矩阵分析

1矩阵分析教程矩阵分析教程矩阵分析教程矩阵分析教程(电子版电子版电子版电子版)董董董董增增增增福福福福哈尔滨工业大学数学系哈尔滨工业大学数学系哈尔滨工业大学数学系哈尔滨工业大学数学系2矩阵分析解决下述矩阵分析解决下述矩阵分析解决下述矩阵分析解决下述三大问题三大问题三大问题三大问题,(),nn=+−∈Moore-Penrose的的xbIAyyCAAA相容相容相容相容矛盾矛盾矛盾矛盾方法工具方法工具方法工具方法工具线性方程组通解线性线性方程组通解线性线性方程组通解线性线性方程组通解线性广义逆广义逆广义逆广义逆通式通式通式通式方程组方程组方程组方程组与与与与++++++++++++=的Axb问题一问题一问题一问题一相容相容相容相容线性方程组极小范数解线性方程组极小范数解线性方程组极小范数解线性方程组极小范数解=的bAx矛盾矛盾矛盾矛盾线性方程组极小范数线性方程组极小范数线性方程组极小范数线性方程组极小范数最小二乘解最小二乘解最小二乘解最小二乘解30000(),,,().().ddtdtdttt==+==xxxxfxAAxxx线性非微分方程组线性非微分方程组线性非微分方程组线性非微分方程组齐次齐次齐次齐次齐次齐次齐次齐次问题二问题二问题二问题二常系常系常系常系初值问题初值问题初值问题初值问题数数数数JordanLaplace方法工具方法工具方法工具方法工具矩阵的矩阵的矩阵的矩阵的矩阵微分矩阵积分矩阵微分矩阵积分矩阵微分矩阵积分矩阵微分矩阵积分向量向量向量向量与标准形与标准形与标准形与标准形的的的的换换换换矩阵矩阵矩阵矩阵变变变变与40()()())0(dtttdt=+=BXAXXXX矩阵微分方程矩阵微分方程矩阵微分方程矩阵微分方程+=LyapunovXAFXB问题三问题三问题三问题三矩阵方程矩阵方程矩阵方程矩阵方程KroneckervecX方法工具方法工具方法工具方法工具矩阵的积矩阵的积矩阵的积矩阵的积矩阵的矩阵的矩阵的矩阵的与与与与按行拉直列向量按行拉直列向量按行拉直列向量按行拉直列向量T()nm⊗+⊗=vecvecAIBFIX矩阵方程线性方程组矩阵方程线性方程组矩阵方程线性方程组矩阵方程线性方程组转化成转化成转化成转化成0()tttee=ABXX矩阵微分方程的解矩阵微分方程的解矩阵微分方程的解矩阵微分方程的解5第一章第一章第一章第一章线性空间线性空间线性空间线性空间与与与与线性线性线性线性变换变换变换变换核心内容1．．．．线性空间线性空间线性空间线性空间2．．．．线性空间的线性空间的线性空间的线性空间的基基基基与与与与坐标坐标坐标坐标3.线性线性线性线性子空间子空间子空间子空间4．．．．线性线性线性线性映射映射映射映射与线性与线性与线性与线性变换变换变换变换5．．．．线性线性线性线性变换变换变换变换的矩阵表示的矩阵表示的矩阵表示的矩阵表示6线性空间的定义线性空间的定义线性空间的定义线性空间的定义1.1,,,,,,;∈∈=+设是一是一如果对于任意两个元素总有的一个元素与之对应称为与的记为FVαβVγVγαβγαβ定定定定和和和和非空集非空集非空集非空集义义义义合合合合惟一惟一惟一惟一数域数域数域数域,,(),;()kkk∈∈∈=FαVδVδαδαV数数数数数量乘积数数量乘积数数量乘积数数量乘积数加法加法加法加法乘乘乘乘数乘数乘数乘数乘惟惟惟惟封闭封闭封闭封闭一一一一又对于任一及任一元素有的一个元素与之对应称为与的记为上述情况称对与运算(,,;,)kl∈∈并且这两种运算满足以下设αβγVF8888条规则条规则条规则条规则::::7()()()−α+β=β+αα+β+γ=α+β+γα+=θαα+α=θ零零零零①①①①交交交交换律换律换律换律②②②②结合律结合律结合律结合律③③③③元素元素元素元素素素素素负负负负④④④④元元元元加法加法加法加法()()klklα=αα=α⑤⑤⑤⑤单位单位单位单位11111111⑥⑥⑥⑥结合律结合律结合律结合律数乘数乘数乘数乘()()kkkklklα+β=α+β+α=α+α⑦⑦⑦⑦分配律分配律分配律分配律⑧⑧⑧⑧分配律分配律分配律分配律两者两者两者两者8那么，称为数域上的线性空间线性空间线性空间线性空间，记为．