抛物线(二次函数图像)的平移(精品)

返回主页一、定义二、图象的平移规律三、典例讲解四、能力训练平移的定义、条件考点一1．定义：在平面内，将某个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．2．条件：确定一个平移运动的条件是平移的方向和距离．对于抛物线y=a(x-h)2+k的平移有以下规律：返回主页一、定义二、图象的平移规律三、典例讲解四、能力训练(1)、平移不改变a的值；(2)、若沿x轴方向左右平移，不改变a,k的值；(3)、若沿y轴方向上下平移，不改变a,h的值。左加右减，上加下减；位变形不变。图象的平移规律：Oxy1234512345–5–4–3–2–1–5–4–3–2–1y231xy2312xy2312xy顶点从(0,0)移到了(0,–2)，即x=0时，y取最大值–2顶点从(0,0)移到了(0,2)，即x=0时，y取最大值2Oxy1234512345–5–4–3–2–1–5–4–3–2–1y231xy2231xy2231xy顶点从(0,0)移到了(2,0)，即x=2时，y取最大值0顶点从(0,0)移到了(–2,0)，即x=–2时，y取最大值0Oxy1234512345–5–4–3–2–1–5–4–3–2–1向上y轴(0,0)向上直线x=1(1,0)向上直线x=1(1,1)y=2x2y=2(x–1)2y=2(x–1)2+1上Oxy1234512345–5–4–3–2–1–5–4–3–2–1画出函数的图像221xy22212xy32212xy221xy22212xy32212xy例1．(2010·成都中考)把抛物线y=x2向右平移1个单位，所得抛物线的函数解析式为()(A)y=x2+1(B)y=(x+1)2(C)y=x2-1(D)y=(x-1)2【解析】选D.根据抛物线的平移规律，左右平移，变自变量，“左加右减”，故选D.例题例题例2：将抛物线如何平移，可使平移后的抛物线经过点（3，-12）？(说出一种平移方案）213yx3.(2010·遵义中考)如图，两条抛物线y1=-x2+1、y2=-x2-1与分别经过点(-2,0),(2,0)且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为()(A)8(B)6(C)10(D)4【解析】选A.由图知y2可由y1向下平移2个单位得到，故阴影部分的面积为2×4=8.1212例题例题•例3.（2011桂林.本题满分12分）已知二次函数的图象如图.•（1）求它的对称轴与轴交点D的坐标；•（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与轴，轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；•（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由.例题•例3.（2011桂林.本题满分12分）已知二次函数的图象如图.•（1）求它的对称轴与轴交点D的坐标；•（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与轴，轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；•（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由.解:（1）由得1分∴Ｄ（3.０）2分21342yxx32bxa（2）方法一:•如图1,设平移后的抛物线的解析式为•…………3分•则COC=•令即得……4分•∴A，B•∴•…5分•……6分•∵•即:•得(舍去)…7分•∴抛物线的解析式为•……………8分21342yxxk(0,)kk0y213042xxk1349xk2349xk222222(349)(349)ACBCkkkk(349,0)k(349,0)k22(493349)1636ABkkk22836kk222ACBCAB14k228361636kkk20k213442yxx（3）方法一:•如图3,由抛物线的解析式可得•A(-2，0)，B(8，0)，C(４，0)，M……9分•作直线CM,过D作DE⊥CM于E,过M作MH垂直y轴于H,•则,,由勾股定理得•∵DM∥OC•∴∠MCH=∠EMD•∴Rt△CMH∽Rt△DME…………10分•∴得…………11分•由(2)知∴⊙D的半径为5•∴直线CM与⊙D相切…………12分25(3,)43MH254DM154CMDEMDMHCM5DE10ABy=ax2y=ax2+ky=a(x–h)2y=a(x–h)2+k上下平移左右平移上下平移左右平移结论:一般地,抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状相同,位置不同。小结：各种形式的二次函数的关系1．(12分)如图，已知抛物线C1：y=a(x+2)2－5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边)，点B的横坐标是1．(1)求P点坐标及a的值；(2)如图(1)，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；(3)如图(2)，点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点(点E在点F的左边)，当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．【解析】(1)由抛物线C1：y=a(x+2)2－5得顶点P的坐标为(-2，-5)，∵点B(1，0)在抛物线C1上，∴0=a(1+2)2－5，解得，a＝.(2)如图(1)连结PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G，∵点P、M关于点B成中心对称，∴PM过点B，且PB＝MB，∴△PBH≌△MBG，∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3，∴顶点M的坐标为(4，5).抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到，∴抛物线C3的解析式为y=－(x－4)2+5.5959(3)∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到，∴顶点N、P关于点Q成中心对称，由(2)得点N的纵坐标为5.设点N坐标为(m，5),作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G,作PK⊥NG于K.∵旋转中心Q在x轴上，∴EF＝AB＝2BH＝6，∴FG＝3，点F坐标为(m+3，0)，H坐标为(-2，0)，K坐标为(m，-5)，根据勾股定理得PN2＝NK2+PK2＝m2+4m+104，PF2＝PH2+HF2＝m2+10m+50，NF2＝52+32＝34.①当∠PNF＝90°时，PN2+NF2＝PF2，解得m＝，∴Q点坐标为(，0);②当∠PFN＝90°时，PF2+NF2＝PN2，解得m＝，∴Q点坐标为(，0);③∵PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90°.综上所得，当Q点坐标为(，0)或(，0)时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形．44319323103231931．(2010·襄樊)将抛物线y＝－12x2向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的解析式为________．【解析】平移后的顶点坐标是(1,2)，代入顶点式即可得到其解析式．【答案】y＝－12(x－1)2＋22．(2010·陕西)已知抛物线C：y＝x2＋3x－10，将抛物线C平移得到抛物线C′，若两条抛物线C、C′关于直线x＝1对称，则下列平移方法中，正确的是()A．将抛物线C向右平移52个单位B．将抛物线C向右平移3个单位C．将抛物线C向右平移5个单位D．将抛物线C向右平移6个单位【解析】抛物线C的解析式为y＝(x＋32)2－494，对称轴为x＝－32，已知两条抛物线C、C′的顶点坐标分别为(－32，－494)、(72，－494)．则抛物线C向右平移72－(－32)＝5个单位可得到抛物线C′.【答案】C2011吉林•27.如图，抛物线1:y=-x2平移得到抛物线，且经过点O(0.0)和点A(4.0)，的顶点为点B，它的对称轴与相交于点C,设、与BC围成的阴影部分面积为S,解答下列问题：•（1）求表示的函数解析式及它的对称轴，顶点的坐标。•（2）求点C的坐标，并直接写出S的值。•（3）在直线AC上是否存在点P，使得S△POA＝S？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由。•【参考公式：抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x＝－，顶点坐标是（－，）】．1l2l2l2l2l1l2ll2l1第27题ACOBxy