上海市长宁区2015届高三上学期期末(暨一模)理科数学试题 Word版含解析

-1-上海市长宁区2015届高三上学期期末（暨一模）理科数学试卷考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸的相应编号的空格内填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是___________________.[考点：二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法．.专题：三角函数的图像与性质．分析：先利用二倍角公式化简函数，再求函数的周期．解答：解：函数y=sin2xcos2x=，∴函数y=sin2xcos2x的最小正周期是=．故答案为：．点评：本题考查二倍角公式，考查三角函数的周期，考查学生的计算能力，正确化简函数是关键2．若集合2{|||2},{|30}MxxNxxx，则M∩N_______________.考点：交集及其运算．.专题：集合．分析：利用不等式的性质和交集的定义求解．解答：解：∵集合M={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}，N={x|x2﹣3x≤0}={x|0≤x≤3}，∴M∩N={x|0≤x≤2}=[0，2]．故答案为：[0，2]．点评：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．3．复数221ii=______________.（是虚数单位）考点：复数代数形式的乘除运算．.专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：复数==2i，故答案为：2i．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．4．已知数列na的前n项和542nnS，则其通项公式为-2-考点：数列的函数特性．.专题：计算题．分析：由数列{an}的前n项和Sn=5﹣4×2﹣n，利用公式直接求解．解答：解：a1=S1=5﹣4×2﹣1=3，an=Sn﹣Sn﹣1=（5﹣4×2﹣n）﹣（5﹣4×2﹣n﹣1）=．当n=1时，，∴．故答案为：．点评：本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．5.已知214732lim6752nannn，则a考点：极限及其运算．.专题：计算题．分析：由等差数列的前n项和公式，把等价转化为=6，进而得到=6，所以，由此能求出a．解答：解：∵，∴=6，=6，-3-∴，解得a=28．故答案为：28．点评：本题考查数列的极限的运算，角题时要认真审题，仔细解答，注意等差数列前n项和公式的灵活运用．6.已知3,2,1,1,2,3,ba且ba，则复数biaz对应点在第二象限的概率为._______（用最简分数表示）考点：古典概型及其概率计算公式．.专题：计算题．分析：由已知中a，b∈{﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3}且a≠b，我们可以列举出所有（a，b）点的个数及复数z=a+bi对应点在第二象限的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，即可得到答案．解答：解：∵a，b∈{﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3}且a≠b，则（a，b）点共有（﹣3，﹣2），（﹣3，﹣1），（﹣3，1），（﹣3，2），（﹣3，3），（﹣2，﹣3），（﹣2，﹣1），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣2，3），（﹣1，﹣3），（﹣1，﹣2），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣1，3），（1，﹣3），（1，﹣2），（1，﹣1），（1，2），（1，3），（2，﹣3），（2，﹣2），（2，﹣1），（2，1），（3，1），（3，﹣3），（3，﹣2），（3，﹣1），（3，1），（3，2），共30种情况其中a＜0，b＞0，即复数z=a+bi对应点在第二象限共有：（﹣3，1），（﹣3，2），（﹣3，3），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣2，3），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣1，3），共9种情况故复数z=a+bi对应点在第二象限的概率P==故答案为：点评：本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，其中分别计算出基本事件的总数及满足条件的基本事件个数是解答本题的关键．7．已知函数()1logafxx，1()yfx是函数()yfx的反函数，若1()yfx的图象过点(2,4)，则a的值为._________考点：反函数．.专题：函数的性质及应用．分析：由y=f﹣1（x）的图象过点（2，4）得函数y=f（x）的图象过点（4，2），把点（4，2）代入y=f（x）的解析式求得a的值．解答：解：∵y=f﹣1（x）的图象过点（2，4），∴函数y=f（x）的图象过点（4，2），又f（x）=1+logax，-4-开始结束是否A＜35A←1A←2A+1打印∴2=1+loga4，即a=4．故答案为：4．点评：本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，是基础的计算题．8．如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小是.考点：直线与平面所成的角．.专题：空间角．分析：设出圆锥的半径与母线长，利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长得到圆锥的半径与母线长，进而表示出圆锥的母线与底面所成角的余弦值，也就求出了夹角的度数．解答：解：设圆锥的母线长为R，底面半径为r，则：πR=2πr，∴R=2r，∴母线与底面所成角的余弦值==，∴母线与底面所成角是60°．故答案为：60°．点评：本题用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长；注意利用一个角相应的三角函数值求得角的度数．9．根据右面的框图，打印的最后一个数据是.考点：程序框图．.专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，写出每次循环得到的A的值，当A=63，不满足条件A＜35，结束．