离散数学代数结构部分

第三部分代数结构第五章代数系统代数结构又称为代数系统，简称代数，是抽象代数的主要研究对象。代数系统的种类很多，它们在计算机科学的自动机理论、编码理论、形式语言、时序线路、开关线路计数问题以及计算机网络纠错码的纠错能力判断、密码学、计算机理论科学等方面有着非常广泛的应用。本部分主要内容二元运算及其性质。二元运算中的特殊元素幺元，零元，逆元。代数系统的定义及其性质。定义5.1设为集合，函数称为上的二元运算，简称为二元运算。5.1节二元运算及其性质SSSSf:S在整数集合上，对任意两个整数所进行的普通加法和乘法，都是集合上的二元运算。Z如何判断一个运算是否为集合上的二元运算1唯一性集合S中任意的两个元素都能进行这种运算，并且结果要是唯一的。S2封闭性集合S中任意的两个元素运算的结果都是属于S的，就是说S对该运算是封闭的例5.1设A＝{x|x＝，n∈N}，问在集合A上通常的乘法运算是否封闭，对加法运算呢?解：对于任意的所以乘法运算是封闭的。而对于加法运算是不封闭的,因为至少有n2定义5.2设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于任意的x,y∈A，都有x*y＝y*x，则称该二元运算*是可交换的。例5.2设Q是有理数集合，*是Q上的二元运算，对任意的a，b∈Q，a*b＝a+b-a·b，问运算*是否可交换。解：因为a*b＝a+b-a·b＝b+a-b·a＝b*a，所以运算*是可交换的。定义5.1设为集合，函数称为上的二元运算，简称为二元运算。5.1节二元运算及其性质SSSSf:S在整数集合上，对任意两个整数所进行的普通加法和乘法，都是集合上的二元运算。Z定义5.2设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于任意的x,y∈A，都有x*y＝y*x，则称该二元运算*是可交换的。例5.2设Q是有理数集合，*是Q上的二元运算，对任意的a，b∈Q，a*b＝a+b-a·b，问运算*是否可交换。解：因为a*b＝a+b-a·b＝b+a-b·a＝b*a，所以运算*是可交换的。定义5.3设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于任意的x，y，z∈A，都有(x*y)*z＝x*(y*z)，则称该二元运算*是可结合的，或者说运算*在A上适合结合律。例5.3设A=Z,“+”是整数中的加法：则“+”在Z中适合结合律。“。”是整数中的减法：则特取而运算“。”不满足结合律定义5.4设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意的x∈A，都有x*x＝x，则称运算*是等幂的。例5.4设P(S)是集合S的幂集，在P(S)上定义的两个二元运算，集合的“并”运算∪和集合的“交”运算∩，验证∪，∩是等幂的。解：对于任意的A∈P(S)，有A∪A＝A和A∩A＝A，因此运算∪和∩都满足等幂律。定义5.5设。和*是S上的两个二元运算，如果对任意的有例5.5在实数集R上，对于普通的乘法和加法有即乘法对加法是可分配的。定义5.6设。和*是定义在集合A上的两个可交换二元运算，如果对于任意的x，y∈A，都有则称。运算和*满足吸收律例5.6设集合N为自然数全体，在N上定义两个二元运算*和★，对于任意x，y∈N，有x*y＝max(x，y)，x★y＝min(x，y)，验证运算*和★满足吸收律。解：对于任意a，b∈Na*(a★b)＝max(a，min(a，b))＝aa★(a*b)＝min(a，max(a，b))＝a因此，*和★满足吸收律。定义5.7设*是S上的二元运算，5.2节二元运算中的特殊元素1.幺元在自然数集N上加法的幺元是0，乘法的幺元是1.对于给定的集合和运算有的存在幺元，有的不存在幺元。定理5.1设*是S上的二元运算，如果S中存在关于运算*的）幺元，则必是唯一的。所以幺元是唯一的。定理5.2设*是S上的二元运算，如果S中既存在关于运算*的左幺元，又存在关于运算的右幺元则S中必存在关于运算*的幺元e并且lere定义5.8设*是S上的二元运算，2.零元在自然数集N上普通乘法的零元是0，而加法没有零元。定理5.3设*是S上的二元运算，如果S中存在（关于运算*的）零元，则必是唯一的。所以零元是唯一的。定理5.4设*是S上的二元运算，如果S中既存在关于运算*的左零元又存在关于运算*的右零元lr定义5.9设*是S上的二元运算，2.逆元例5.8整数集Z上关于加法的幺元是0，对任意的整数m，它关于加法的逆元是-m,因为定理5.5设*是S上可结合的二元运算，e为幺元,如果S中元素x存在（关于运算*）的逆元，则必是惟一的。