1.2.1函数的概念

一次函数二次函数反比例函数2y=ax+b(a0)y=ax+bx+c(a0)ky=(k0)x初中时的函数定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量．新课导入初中学过的函数：计算天体的位置，用到了函数炮弹的速度对于高度和射程的影响用到了函数远距离航海中对经度与纬度的测量用到函数f:A→By=f(x),xA1.2.1函数的概念教学目标知识与能力函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识．过程与方法（1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域.情感态度与价值观使学生感受到学习函数的必要性和重要性，激发学习的积极性.教学重难点理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数.重点难点符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示.1.一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标，炮弹的射高为845m，且炮弹距离地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是根据问题的实际意义，对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系＊，在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应.2h=130t-5t.＊观察实例：注意：时间t的变化范围是数集A={t︱0≤t≤26}，高度h的变化范围是数集B={h︱0≤h≤845}.2.某城市一天各个时刻的温度情况，如图：对于数集A中的每一个时刻t，都有唯一确定的温度T和它对应.注意：时刻t的变化范围是数集A={t︱0≤t≤24},温度T的变化范围是数集B={T︱-2≤T≤10}.3.国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活水平质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。表1中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.表1“八五”以来中国城镇居民恩格尔系数变化情况思考表中恩格尔系数与时间（年）的关系？注意：时间t的变化范围是数集A={t︱1998≤t≤2005}恩格尔系数k的变化范围是数集B={k︱37.9≤k≤50.1}.对于数集A中每个年份t，在数集B中都有唯一确定的恩格尔系数与它对应.以上例子中，变量之间的关系有什么共同的特点呢？对于集合A中的每个x，按照某种关系f，在数集B中都有唯一确定的y与它对应。记作：f:A→B.设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到B的一个函数．记作y=f(x),x∈A其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．知识要点（1）要求必须是非空集合A，B；（2）必须是集合A中的任意一个x；（3）必须是在集合B中有唯一确定的数与之相对应;（4）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；（5）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．注意下列图像中不能作为函数y=f(x)的图像.xy02-2xy02-2xy02-2xy02-2××下列函数的定义域，对应关系，值域.1.y=ax+b(a0)22.y=ax+bx+c(a0)定义域是R，值域是R对于R中的任意一个数x，在R中都有唯一确定的数y=ax+b(a≠0)和它对应.思考k3.y=(k0)x定义域是A={︱x≠0}，值域是R.对于集合A中的每一个x，在R中都有唯一确定的值与它对应.xRky=(k0)x定义域是R，值域是集合B，当a0时，B={y︱y≥},当a0时，B={y︱y≤}.对于R中的任意一个数x，在B中都有唯一确定的和它对应.24ac-b4a2y=ax+bx+c(a0)24ac-b4a构成函数的三要素是定义域、对应关系和值域.与函数相关的概念——区间定义名称符号数轴表示{x︱a≤x≤b}闭区间[a，b]{x︱axb}开区间(a，b){x︱a≤xb}半开半闭区间[a，b){x︱ax≤b}半开半闭区间(a，b]abababab用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的点.集合符号数轴表示R{x︱x≥a}{x︱xa}{x︱x≤b}{x︱xb}aabb做一做(-∞，+∞)[a，+∞)(a，+∞)(-∞，b](-∞，b)（1）区间是集合；（2）区间的左端点小于右端点；（3）区间中的元素都是点，可以用数字表示；（4）任何区间都可以在数轴上表示出来；（5）以“－∞”，“+∞”为区间的一端时，这一端必须是小括号.例如（+∞，100]注意;1(1)f(x)=x-|x|例1求下列函数的定义域.1(2)f(x)=x+2+10-x分析：函数的定义域通常是由问题的实际背景确定，如果单纯的给出解析式y=f(x),没有指明定义域，那么函数的定义域就是使这个式子有意义的实数的集合.解：（1）使有意义，就是，即使分数有意义的集合是{x︱x0}，所以这个函数的定义域就是{x︱x0}.(2)使根式有意义的实数的集合是{x︱x≥-2}，使分式成立的实数的集合是{x︱x≠10}.