抛物型方程

前言第1页(共29页)抛物型方程解的估计及其应用1前言数学物理方程主要指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程（有时也包括积分方程、微分方程等），它们反映了有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系．连续介质力学、电磁学、量子力学等等方面的基本方程属于数学物理方程的范围．它以具有物理背景的偏微分方程（组）作为研究的主要对象．它与其他数学分支及物理、化学等自然科学和工程技术的很多领域都有着广泛的联系，因此，无论在历史上还是在今天的现实生活中，它对于推动数学理论的发展，加强理论与实际的联系，帮助人们认识世界和改造世界都起着重要大的作用．微积分产生以后，人们就开始把力学中的一些问题，归结为偏微分方程进行研究．早在18世纪初，人们已经将弦线振动问题归结为弦振动方程，并探讨了它的解法．随后，人们又陆续了解了流体的运动、弹性体的平衡和振动、热传导、电磁相互作用、原子核和电子的相互作用、化学反应过程等等自然现象的基本规律，把它们写成偏微分方程的形式，并且求出了典型问题的解答，从而能通过实践，验证这些基本规律的正确性，显示了数学物理方程对于认识自然界基本规律的重要性．有了基本规律，人们还要利用这些基本规律来研究复杂的自然现象和解决复杂的工程技术问题，这就需要求出数学物理方程中许多特定问题的解答，随着计算机的出现及计算技术的发展，即使是相当复杂的问题，也可以计算出足够精确的数值来，这对于预测自然现象的变化(如气象预报)和进行各种工程设计（如机械强度的计算）都有着很重要的作用．在研究数学物理方程的同时，人们对偏微分方程的性质也了解得越来越多、越来越深入，形成数学中的一门重要分支——偏微分方程理论．它既有悠久的历史，又不断地更新着它的对象、内容和方法．它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出或产生需要解决的新课题和新方法．它所面临的数学问题多样而复杂，不断地促进着许多相关数学分支（如泛函分析、复变函数、微分几何、计算数学等）的发展，并从它们之间引进许多有力的解决问题的工具．因此，数学物理方程又是纯粹数学的抛物型方程解的估计及其应用第2页(共29页)许多分支和自然科学各部门及工程技术等领域之间的一个重要的桥梁．2选题背景2.1题目类型及来源题目类型：研究论文题目来源：专题研究2.2研究目的和意义数学物理方程将数学与物理紧密地结合在一起，用精微的数学思想和方法应用于实际的物理研究中，通过物理过程建立数学模型（偏微分方程），通过求解和分析模型，对实际物理过程进一步深入理解，提出解决实际问题的途径和方法．而抛物型方程是偏微分方程中的一类，且在研究热传导、扩散等物理现象时都会遇到，具有巨大的理论价值，同时，抛物型方程的概念和性质也决定了它在工程数学，物理等方向的巨大实用价值．研究抛物型方程解的估计及其应用，有助于我们更好的理解和掌握偏微分方程理论，并在认识和了解抛物型方程广泛的使用价值的基础上，能够探索抛物型方程更广泛的应用．随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛．从数学自身的角度看，抛物型方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展．2.3国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向自18世纪以来，偏微分方程理论在得到广泛应用的同时，也得到不断发展和完善，内容也越来越丰富，它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出或产生需要解决的新课题和新方法．它所面临的数学问题多样而复杂，不断地促进着许多相关数学分支的发展，如泛函分析、复变函数、微分几何、计算数学等，并从它们之中引进许多有力的解决问题的方法．关于抛物型方程的解，有经典解、广义解、数值解等方面的研究．经典解在求解区域中具有方程中所出现的连续偏导数，并按通常意义满足方程与定解条件，也就是热传导方程的一些知识第3页(共29页)说，将解代入方程及定解条件后即可使其化为恒等式．求经典解的方法有分离变量法、Fourier变换法．经典解容易理解，且应用方便，但实际求解抛物型方程的定解问题时，往往不一定能得到经典解．于是就提出了广义解[1]的理论，即先寻求一个正则性较低的函数（广义解），它按较弱的意义满足方程与定解条件，然后再进一步证明这个函数实际上就是原来问题的经典解．广义解可按逼近过程来定义，也可按分部积分的方法来定义．由于抛物型方程的广义解是在“较差”的函数类中寻求相应定解问题按拓广意义下的解，因而又提出了广义函数的概念、性质、应用等方面的研究．在实际求解抛物型方程的定解条件时，除了一些特殊的情况下可以方便地求得其精确解外，在一般的情况下，当方程或定解条件具有比较复杂的形式，或求解区域具有比较复杂的形状时，往往求不到或不易求到其精确解，我们就只得去寻求抛物型方程定解问题的近似解，特别是数值近似解，于是就有了抛物型方程数值解的理论研究．求抛物型数值解的方法主要有：有限差分法、有限元素法．随着社会文明的发展，我国与其它国家的文化交流沟通很全面，偏微分方程的研究方向基本上也是一致的．