所以对于可结合的二元运算，逆元是惟一的。定理5.6设*是S上可结合的二元运算，e为幺元,如果S中元素x既存在关于运算*的左逆元，又存在关于运算*的右逆元，则S中必存在x关于运算*的逆元并且lyry解：*运算适合交换律、结合律和消去律，不适合幂等律。单位元是a，没有零元，且运算适合交换律、结合律和幂等律，不适合消去律。单位元是a，零元是b.只有a有逆元，运算不适合交换律，适合结合律和幂等律，不适合消去律。没有单位元，没有零元，没有可逆元素。定义5.10设S是非空集合，由S和S上若干个运算构成的系统称为代数系统，记作5.3节代数系统代数系统也简称为代数。例如，R是实数集，对于普通的加法和剩法运算，M是n阶方阵构成的集合，对于矩阵的加法和剩法运算，定义5.11设都是封闭的，且B和S含有相同的代数常数，则称定义5.12设例5.11设定义5.13设定义5.14设例5.14表示求两个数的最小公倍数的运算。则解：零元是不存在的，只有惟一的逆元。例5.15在有理数集Q上定义二元运算*解：例5.16设有集合解：讨论这5个集合对普通的乘法和加法运算是否封闭。例5.17设解：第六章几个典型的代数系统本章讨论几类重要的代数结构：半群、群、环、域、格与布尔代数定义6.1设6.1节半群与群是可结合的即：定义6.2若半群例6.1（1）普通加法是（2）普通乘法是N,Z,Q和R上的二元运算，满足结合律且有幺元1定义6.3设例6.2定义6.3设定义6.4设定义6.5设例6.3设证明G关于矩阵乘法构成一个群．故G关于矩阵乘法是Z上的代数运算，矩阵乘法满足结合律，故G关于矩阵乘法构成半群，在G中每个矩阵的逆元都是自己，所以G关于矩阵乘法构成一个群。定义6.6若群例6.4（1）在中除0之外都没有逆元，所以它仅是含幺半群而不是群。中每个元素都有逆元即它的相反数，且运算满足交换律，所以它们是交换群。0没有逆元，所以它们仅是有么半群而不是群。例6.5设G={e,a,b,c},。为G上的二元运算，它由以下运算表给出。不难证明G是一个群，称该群为Klein四元群。定义6.7设例6.6在群解：定理6.1设证明：略。定义6.8设定义6.9例6.7对于集合列出其运算表如下表从表中可以看出，运算满足封闭性，满足结合律和交换律，0是单位元，每个元都有逆元，这个群的阶数是6，元素0，1，2，3，4，5的次数分别为1，6，3，2，3，6。定理6.2设下面证明唯一性从而唯一性得证。例6.8设定理6.3定理6.4设定理6.5G为有限群，则G的运算表中的每一行（每一列）都是G中元素的一个置换，且不同的行（或列）的置换都不相同。定义6.10设例6.9例6.10群定理6.6(子群判定定理1)设H是群。证明：必要性是显然的。定理6.7(子群判定定理2)设H是群证明：必要性充分性证明：定理6.8(子群判定定理3)设H是群证明：必要性是显然的。例6.11设定义6.11设6.2节陪集与拉格朗日定理例6.12设解：H的右陪集为定理6.9设H是群定理6.10设定理6.11设证明：略。推论6.1定理6.12设定理6.13设定义6.12群定理6.14（拉格朗日定理）设即子群的阶数一定是群的阶数的因子。根据定理6.11的推论有推论6.2设推论6.3设根据定理6.11的推论有定义6.13设任何群G都有正规子群，因为G的两个平凡子群定理6.15设证明：略。例6.13设例6.14设定理6.16设定义6.14设6.3群的同态与同构例6.13设定义6.15设定理6.17设证明：略。定义6.16设定理6.18（群同态基本定理）设定义6.17设6.4循环群与置换群定理6.19设例6.16例6.17设定义6.18设例6.18设定义6.19设例6.194元置换定义6.20设定理6.20定义6.21例6.20如图进行旋转，也可以围绕它的对称轴进行翻转，但经过旋转或翻转后仍要与原来的方格重合（方格中的数字可以改变）。如果把每种旋转或翻转看作是作用在定义6.22设6.5环和域例6.21（1）整数集定理6.21设2,3证明略。例6.22定义6.23设例6.23（1）整数环例6.22模6整数环定义6.24设定义6.22设6.5环和域例6.25设定义6.25设6.6格与布尔代数例6.26设n是正整数例6.27（1）对于偏序集定理6.22设定理6.23设定义6.26设定义6.27设例6.28设格定义6.28设例6.29说明下图中的格是否为分配格，为什么？定义6.29设定义6.30设例6.30例6.31定义6.31设定义6.32设定义6.33如果一个格是有补分配格，则称它为布尔格或布尔代数。