数学一轮复习：平面向量与复数(苏教版)

平面向量与复数知识体系第一节平面向量的概念及其线性运算基础梳理名称定义表示法向量既有大小又有方向的量;向量的大小叫做向量的长度(或模)向量AB模|AB|零向量长度为0的向量;其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位长度的向量常用e表示1.向量的有关概念及表示平行向量方向相同或相反的非零向量a与b共线可记为a∥b;0与任一向量共线共线向量平行向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量a=b相反向量长度相等，方向相反的向量(1)a的相反向量记作-a;(2)0的相反向量为0.平行四边形法则向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)a+0=a;(2)a+(-a)=0;(3)交换律:a+b=b+a;(4)结合律:(a+b)+c=a+(b+c).2.向量的线性运算三角形法则减法求两个向量差的运算a-b=a+(-b)数乘实数λ与向量a相乘(1)|λa|=|λ||a|.(2)当λ0时,λa与a的方向相同;当λ0时,λa与a的方向相反;当a=0时，λa=0;当λ=0时,λa=0.λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb.三角形法则3.向量共线定理非零向量a与向量b共线的充要条件:存在唯一一个实数λ,使b=λa.(a≠0)典例分析题型一平面向量的有关概念【例1】给出下列五个命题①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;②若|a|=|b|,则a=b;③在□ABCD中,一定有AB=DC;④若m=n,n=p,则m=p;⑤若a∥b,b∥c,则a∥c.其中正确的序号是______.分析在正确理解有关概念的基础上,注意特殊的情况,是解决本题的关键.解两个向量起点相同,终点相同,则两向量相等;但两个向量相等,不一定有相同的起点和终点,所以①不正确;|a|=|b|,但a,b方向不确定,所以a,b不一定相等,故②不正确;零向量与任一非零向量都平行,当b=0时,a与c不一定平行,故⑤不正确.③④正确.学后反思(1)着重理解向量以下几个方面:①向量的模;②向量的方向;③向量的几何表示;④向量的起点和终点.(2)判定两个向量的关系时,要特别注意以下两种特别的情况:①零向量与任何向量共线；②单位向量的长度为1，方向不固定.举一反三1.（原创题）中国象棋中，兵走一步表示一个向量a（走前位置为起点，走后位置为终点），则a最多有______个.解析：本题考查平面向量的有关概念，过河之前兵每次只能向前走一步，过河以后又可向左或向右各走一步，故a最多有3个.答案：3题型二平面向量的线性运算【例2】如图,D、E、F分别为△ABC的三边BC、AC、AB的中点.求证:AD+BE+CF=0.分析在三角形中其他向量最好向三条边上的向量靠拢,即用AB,BC,AC来分别表示待求的向量.证明∵AD=AC+CD,AD=AB+BD,∴2AD=AC+AB+CD+BD,即2AD=AC+AB.同理2BE=BA+BC,2CF=CA+CB.所以2(AD+BE+CF)=AC+AB+BA+BC+CA+CB=0.故AD+BE+CF=0.学后反思平面向量的线性运算常与平面几何图形相结合,求解此类问题应注意:(1)结合图形,选择关系明确的一组不共线向量来表示其他向量,选择恰当的运算关系.(2)注意特殊点的应用.如线段AB的中点为P,则有(其中O为任一点).OB)(OA21OP举一反三2.（2009·山东）设P是△ABC所在平面内的一点，BC+BA=2BP，则PA+PC=_______解析：如图，由向量加法的平行四边形法则易知，BA与BC的和向量过AC边中点，长度是AC边中线长的二倍，结合已知条件可知P为AC边中点，故PA+PC=0.答案：0题型三向量的共线问题【例3】设两非零向量a和b不共线,如果AB=a+b,CD=3(a-b),BC=2a+8b.求证:A、B、D三点共线.分析用向量法证明A、B、D三点共线,可以利用共线向量定理,得到BD=λAB(或AD=λAB等),BD∥AB说明直线BD和AB平行或重合;因为有公共点B,所以只能重合，从而由向量共线推出三点共线.证明∵BC=2a+8b,∴CB=-2a-8b,∴BD=CD-CB=3a-3b+2a+8b=5(a+b),∴BD=5AB.由向量共线定理得BD∥AB,又直线AB和BD有公共点B,因此A、B、D三点共线.学后反思(1)向量共线的充要条件中要注意当两个向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量;要注意待定系数法的运用和方程思想.(2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决;但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.解题中应强调“直线AB和BD有公共点B”这一步骤.举一反三3.设两个非零向量e1,e2不共线,已知AB=2e1+ke2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2.若A、B、D三点共线,试求k的值.解析：BD=CD-CB=2e1-e2-(e1+3e2)=e1-4e2.若A、B、D三点共线,则AB∥BD;从而存在唯一实数λ,使AB=λBD,即k的值为-8时,A、B、D三点共线.即2e1+ke2=λ(e1-4e2),整理得(2-λ)e1=-(k+4λ)e2,∵e1、e2不共线,-8.k2,04k0,-2解得题型四向量知识的综合应用【例4】（14分)已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,c=2e1-9e2,其中e1,e2为两个非零不共线向量.问:是否存在这样的实数λ,μ,使向量d=λa+μb与c共线?分析运用向量共线的条件,确定是否存在实数k,使得d=kc.