在微分方程定性理论中有着重要应用的时滞积分不等式以及在差分方程定性理论中有重要应用的时滞离散不等式和关于时间尺度的动力方程理论，在研究了抛物型方程及抛物型方程系统、双曲型方程及双曲型方程系统的强迫振动性理论以及某些时滞脉冲偏微分方程在特定边值条件下解的振动的若干充要条件和多时滞脉冲抛物型微分方程系统解的强迫振动性，推广了已有的结果，建立了若干新定理，促进了偏泛函微分方程理论的发展，并主要创新提出并建立了偏泛函微分方程系统的强迫振动性理论以及具有连续分布变元的双曲型偏泛函微分方程系统和抛物型偏泛函微分方程系统的振动性理论；获得了变系数抛物型偏泛函微分方程解的振动的若干充分必要条件和时滞脉冲抛物型微分方程解的振动的若干充分必要条件和多时滞脉冲抛物型微分系统解的强迫振动性；研究了时滞积分不等式理论和关于时间尺度的动力不等式理论．这些理论的建立，为偏泛函微分方程理论和积分不等式理论的进一步发展起到了非常大的促进作用．3热传导方程的一些知识3.1热传导方程的导出若物体内各点的温度不相同，则其热量就会从温度较高的地方向温度较低的地方抛物型方程解的估计及其应用第4页(共29页)传递，这就是常说的热传导现象．由于热量的传递，所以物体内温度随时间和点的位置不同而不同，因此热传导问题可归结为研究物体内部的温度分布情况．下面我们考察一个均匀的、各向同性的物体G在内部的温度变化规律．设以,,uxyz表示物体G在内任一点,,Mxyz处在时刻t的温度．在内任取一小块区域V，使V，并且其边界是光滑的闭曲面，上面积元素的单位外法向量记作n．根据传热学中的傅里叶实验定律[2]，物体在无穷小时段dt内，从V内经过dS流出的热量dQ与时间dt，流经面积dS以及温度沿dS的外法向量的方向导数un成正比，即udQkdSdtkundSdtn其中0k是物体的热传导系数，,,xyz．上式中的负号表示热流的方向与温度梯度的方向相反（因为热量总是由温度高处流向温度低处），因此从时刻1t到时刻2t经过流入V内的全部热量211ttQdtkundsdt若物体内有热源，且热源强度为,,,Fxyzt（即在时刻t点,,xyz处的单位面积在单位时间内发出的热量），则在12,tt内，V从热源上吸收的热量为212,,,ttVQFxyztdxdydzdt另一方面，在12,tt内，V内温度从1,,,uxyzt升高到1,,,uxyzt所需吸收的热量为321,,,,,,VQcuxyztuxyztdxdydz其中为c物体的比热，为物体的密度．根据能量守恒，有热传导方程的一些知识第5页(共29页)123QQQ若,,,uxyzt关于,,xyz具有二阶连续偏导数，则由高斯公式得22111ttttVQdtkundsdtkudxdydzdt这里是laplace算子，222222xyz若,,,uxyzt关于t具有一阶连续偏导数，则由Newton-Leibniz公式有213tttVQdtcudxdydz因此有2211tttttVVdtcudxdydzdtkuFdxdydz由于时间段12,tt及区域V是任意取定的，并且被积函数是连续的，则2tuauf其中2kac，Ffc，并且当0f时，表示内有热源；当0f时，表示内有冷源（即热汇）．在适当情况下，方程中描述空间坐标的独立变量的数目还可以减少．例如当物体是均匀细杆时，假如它的侧面是绝热的，也就是说不产生热交换，又假定温度的分布在同一截面是相同的，则温度函数u仅与坐标x及时间t有关，我们就得到一维热传导方程222uuatx同样，如考虑薄片的热传导，薄片的侧面绝热，可得二维热传导方程22222uuuatxy抛物型方程解的估计及其应用第6页(共29页)3.2定解问题的提法方程描述的是同类物理现象的共性，但是每一具体的物理现象都是处在各自特定条件之下的，这就需要我们把它所处的特定条件也用数学形式表达出来，我们称这些特定条件为定解条件．定解条件分为初始条件和边界条件．初始条件是说明初始状态的条件，边界条件是描述边界状态的条件，边界条件可分为三类，第一类边界条件（又称Dirichlet边界条件）是直接给出未知函数在研究区域的边界上的值；第二类边界条件（又称Neumann边界条件）是在上给出未知函数u沿沿外法方向n的方向导数；第三类边界条件（又称为Robin条件）是在边界上给出未知函数u及其沿的外法方向导数的某种线性组合的值．从物理学角度来看，如果知道了物体在边界上的温度状况（或热交换状况）和物体在初始时刻的温度，就可以完全确定物体在以后时刻的温度．因此热传导方程最自然的一个定解问题就是在已给的初始条件与边界条件下求解问题的解．初始条件的提法显然为,,,0,,uxyzxyz其中,,xyz为已知函数，表示物体在0t时的温度分布第一边界条件：在3R中的有界区域的导热问题中，若的边界处于恒温0u的环境下，则边界条件为0uu若边界温度按已知规律,,,gxyzt变化，则,,,ugxyzt第二边界条件：若热量在边界曲面各点的流速为,,,Gxyzt，则由Fourier定律，边界条件可写成,,,ugxyztn其中Ggk，若0G，则0un，此时称之为绝热边界条件．定解问题的求解第7页(共29页)第三边界条件：如果物体内部与周围的介质通过边界有热量交换，物体外介质的温度为2u，物体表面的温度为1u，内外两种介质间的热交换系数为110kk，根据Newton定律，从物体内部流到外部的热量与两介质间的温度差成正比，即有112dQkuudsdt另一方面，由Fourier定律[3]，在时间间隔内从边界曲面上面积元流出的热量为udQkdsdtn从而有112ukuudsdtkdsdtn即,,,uugxyztn其中1kk，1,,,ugxyzt4定解问题的求解4.1初值问题的求解我们可以利用傅里叶变换来求解热传导问题的初值问题．其思想是把原函数变换到另一类函数中去，经过变换，使热传导方程变为常微分方程，从而可以找出一个解，再经过Fourier的逆变换，得到原热传导方程的解．2,,,,0,txxyyuauufxytuxyxy（1）视t为参数，先求解齐次热传导方程的初值问题2,,0,txxyyuauuuxyxy（2）对,xy进行Fourier变换，记12,,,,FuxytUt，抛物型方程解的估计及其应用第8页(共2