第4章 流体流动的守恒定律

SouthwestUniversityofScienceandTechnology杨军制造科学与工程学院2010年12月厚德博学笃行创新《流体力学》教材：工程流体力学（第2版）.黄卫星化学工业出版社.2008.12学时：40学时教师：杨军SouthwestUniversityofScienceandTechnology杨军制造科学与工程学院2010年12月厚德博学笃行创新第四章流体流动的守恒原理4.1概述4.1.1系统与控制体4.1.2输运公式4.2质量守恒方程（重点）4.2.1控制面上的质量流量4.2.2控制体质量守恒方程4.2.3多组分系统的质量守恒方程4.3动量守恒方程（重点，难点）4.3.1控制体动量守恒方程4.3.2动量守恒方程简化形式4.4动量矩守恒方程（重点）4.4.1动量矩定律4.4.2控制体动量矩守恒方程4.5能量守恒方程（重点）4.5.1运动流体的能量4.5.2控制体能量守恒方程4.5.3化工流动系统的能量方程4.5.4伯努利方程及其应用说明4.6守恒方程的综合应用4.6.1小孔流动问题4.6.2管流中的液体汽化问题4.6.3驻点压力与皮托管4.6.4管道局部阻力损失分析SouthwestUniversityofScienceandTechnology杨军制造科学与工程学院2010年12月厚德博学笃行创新4-1概述4.1.1基本概念：系统与控制体本章研究流体运动的宏观行为，其对象为流场内占据一定几何空间中的流场（控制体），其方法是流动过程必然遵循物质运动的基本原理（质量守恒、动量守恒、能量守恒等）。系统：确定不变的物质集合，其特点是质量不变但其边界形状可能在不停的改变。系统边界变化控制体的边界无变化控制体：根据需要所选取的具有一定位置和形状的流场空间。SouthwestUniversityofScienceandTechnology杨军制造科学与工程学院2010年12月厚德博学笃行创新4-1概述控制体控制体系统t=0t流入控制体流出控制体简单的讲：系统考察流体对象在流动中的形态变化；控制体考察某体积内的流入流出情况！4.1.1基本概念：系统与控制体SouthwestUniversityofScienceandTechnology杨军制造科学与工程学院2010年12月厚德博学笃行创新4-1概述4.1.2输运公式提示：流体作为特定形态的物质，其运动规律满足牛顿力学体系，但牛顿力学体系的通常理解是针对“质点”（或刚体）的，应用于流体时，适用于流体“系统”，而非“控制体”，故需要将通常的数学描述转换为适用于“控制体”，转换过程使用的公式，即为输运公式。控制体内所包含的流体系统的变化率=控制体内的变化率+流入量-流出量IIIIIItttt时刻的系统边界固定的控制体时刻的系统边界-+-+-+()v()()dmdtdmdtdEdt系统系统系统输出控制体输入控制体控制体内的的质量流量的质量流量质量变化率输出控制体输入控制体控制体内的的动量流量的动量流量动量变化率输出控制体输入控制体控制体内的的能量流量的能量流量能量变化率•输运公式将系统与控制体联系起来，是拉格朗日观点和欧拉观点的桥梁。•系统尺度量的变化包括两个方面:(1)流体输出输入控制体引起的尺度量变化；(2)控制体内尺度量随时间的变化SouthwestUniversityofScienceandTechnology杨军制造科学与工程学院2010年12月厚德博学笃行创新4-2质量守恒方程()mAqdAvn1n2n2v1v流出流入A1A2A0定义为质量通量，表示单位面积上的质量流量。()vn当控制体表面法向与流速夹角小于90°时，必有流量流出控制体，反之，夹角大于90°时，必有流量流入控制体。•流入的质量流量：11()mAqdAvn•流出的质量流量：22()mAqdAvn4.2.1控制面上的质量流量coscosnvvvn|v||n|•dA面上流体的法向速度：(),mnqvdAdAdvnnvdASouthwestUniversityofScienceandTechnology杨军制造科学与工程学院2010年12月厚德博学笃行创新4-2质量守恒方程4.2.2控制体质量守恒方程从控制体内总流出的质量为2101221cs=A+A+A()[()]()mmAAqqdAdAdAvnvnvn控制体内的质量为，从而控制体内的质量变化率为VmdVCVVdmddVdtdt•系统的质量守恒方程即为210CVmmdmqqdt(),)0-+(dmdmdtdt系统输出控制体输入控制体控制体内的的质量流量的质量流量质量变化率SouthwestUniversityofScienceandTechnology杨军制造科学与工程学院2010年12月厚德博学笃行创新4-2质量守恒方程210CVmmdmqqdt或()0AVddAdVdtvn对于稳态系统，，即有：0CVdmdt210mmqq或()0AdAvn对于稳态不可压缩系统，则有：const1122vAvA4.2.2控制体质量守恒方程•管道截面流体平均速度11()mmnmmmAAqvdAvdAAAAvnSouthwestUniversityofScienceandTechnology杨军制造科学与工程学院2010年12月厚德博学笃行创新例题12rv1v22211如图所示，不可压流体在管内做层流流动，已知进口截面1速度均匀分布，截面2上的速度分布为22max[1()]rvvR试确定vmax与v1的关系解：取两截面间的部分为控制体，对于不可压缩流，质量不随时间变化，故有控制体的总流量为0，即系统质量变化=流出质量-流入质量+控制体内的质量变化1212AAvdAvdA2222max1maxmax1200(1)22RrvvRdvrdrRvvRSouthwestUniversityofScienceandTechnology杨军制造科学与工程学院2010年12月厚德博学笃行创新例题2150kg/h30kg/h水盐120kg/h溶液1122mq1mq2mq如图所示，初始时，槽内有100kg水，现分别以150kg/h和30kg/h注入水和盐，并视槽内搅拌充分（密度均匀），溶液以120kg/h流出。