VF()VF)(FVnnR由于线性空间线性空间线性空间线性空间与维向量空间向量空间向量空间向量空间在本质上十分相似相似相似相似，故线性空间线性空间线性空间线性空间也常称为向量空间向量空间向量空间向量空间，其元素统称为向量向量向量向量．9[,]Cabnm×mn×R[]nPx例例例例1.1所有实矩阵实矩阵实矩阵实矩阵的全体构成实数域上的线性空间线性空间线性空间线性空间，记为．例例例例1.2次数小于次数小于次数小于次数小于n的实多项式实多项式实多项式实多项式的全体构成实数域R上的线性空间线性空间线性空间线性空间，记为．例例例例1.3区间上全体连续实函数连续实函数连续实函数连续实函数构成实数域R上的线性空间线性空间线性空间线性空间，记为．],[ba三个重要的三个重要的三个重要的三个重要的线性空间线性空间线性空间线性空间10两个复杂的两个复杂的两个复杂的两个复杂的线性空间线性空间线性空间线性空间的例子的例子的例子的例子1122111122((1),);,2().xyxyxykkkxkxkx−++⊕++

与运算为xyx定义定义定义定义数乘数乘数乘数乘加法加法加法加法121212121.4{(,),,},(,),(,),xxxxxxyyk==∈==∈设VxxRxyR例例例例则按照如此定义定义定义定义的加法加法加法加法与数乘数乘数乘数乘，V构成R上的线性空间线性空间线性空间线性空间．1112112211122211111111()(,)(,)(,);yzyzxxxyzyzxyzxyyxzz=++=++++⊕⊕⊕+++++xyz11111111221211112221()(,)(,)(,);xxyxyxzyyxyzzxyxzzyz=++=⊕⊕+⊕+++++++xyz②()().=⊕⊕⊕⊕故xyzxyz112211211211(,)(,).xyyxxyxyyxyx=++=⊕++=++⊕xyyx①证证证证封闭性封闭性封闭性封闭性显然,以下检验8条规则条规则条规则条规则成立成立成立成立1212121(0,0)(0,0),(,)(,00).0.xxxxx=⊕⊕+∈==++=为Vxxθθ零元素零元素零元素零元素③211212211211(,),()(()(0,),).0xxxxxxxxxx=−+⊕−++−−=−−−==为的xxθxx负元素负元素负元素负元素④2112121(111(1,1)(,.)2)xxxxx−===+xx⑤132121(1)(,)().2llkkkkxkxxlll+−==x1212()(,1))(2lllllxxxkk−+=x⑥122112(1)()2(1)2(,())kllllkkxxkxxl−−=++141122()(1)()((),))2(klklxklklklxx+=++++−+x⑦2112221111(1)(1)2(,())2()kxlxkxlkkllxxkxxlx+−=+−+++12122112(1)(1)2(,)(,2).kxkxlxlkklxllkxx==⊕⊕−−++xx1512122112(1)(1)2(,)(,2).kxkxkykkkkykkkxy==⊕⊕−−++xy2(,).⊕记之为R由定义由定义由定义由定义1.1可见可见可见可见V构成实数域构成实数域构成实数域构成实数域R上的上的上的上的线性空间线性空间线性空间线性空间，，，，■111122()(,)xkkxyyyx=++⊕+xy⑧121111122((),((1))())2xykxykxyykkx−+++=++1122112211(,()())(1)(1)22kkkkxkxkykyxyxykkk=+++⋅−−++16例例例例1.5设正实数集正实数集正实数集正实数集定义定义定义定义加法加法加法加法与数乘数乘数乘数乘运算分别为：{0,}+=∈RaaaR;,kkk+⊕=∀∈=∈abab,a,bRaaR试证明R+是实数域R上的线性空间线性空间线性空间线性空间．