所以，这个函数的定义域就是{x︱x≥-2}{x︱x≠10}={x︱x≥-2，且x≠10}.1x-xx-x0x+2110-x例2已知函数（1）求f(-1)，f(0)的值；（2）当-1≤a≤3时，求f(a)的值.f(x)=3-x+x+1-1(2)f(a)=3-a+a+1-1(1)f(-1)=3-(-1)+(-1)+1-1=1f(0)=3-0+0+1-1=3解：且边长为正数，所以0＜x＜40.所以面积s=80-2x280-2xx2=（40－x）x（0＜x＜40）解：由题意知，另一边长为例3设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积关于x的函数的解析式，并写出定义域.（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.（3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）.（5）满足实际问题有意义.几类函数的定义域：判断两个函数相等：1.构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）.2.与表示自变量和函数值的字母无关.知识要点解：①f(x)=(x－1)0=1，其定义域与g(x)=1的定义域是相同的，所以这两个函数是相等的.②f(x)=x与函数g(x)=的定义域都是实数R，但是当x0时，它们的对应关系不相同。所以这两个函数不相等.2x2x例4判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？①f(x)=(x－1)0；g(x)=1②f(x)=x；g(x)=到现在为止，我们在初中学习的基础上，运用集合和对应的语言刻画了函数的概念，并引进了符号y=f(x),明确了函数的构成要素.通过比较两个函数的定义，你对函数有什么新的认识?这两种定义在实质上是一致的，不同的只是叙述的出发点不同，初中给出的定义是从运动变化的观点出发，而现在所给的定义是从集合、对应的观点出发.1.函数的概念设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到B的一个函数．记作y=f(x),x∈A其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．课堂小结定义名称符号数轴表示{x︱a≤x≤b}闭区间[a，b]{x︱axb}开区间(a，b){x︱a≤xb}半开半闭区间[a，b){x︱ax≤b}半开半闭区间(a，b]abababab与函数相关的概念——区间2.构成函数的三要素定义域、对应关系和值域.3.判断两个函数相等两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关.高考链接1.（2007江西）函数f(x)=的定义域为（）1lg4xxA.（1，4）B.[1,4)C.(-∞,1)∪（4，+∞）D.(-∞,1]∪（4，+∞）解析：由0可得1x414xxA解析：y=的定义域为{x|x0},而的定义域也为{x|x0}.1x()lnfxx2.（2009福建）下列函数中，与函数y=有相同定义域的是（）1xAA.B.C.D.()lnfxx1()fxx()||fxx()xfxe3．（2008山东）设函数则的值为（）A．B．C．D．182211()21≤，，，，xxfxxxx1(2)ff1516271689A解析：∵21∴=4，此时=∵≤1∴=(2)f1(2)f14141(2)ff15161.已知函数，求x+2,x1f(x)=-x+1,x1f(2),f[f(2)].课堂练习解：∵21∴f(2)=-x+1=-2+1=-1f[f(2)]=f(-1)=-1+2=11(1)f(x)=11+x-1x+2(2)f(x)=x+12.求下列函数的定义域.解：（1）使分式有意义的实数集合是{x∣并且x≠1}，所以此函数的定义域为{x∣x≠0且x≠1}.11+0x-1(2)使根式成立的实数集合是{x∣x≥-2}，使分式有意义的实数集合{x∣x≠-1}所以此函数的定义域为{x∣x≥-2且x≠-1}.3.已知函数f(x+1)的定义域为[-2,3]，则f(x-2)的定义域是_________.22(3)y=1-x+x-1解：(3)使根式成立的实数集合是{x∣-1≤x≤1}，使根式成立的实数集合是{x∣x≧1或x≤-1}所以此函数的定义域为{x∣-1≤x≤1}∩{x∣x≧1或x≤-1}={x=1或x=-1}.21-x2x-1[1,6]4.判断下列函数是否相等，为什么？.22(1)f(x)=x;f(x)=(x+1)2(2)f(x)=x;g(x)=x.两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致.与表示自变量和函数值的字母无关.解：（1）令x+1=y，则这两个函数的对应关系是一样的，并且定义域也是一样的，都是x∈R，所以这两个函数是相等的.（2）g(x)=∣x∣，这两个函数对应关系是一样的，它们的定义域也相同，所以这两个函数相等.2(3)y=x;y=x.2x,x0(3)y=x=x=-x,x0显然这两个函数的定义域都是实数集R，但是当x0时，它们的对应关系不相同，所以这两个函数的不相等.教材习题答案711.(1)4x+70,x-,f(x)=44x+77{xRx}.4为数义为因≠得≠所以，函的定域≠-(2)1-x0x+30,-3x1,f(x)=1-x+x+3-1{xR-3x1}.为数义为因且得所以，函的定域2.（1）f(2)=28;f(-2)=-28;f(2)+f(-2)=033(2)f(a)=3a+2a,f(-a)=-(3a+2a),f(a)+f(-a)=03.(1)不相等，因为前者的定义域为{t∣0≤t≤26},而后者的定义域为R.(2)不相等，因为前者的定义域为R，而后者的定义域为{x∣x≠0}.