三角函数的图像与性质 知识点与题型归纳解读

1●高考明方向1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性．2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间－π2，π2内的单调性．★备考知考情三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点，题型既有选择题、填空题、又有解答题，难度属中低档，如2014课标全国Ⅱ14、北京14等；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数方程、转化化归等思想方法.一、知识梳理《名师一号》P55知识点2二、例题分析：（一）三角函数的定义域和值域例1．（1）《名师一号》P56对点自测3函数y＝lg(sinx)＋cosx－12的定义域为____________解析要使函数有意义必须有sinx0，cosx－12≥0，即sinx0，cosx≥12，解得2kπxπ＋2kπ，－π3＋2kπ≤x≤π3＋2kπ(k∈Z)．∴2kπx≤π3＋2kπ，k∈Z.∴函数的定义域为{x|2kπx≤π3＋2kπ，k∈Z}．例1．（2）《名师一号》P56高频考点例1(1)函数y＝sinx－cosx的定义域为________．3解:(1)要使函数有意义，必须有sinx－cosx≥0，即sinx≥cosx，同一坐标系中作出y＝sinx，y＝cosx，x∈[0,2π]的图象如图所示．结合图象及正、余弦函数的周期是2π知，函数的定义域为x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋54π，k∈Z.注意：《名师一号》P56高频考点例1规律方法(1)求三角函数的定义域实质就是解三角不等式（组）．一般可用三角函数的图象或三角函数线确定三角不等式的解．例2．（1）《名师一号》P56对点自测4函数y＝2sinπx6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()A．2－3B．0C．－1D．－1－34解:∵0≤x≤9，∴－π3≤π6x－π3≤7π6.∴sinπ6x－π3∈－32，1.∴y∈[－3，2]，∴ymax＋ymin＝2－3.注意：《名师一号》P56高频考点例1规律方法2求三角函数的值域的常用方法之一：利用sinx和cosx的值域(图像)直接求；例2．（2）8月月考第17题(1)17．（满分12分）已知函数22()3cos2cossinsinfxxxxx．（I）当[0,]2x时，求()fx的值域；222()3cos2cossinsin12cossin2fxxxxxxx2cos2sin2xx………2分222(sin2cos2)222xx52sin(2)24x…………3分[0,]2x时，52[,]444x，……4分2sin(2)[,1]42x，……5分()[1,22]fx，即()fx的值域为[1,22].…………………6分注意：《名师一号》P56高频考点例1规律方法2求三角函数的值域的常用方法之二：化为求sin()yAxb的值域如：①sincosyaxbxsin()yAx②22sinsincoscosyaxbxxcxsin2cos2ydxexfsin(2)yAxb注意弦函数的有界性！变式:《名师一号》P58特色专题典例1降幂合一变换合一变换6若函数f(x)＝asinx－bcosx在x＝π3处有最小值－2，则常数a，b的值是()A．a＝－1，b＝3B．a＝1，b＝－3C．a＝3，b＝－1D．a＝－3，b＝1解:函数f(x)＝asinx－bcosx的最小值为－a2＋b2.f(x)＝a2＋b2sin(x－φ)其中cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2，则－a2＋b2＝－2，fπ3＝32a－12b＝－2，解得a＝－3，b＝1.【名师点评】解答本题的两个关键：①引进辅助角，将原式化为三角函数的基本形式；②利用正弦函数取最值的方法建立方程组．例2．(3)《名师一号》P56高频考点例1(2)当x∈π6，7π6时，函数y＝3－sinx－2cos2x的最小值是________，最大值是________．7解:∵x∈π6，7π6，∴sinx∈－12，1.又y＝3－sinx－2cos2x＝3－sinx－2(1－sin2x)＝2sinx－142＋78.∴当sinx＝14时，ymin＝78；当sinx＝－12或sinx＝1时，ymax＝2.注意：《名师一号》P56高频考点例1规律方法2求三角函数的值域的常用方法之三：把sinx或cosx看作一个整体，转换成二次函数求值域．练习:(补充)（1）求函数22tan1()tan1xfxx的值域【答案】1,1（2）求函数22sin1()0,sin22xfxxx的值域8【答案】3,2222sin13sincos()sin22sincos3tan1113tan2tan2tan0,tan0211()23tan32tanxxxfxxxxxxxxxxfxxx注意：求三角函数的值域的常用方法之三：求三角函数的值域的常用方法：化为求代数函数的值域注意约束条件----三角函数自身的值域！例2．（4）(补充)求函数()sincossincosfxxxxx的值域【答案】12,129注意：求三角函数的值域的常用方法之四：《名师一号》P56问题探究问题3如何求三角函数的值域或最值？③形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(或最值)．利用22sincos1xx转化为二次函数在指定区间上的值域问题变式:求函数()sincossincosfxxxxx的值域例2．（5）详见第一章第二讲函数值域7．