，顶点到底面四边形的距离为，由四棱锥的体积公式可得：.(12)已知圆2220xyx的圆心为C，直线21,2232xtyt(t为参数)与该圆相交于A，B两点，则ABC△的面积为.分析：由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合弦长公式求得弦长，最后求解三角形的面积即可.由题意可得圆的标准方程为：，直线的直角坐标方程为：，即，则圆心到直线的距离：，由弦长公式可得：，则.(13)已知,abR，且360ab，则128ab的最小值为.分析：由题意首先求得a-3b的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.由可知，且：因为对于任意x，恒成立，结合均值不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.(14)已知0a，函数222,0,()22,0.xaxaxfxxaxax若关于x的方程()fxax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是.分析：由题意分类讨论x≤0和x0两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.当x≤0时，方程f(x)=ax即x2+2ax+a=ax,整理可得：x2=-a(x+1)，很明显x=-1不是方程的实数解，则a=−x2x+1当x0时，方程f(x)=ax即-x2+2ax-2a=ax整理可得：x2=a(x-2)，很明显x=2不是方程的实数解，则，a=x2x−2令g(x)={−x2x+1,x≤0x2x+1,x0其中−x2x+1=−(x+1+1x+1−2)，x2x−2=x−2+4x−2+4原问题等价于函数g(x)与函数y=a有两个不同的交点，求a的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数g(x)的图象，同时绘制函数y=a的图象如图所示，考查临界条件，结合a0观察可得，实数a的取值范围是(4,8).三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）在ABC△中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sincos()6bAaB.（I）求角B的大小;（II）设a=2，c=3，求b和sin(2)AB的值.分析：本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．（Ⅰ）解：在△ABC中，由正弦定理sinsinabAB，可得sinsinbAaB，又由πsincos()6bAaB，得πsincos()6aBaB，即πsincos()6BB，可得tan3B．又因为(0π)B，，可得B=π3．（Ⅱ）解：在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=π3，有2222cos7bacacB，故b=7．由πsincos()6bAaB，可得3sin7A．因为ac，故2cos7A．因此43sin22sincos7AAA，21cos22cos17AA．所以，sin(2)sin2coscos2sinABABAB4311333727214．(16)(本小题满分13分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.分析：本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．解（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）：随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X=k）=34337CCCkk（k=0，1，2，3）．所以，随机变量X的分布列为X0123P13512351835435随机变量X的数学期望11218412()0123353535357EX．（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=B∪C