关于算符的公设

吉林大学物理学院量子体系=客体+势场环境客体=单粒子，多粒子，甚至宏观物体势场环境=势场，势函数(依赖于时间）量子力学系统的科学理论定量解释或预见实验结果量子力学的基本原理（公设）(1).量子态的公设：Hilbert空间：定义了内积的完备的矢量空间。量子客体的状态是Hilbert空间中的归一化的“矢量”StateVector。相差常数相因子的态矢描述同一状态。(2).关于算符的公设：任一力学量对应着一线性厄米算符，该算符定义了态矢之间的一种映射关系。位置和动量这两个最基本的力学量所对应的算符满足基本的对易式：ˆˆ[,]xpi隐含了德布罗意的物质波假设(3).关于量子测量的公设：对于描述量子体系的任一态矢，可按某力学量算符的本征态系做线性展开，展开系数的模平方对应于相应本征态在该态矢中出现的几率。测量某力学量所得的测量值一般是不确定的，但所有的可能测量值必为该力学量算符的一本征值。测量后量子状态立即塌缩为该力学量的某一本征态。测量前，中，后(4).关于量子演化的公设：描述量子体系的态矢随时间的演化满足薛定谔方程。Htiˆ初始条件和边界条件(5).关于全同粒子的公设：由全同粒子组成的多粒子体系的态矢对于粒子对换操作具有对称或反对称性，分别对应于玻色子和费米子。泡利不相容原理位置表象Hilbert空间态矢，算符（映射），复数态矢波函数，波函数的统计诠释算符对波函数的具体操作形式Hilbert空间：：“平方可积”的函数的集合。（包括，平面波和Delta函数）22(,)[(,)](,)2itVtttmrrr偏微分方程算符的本征态（特殊的映射）ˆˆAnnnnnnaaaAaaa力学量的期望值：所有表象是平等的nnnca算符的矩阵形式内积运算是量子力学的数学表达的根本。ncAˆmnnmaFaFˆˆS-eq的求解：初态能量本征态一维定态问题：方位阱，位阱，线形谐振子。三维定态问题：球形位氢原子中心力场三维各向同性谐振子nnnC)0(ntiEnniHtneCet//)0()(nnnEHˆ中心力场：简并和完整力学数量组不考虑自旋自由度：完整力学量组考虑自旋自由度：非耦合表象耦合表象zLLHˆ,ˆ,ˆ2zzSLSLHˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ22zJSLJHˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ222lmln,,slmmln,,,jmljn,,,若（可作微扰处理且本征问题已知）非简并态（如）简并态（如）定态近似方法——微扰理论WHHˆˆˆ0Wˆ)0()0()0()0()0()1()0()0()2()0()0()1(ˆ,,ˆknnkknnnknkkknnkknnkkkkkWWEEWEEWWEWE0ˆH11,EkE2212,0ˆH021)1(212)1(2221112)1(11kkkkkkkaaaE1E2E定态近似方法——变分法■选择适当的波函数，（注意归一化）通过求得参数b的值，从而确定波函数。基态能量b0ˆbbHbˆ()()bHb多自由度情况：空间的直积自由度1：N维，其基矢为自由度2：M维，其基矢为则直积空间基矢，N*M维。例：两个自旋1/2的粒子的自旋空间的基矢为nkmLmnLk,,,角动量定义（自旋是内禀角动量）：若有三个算符，且满足则称为角动量。zyxJJJˆ,ˆ,ˆJiJJˆˆ,ˆzzyyxxeJeJeJJˆˆˆˆˆˆˆlmmlmJlmlllmJzˆ)1(ˆ2期望值不确定关系例：守恒量，则称为体系的一个守恒量。任何状态下，守恒量的平均值以及取值几率不随时间改变。Virial定理（束缚定态）Feynman-Hellmann定理（束缚定态）AAˆˆ0ˆ0ˆ,ˆtAHA且AˆVrTˆˆ2nEHˆBABA,212px力学量（算符）和量子态海森堡、薛定谔图像（picture）薛定谔图像：海森堡图像：若，则在不同图像下，恒量为0ˆttFStHttiSSˆ,0ttHHtFtFtiHHˆ,ˆˆ0ˆtH//ˆˆiHtSiHtHeFetF0)(tts0)(ttFH)(tesiHtHHHHsiHtsiHtsssstFeFetFt)(ˆ)0(ˆ)0()(ˆ)(进一步的问题：量子跃迁（含时微扰理论）散射问题（弹性，非弹性）对称性和守恒量相对论量子力学多粒子体系，二次量子化系统的角动量理论绝热近似，量子力学的相位问题，量子相干辐射场的量子理论，量子场论，基本粒子，量子光学…原子，分子，量子统计，凝聚态物性…经典极限，WKB近似方法，路径积分量子力学基本原理的思辨，量子测量，量子信息