解答：解：执行程序框图，有A=1，A=3，输出A的值为3，满足条件A＜35，A=7，输出A的值为7，满足条件A＜35，A=15，输出A的值为15，满足条件A＜35，A=31，输出A的值为31，满足条件A＜35，A=63，输出A的值为63，不满足条件A＜35，结束．故打印的最后一个数据是63．故答案为：63．点评：本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查．-5-10．已知数列{}na是以2为公差的等差数列，nS是其前n项和，若7S是数列nS中的唯一最大项，则数列{}na的首项1a的取值范围是.考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．.专题：计算题．分析：因为S7是数列{Sn}中的唯一最大项所以a7大于0而a8小于0．由此可导出首项a1的取值范围．解答：解：∵S7是数列{Sn}中的唯一最大项所以a7大于0，而a8小于0，a1+6d＞0，a1+7d＜0，即a1﹣12＞0，a1﹣14＜0得到a1的范围12＜a1＜14．故答案：（12，14）．点评：本题考查等差数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．11．五位同学各自制作了一张贺卡，分别装入5个空白信封内，这五位同学每人随机地抽取一封，则恰好有两人抽取到的贺卡是其本人制作的概率是考点：等可能事件的概率．.专题：计算题．分析：根据题意，首先由排列数公式分析可得5位同学每人随机地抽取1张卡片的情况；进而分两步分析5人中恰好有2人抽取到的贺卡是其本人制作的情况数目，①先在5人中抽出2人，使其抽取到的贺卡是其本人制作的，②分析抽到的都不是其本人制作的3人，由分步计数原理可得其情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．解答：解：根据题意，共5张贺卡，5位同学每人随机地抽取1张，有A55=120种情况，要满足5人中恰好有2人抽取到的贺卡是其本人制作，可以先在5人中抽出2人，使其抽取到的贺卡是其本人制作的，有C52=10种情况，则剩余的3人，抽到的都不是其本人制作的，有2种情况，则5人中恰好有2人抽取到的贺卡是其本人制作的情况有10×2=20种，其概率P==；故答案为．点评：本题考查等可能事件概率计算，关键是正确理解“恰好有两人抽取到的贺卡是其本人制作的”的含义．12.已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2226tan5bcaacB，则sinB的值是。考点：余弦定理；余弦定理的应用．.专题：计算题；转化思想．-6-分析：利用余弦定理可得cosB=，代入已知，化简后即可得结果解答：解：∵cosB=，∴==∴5sinB=3∴sinB=故答案为点评：本题考查了余弦定理的应用，解题时要认真观察，发现已知条件和余弦定理的关系，整体代入解决问题13.如图，在ABC△中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点MN，，若ABmAM，ACnAN，则mn的值为．考点：平行向量与共线向量．.专题：压轴题．分析：三点共线时，以任意点为起点，这三点为终点的三向量，其中一向量可用另外两向量线性表示，其系数和为一．解答：解：=（）=+，∵M、O、N三点共线，∴+=1，∴m+n=2．故答案：2点评：本题考查三点共线的充要条件．14.已知52315xx的展开式中的常数项为T，()fx是以T为周期的偶函数，且当[0,1]x时，()fxx，若在区间[1,3]内，函数()()gxfxkxk有4个零点，则实数k的取值范围是．考点：二项式定理；函数零点的判定定理．.BAONCM-7-专题：综合题；转化思想；综合法．分析：先求出展开式中的常数项T，求得函数的周期是2，由于g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点，即函数f（x）与r（x）=kx+k有四个交点，根据两个函数的图象特征转化出等价条件，得到关于k的不等式，求解易得．解答：解：∵的常数项为=2∴f（x）是以2为周期的偶函数∵区间[﹣1，3]是两个周期∴区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点可转化为f（x）与r（x）=kx+k有四个交点当k=0时，两函数图象只有两个交点，不合题意当k≠0时，∵r（﹣1）=0，两函数图象有四个交点，必有0＜r（3）≤1解得0＜k≤故答案为：点评：本题考点二项式定理，主要考查依据题设条件灵活转化的能力，如g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点，即函数f（x）与r（x）=kx+k有四个交点，灵活转化是正确转化是解题的关键．二．选择题(本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分．15．设z1、z2∈C,则“z21+z22=0”是“z1=z2=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．.专题：数系的扩充和复数．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若z1=i，z2=1，满足设“z12+z22=0”，但“z1=z2=0”不成立，若z1=z2=0，则z12+z22=0成立，故“z12+z22=0”是“z1=z2=0”的必要不充分条件，故选：B-8-点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的概念是解决本题的关键．16．函数,01,10xbyaab的图象为（）[来源:学科网]（A）（B）（C）（D）考点：函数的图象；指数函数的图像与性质．.专题：数形结合．分析：先考查y=a|x|的图象特征，y=a|x+b|的图象可看成把y=ax的图象向右平移﹣b（0＜﹣b＜1）个单位得到的，即可得到y=a|x+b|的图象特征．解答：解：∵0＜a＜1，∴y=ax的图象过第一、第二象限，且是单调减函数，经过（0，1），y=a|x|的图象可看成把y=ax的图象在y轴的右铡的不变，再将右侧的图象作关于y轴的图象得到的，y=a|x+b|的图象可看成把y=ax的图象向右平移﹣b（0＜﹣b＜1）个单位得到的，故选C．点评：本题考查函数图象的变换，指数函数的图象特征，体现了转化的数学思想．17.O是△ABC所在平面内的一点，且满足()(2)0OBOCOBOCOA，则△ABC的形状一定是（