试确定1h后出口溶液的浓度。解：去1-1,2-2截面内为控制体，题目条件仅告诉了质量流量，所以根据质量守恒式：系统质量变化=流出质量-流入质量+控制体内的质量变化1212()0()mmmmmmdqqqmdtmqqqtC初始条件，t=0时，m=100kg，得C=100kg设溶液浓度为x，则盐成分质量守恒有2()0mmdqxqmxdtSouthwestUniversityofScienceandTechnology杨军制造科学与工程学院2010年12月厚德博学笃行创新设溶液浓度为x，则盐成分质量守恒有2()0mmdqxqmxdt12()mmmmqqqtC12121221212212()()21212()[()]0[()][()]()1(1)mmmmmmmmmmmmmmmmmqqqqqmmmmmmdxqqxqqqqtCdtdtdxqqqtCqqqxqqqqxtqqC代入已知数据，得1h后出口溶液中盐的质量分率为：x=0.126SouthwestUniversityofScienceandTechnology杨军制造科学与工程学院2010年12月厚德博学笃行创新4-3动量守恒方程4.3.1控制体动量守恒方程根据牛顿力学可知：系统动量的变化率=系统所受的作用力，即：dmdtvF系统-+v()dmdt系统输出控制体输入控制体控制体内的的动量流量的动量流量动量变化率控制面上净输出的动量流量()mnqvdAdAdvn控制微元面dA上的质量流量为：则，控制微元面dA上的动量流量为：()mqdAvdvvn定义为动量通量，则从控制体内流出的动量为：()vvn()CSdAvvn控制体内的动量为，从而控制体内的动量变化率为：VdVvVddVdtv•则动量守恒方程为()CSVddAdVdtFvvnvSouthwestUniversityofScienceandTechnology杨军制造科学与工程学院2010年12月厚德博学笃行创新4-3动量守恒方程4.3.2动量守恒方程的简化形式•以平均速度表示的动量方程221122112211xxmxmxCVyymymyCVzzmzmzCVdvqvqvdVdtdvqvqvdVdtdvqvqvdVdtFFF•稳态流动系统的动量方程221122112211xxmxmyymymzzmzmvqvqvqvqvqvqFFFSouthwestUniversityofScienceandTechnology杨军制造科学与工程学院2010年12月厚德博学笃行创新例题3如图所示弯管，试确定稳态流体对弯头的作用力。22p1p1v2v112A1A2Gyp2A2p1A1解：1-1,2-2截面间流体为控制体；动量的变化率即为力（动量定理）；稳态流动，控制体内的动量无变化；所以2211mmqqFvv2211221122cossinmmmmmqqvqvqvqFvvF控制体所受的力有流体压力、重力和管壁的作用力，即221122cos0sin0xyFpApAFpAGF流体压力重力管壁对流体的作用力联立两式，即可求解Fx，Fy221121222'cos(cos)'sin(sin)xxmyymFFpApAvvqFFpAvqGSouthwestUniversityofScienceandTechnology杨军制造科学与工程学院2010年12月厚德博学笃行创新例题4小车以v0速度前行取水，取水管截面积A，求小车内的水在x方向对小车的作用力F。v02211A1A2v2v0yx解：1-1,2-2为控制体，根据动量守恒有2212mmqqFvv112200xmymVFvqddVFvqdtFv控制体内，vx=0，所以在x方向有0xVdvdVdt从而得2110xmFvqvASouthwestUniversityofScienceandTechnology杨军制造科学与工程学院2010年12月厚德博学笃行创新4-4动量矩守恒方程4.4.1动量矩定律dmrdtvrF系统动量矩定义为质点矢径与质点动量的叉乘，即。mrv方程式左边项：==rFrFM方程式右边项：dd()dd()d()d()=mmmmdtdtdtdtmmdtdtvrvrrvrvrvrvM系统系统即动量矩定律•系统所受力矩之和等于系统动量矩随时间的变化率SouthwestUniversityofScienceandTechnology杨军制造科学与工程学院2010年12月厚德博学笃行创新4-4动量矩守恒方程4.4.2控制体动量矩守恒方程根据动量守恒方程=()AVddAdVdtFvvnv即有()()()AVddAdVdtMrvvnrv作用于控制体的总力矩控制面净输出的动量矩流量控制体内瞬间动量矩的变化率动量矩守恒方程=+•二维稳态流动系统的动量矩方程在x-y平面内稳态流动系统，动量矩就只有z方向一个分量形式222