数形结合法：例7(2)《名师一号》P14问题探究问题（6）当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域．(补充)如两点间距离、直线斜率等等求函数4sin12cos4xyx的值域10解:114sinsin4422cos2cos2xxyxx可视作单位圆外一点12,4P与圆221xy上的点cos,sinxx所连线段斜率的2倍,设过点12,4P的点的直线方程为124ykx即1204kxyk令212411kk解得34k或512k答案：35,26注意：求三角函数的值域的常用方法之五：数形结合法练习：求函数cos10,sin2xyxx的值域11答案：40,3变式：求函数cos1,sin222xyxx的值域答案：10,2拓展:8月月考第16题函数222sin()24()2cosxxxfxxx的最大值是M，最小值是m，则Mm的值是.222222sin()2sincos2sin4()12cos2cos2cosxxxxxxxxxfxxxxxxx，记2sin()2cosxxgxxx，则()gx是奇函数且()1()fxgx，所以()fx的最大值是max1()Mgx，最小值是min1()mgx，因为()gx是奇函数，所以maxmin()()0gxgx，所以maxmin1()1()2Mmgxgx.12（三）三角函数的周期性、奇偶性、对称性例1．（1）《名师一号》P56对点自测5设函数f(x)＝sin2x－π2，x∈R，则f(x)是()A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为π2的奇函数D.最小正周期为π2的偶函数答案B例1．（2）《名师一号》P57高频考点例3（2）(2014·新课标全国卷Ⅰ)在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝cos2x＋π6，④y＝tan2x－π4中，最小正周期为π的所有函数为()A．①②③B．①③④C．②④D．①③解：由于y＝cos|2x|＝cos2x，所以该函数的周期为2π2＝π；由函数y＝|cosx|的图象易知其周期为π；函数y＝cos2x＋π6的周期为2π2＝π；函数y＝tan2x－π4的周期为π2，故最小正周期为π的函数是①②③，故选A.13注意：《名师一号》P56问题探究问题1如何求三角函数的周期？(1)利用周期函数的定义．(2)利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.例1．（3）《名师一号》P58特色专题典例2函数f(x)＝sinωx＋π3＋sinωx(ω0)相邻两对称轴之间的距离为2，则ω＝________【规范解答】相邻两对称轴之间的距离为2，即T＝4.f(x)＝sinωx＋π3＋sinωx＝12sinωx＋32cosωx＋sinωx＝32sinωx＋32cosωx＝3sinωx＋π6，又因为f(x)相邻两条对称轴之间的距离为2，所以T＝4，所以2πω＝4，即ω＝π2.注意：【名师点评】函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，f(x)＝Acos(ωx＋φ)图象上一个最高点和它相邻的最低点的横坐标之差的绝对值14是函数的半周期π|ω|，纵坐标之差的绝对值是2A.在解决由三角函数图象确定函数解析式的问题时，要注意使用好函数图象显示出来的函数性质、函数图象上特殊点的坐标及两个坐标轴交点的坐标等．练习:《加加练》P3第11题例2．（1）《名师一号》P57高频考点例3（1）(1)若函数f(x)＝sinx＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝()A.π2B.2π3C.3π2D.5π3解：(1)∵f(x)＝sinx＋φ3是偶函数，∴f(0)＝±1.∴sinφ3＝±1，∴φ3＝kπ＋π2(k∈Z)．∴φ＝3kπ＋3π2(k∈Z)．又∵φ∈[0,2π]，∴当k＝0时，φ＝3π2.故选C.15变式：若函数f(x)＝sinx＋φ3(φ∈[0,2π])是奇函数，则φ＝？例2．（2）《名师一号》P57高频考点例3（3）(3)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为()A.π6B.π4C.π3D.π2解：(3)由题意得3cos2×4π3＋φ＝3cos2π3＋φ＋2π＝3cos2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z.∴φ＝kπ－π6，k∈Z，取k＝0，得|φ|的最小值为π6.注意：【规律方法】(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大或最小值，若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0.(2)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心16时，可通过检验f(x0)的值进行判断．《名师一号》P56问题探究问题4如何确定三角函数的对称轴与对称中心？若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大值或最小值．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0.如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)，求x.(补充)结果写成直线方程！如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可．(补充)结果写点坐标！同理对于y＝Acos(ωx＋φ)，可求其对称轴与对称中心，对于y＝Atan(ωx＋φ)可求