解d=λa+μb=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(3μ-3λ)e2…………………………………………4′要使c∥d,则应存在实数k,使d=kc,…………………………………6′即(2λ+2μ)e1+(3μ-3λ)e2=k(2e1-9e2)=2ke1-9ke2,……………8′∵e1,e2不共线,故存在这样的实数λ,μ,只要满足λ=-2μ,就能使d与c共线……14′学后反思设e1,e2不共线,若λ1e1+λ2e2=k1e1+k2e2,则有λ1=k1,λ2=k2.本题正是利用这一结论构造方程组来求解的.-2-9k,33-2k,22举一反三4.已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足PA+PB+PC=0,若实数λ满足AB+AC=λAP,求λ的值.解析：∵AB+AC=λAP,∴PB-PA+PC-PA=λAP,即PB+PC-2PA=λAP.又∵PA+PB+PC=0,∴PB+PC=-PA,∴-3PA=λAP=-λPA,∴-3=-λ,即λ=3.考点演练10.（2010·海门模拟）如图，在△ABC中，,记AB=a,AC=b,求DE.（用a与b表示）解析:21EBAEDACDb.32-a31AD-AEDEb,32AC32ADa,31AB31AE11.如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP∶PM的值.解析：设BM=e1,CN=e2,则AM=AC+CM=-3e2-e1,BN=BC+CN=2e1+e2.∵A、P、M和B、P、N分别共线,∴存在λ、μ∈R,使AP=λAM=-λe1-3λe2,BP=μBN=2μe1+μe2.故BA=BP-AP=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.而BA=BC+CA=2e1+3e2,∴由平面向量基本定理得∴AP=45AM,即AP∶PM=4∶1..53,54,332,212.设OA、OB不共线，点P在AB上，求证：OP=λOA+μOB且λ+μ=1,λ、μ∈R.证明:∵P在AB上，∴AP与AB共线,∴AP=tAB，∴OP-OA=t(OB-OA)，∴OP=OA+tOB-tOA=(1-t)OA+tOB.设1-t=λ,t=μ,则OP=λOA+μOB且λ+μ=1,λ、μ∈R.第二节平面向量的基本定理及坐标表示基础梳理1.平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.我们把不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.(2)平面向量的正交分解一个平面向量用一组基底e1,e2表示成a=λ1e1+λ2e2的形式,我们称它为向量a的分解.当e1,e2所在直线互相垂直时,这种分解也称为向量a的正交分解.(3)平面向量的坐标表示①一般地,对于向量a,当它的起点移至原点O时,其终点的坐标(x,y)称为向量a的(直角)坐标,记作a=(x,y).②若分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,则a=xi+yj.2.平面向量的坐标运算(1)加法、减法、数乘运算向量bba+ba-bλa坐标(x1,y1)(x2,y2)(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(λx1,λy1)(2)向量坐标的求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去始点的坐标.(3)平面向量平行(共线)的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中a≠0,则a与b共线a=λbx1y2-x2y1=0.典例分析题型一平面向量基本定理【例1】如图,在△OAB中,,AD与BC交于点M,设OA=a,OB=b,以a、b为基底表示OM.OB21ODOA,41OC分析本题可用待定系数法,设OM=ma+nb(m,n∈R),再利用向量的运算及共线向量的条件列出方程组,确定m,n的值.解设OM=ma+nb(m,n∈R),则AM=OM-OA=(m-1)a+nb,因为A,M,D三点共线,所以,即m+2n=1.b.21-aa-b21OA-ODAD21n1-1-m又因为C,M,B三点共线,所以,即4m+n=1.所以b,a41-OC-OBCBb,na)41-m(OC-OMCM而n41-41-m,73n,71m1n4m1,2nm解得由b.73a71OM学后反思(1)在平面向量基本定理的应用中,当基底确定后,向量的表示是唯一的.合理地选取基底会给解题带来方便.(2)解决该类问题,用基底表示向量是基本方法,还应注意三角形法则、中点坐标公式的熟练应用.举一反三1.如图，P是△ABC内一点，且满足AP+2BP+3CP=0，设Q为CP延长线与AB的交点，令CP=p,试用p表示CQ.解析：∵AP=AQ+QP,BP=BQ+QP,∴(AQ+QP)+2(BQ+QP)+3CP=0.∴AQ+3QP+2BQ+3CP=0.又∵A,B,Q三点共线，C，P，Q三点共线，∴AQ=λBQ,CP=μQP,∴λBQ+3QP+2BQ+3μQP=0,∴(λ+2)BQ+(3+3μ)QP=0.而BQ,QP为不共线向量,∴∴CP=-QP=PQ.则CQ=CP+PQ=2CP=2p.-1.-2,0330,2解得题型二平面向量的坐标运算【例2】已知点A(-1,2),B(2,8)以及,求点C、D的坐标和CD的坐标.分析根据题意可设出点C、D的坐标,然后利用已知的两个关系式,列方程组,求出坐标.BA31DAAB,31AC解设点C、D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由题意得AC=(x1+1,y1-2),AB=(3,6),DA=(-1-x2,2-y2),BA=(-3,-6).因为所以有所以点C、D的坐标分别是(0,4),(-2,0),从而CD=(-2,-4).学后反思向量的坐标是向量的另一种表示形式,它只与起点、终点、相对位置有关,三者中给出任意两个,可求第三个.在求解时,应将向量坐标看作一“整体”，运用方程的思想求解.向量的坐标运算是向量中最常用也是最基本的运算,必须熟练掌握.BA31DAAB,31AC