17,,kl+∀∈∀∈有a,b,cRR.()().=====⊕⊕⊕⊕⊕=⊕=⊕⊕ababbabaabcabcabcabcabc①②证证证证显然在R+上如此定义的加法加法加法加法与数乘数乘数乘数乘运算保保保保持封闭持封闭持封闭持封闭，再需验证运算满足满足满足满足8条规则条规则条规则条规则．,11+⊕=为的aaR零元素零元素零元素零元素....③18111,1.1+=⊕==为的aRaaaaa负元素负元素负元素负元素....④⑤()()().llkklklkkl====aaaaa⑥()()()()().kkkkkkkkk⊕⊕=====⊕abababababab⑧■由定义由定义由定义由定义1.1可见可见可见可见R+构成实数域构成实数域构成实数域构成实数域R上的线性空间上的线性空间上的线性空间上的线性空间，，，，仍记为仍记为仍记为仍记为R+()()().klklklklkl++===⊕⊕=aaaaaaaa⑦19
设为线性空间线性空间线性空间线性空间V(F)中的m个向量向量向量向量，由于线性空间线性空间线性空间线性空间V(F)与线性代数中的n维向量空间向量空间向量空间向量空间Rn在本质上十分相似，类似地可以定义V(F)中的向量组向量组向量组向量组的线性相关线性相关线性相关线性相关、线性线性线性线性无关无关无关无关、线性线性线性线性组合组合组合组合；两个两个两个两个向量组向量组向量组向量组的等价等价等价等价……mx,,x,x21201.6,;(),(1,2,...,;1,2,...,),,,.(1,2,...,;1,2,...,)0101.mnmnjttjsjisiieemnsiiiitjjjjmnmn××======×==在中:其中其余即的矩阵中仅第行第列元素为其余皆则EERE线性空间线性空间线性空间线性空间线性线性线性线性无关无关无关无关例例例例1111121211ijijmmmnmnmnkkkkk×+++++++=EEOEEE证证证证考查线性表达式线性表达式线性表达式线性表达式则有21111111.jniijinmnmmjmnkkkkkkkkk×=O11(1,2,,;1,2,).,,,,.0ijijmnkimjn===即所以EEE线性线性线性线性无关无关无关无关■22§§§§1.2线性空间线性空间线性空间线性空间的的的的基基基基与与与与坐标坐标坐标坐标121.2,,.()()..,,nxxxVFVF定义定义定义定义线性空间向量组线性空间向量组线性空间向量组线性空间向量组满足满足满足满足基基基基基基基基向量组向量组向量组向量组中的称为的或如果它12,,...,;nxxx①线性线性线性线性无关无关无关无关12,,...,).(n任一xVxxxF②线性线性线性线性向量向量向量向量组合组合组合组合中的写的皆可成线性空间线性空间线性空间线性空间V(F)中的基所含向量的个数n称为V(F)的维数维数维数维数，记为dimV(F)=n，也称为n维线性空间线性空间线性空间线性空间，记为Vn(F)．23设为的一个基基基基，对任意任意任意任意，有惟一惟一惟一惟一的线性表达式，称为向量在基基基基下的坐标．12,,...,nxxx()nVF()n∈xVF1,,1,2,...,iiinikkin==∈=∑xFx12,,...,nkkkx12,,...,nxxx对于确定的基基基基，向量在此基基基基下的坐标坐标坐标坐标是惟一惟一惟一惟一的．为方便计，往往将其表成列向量列向量列向量列向量24例例例例1.7在线性空间线性空间线性空间线性空间中，设显然有mn×Rnmija