家家学网络名师小班辅导教案-初中数学-全等三角形中的截长补短学生版

2010年·暑假初二数学·第9讲·学生版page1of8板块考试要求A级要求B级要求C级要求全等三角形的性质及判定会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个知识点睛中考要求第九讲全等三角形中的截长补短2010年·暑假初二数学·第9讲·学生版page2of8角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．板块一、截长补短【例1】(06年北京中考题)已知ABC中，60A，BD、CE分别平分ABC和.ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明．DOECBA4321FDOECBA重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定是整个直角三角形的重点难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化重、难点例题精讲2010年·暑假初二数学·第9讲·学生版page3of8【例2】如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作60DMN，射线MN与DBA∠外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系?NEBMAD【例3】如图2-9所示．已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且∠BAE=2∠DAM．求证：AE=BC+CE．MEDCBA【例4】(“希望杯”竞赛试题)如图，AD⊥AB，CB⊥AB，DM=CM=a，AD=h，CB=k，∠AMD=75°，∠BMC=45°，则AB的长为()A.aB.kC.2khD.hMDCBA【例5】已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求证：BE+DF=AE.FEDCBA2010年·暑假初二数学·第9讲·学生版page4of8【例6】以ABC的AB、AC为边向三角形外作等边ABD、ACE，连结CD、BE相交于点O．求证：OA平分DOE．FABCDEOOEDCBA【例7】(北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题)如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长．NMDCBA【例8】如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长．DNMCBA2010年·暑假初二数学·第9讲·学生版page5of8【巩固】(全国数学联合竞赛试题)如图所示，在ABC中，ABAC，D是底边BC上的一点，E是线段AD上的一点，且2BEDCEDBAC，求证2BDCD.EDCBA【例9】五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDECEDBA【巩固】(2009浙江湖州)若P为ABC所在平面上一点，且120APBBPCCPA，则点P叫做ABC的费马点．⑴若点P为锐角ABC的费马点，且60ABC，34PAPC，，则PB的值为________；⑵如图，在锐角ABC外侧作等边ACB′，连结BB′．求证：BB′过ABC的费马点P，且BBPAPBPC′．B'CBA2010年·暑假初二数学·第9讲·学生版page6of8板块二、全等与角度【例10】如图，在ABC中，60BAC，AD是BAC的平分线，且ACABBD，求ABC的度数.DCBA【例11】在等腰ABC中，ABAC，顶角20A，在边AB上取点D，使ADBC，求BDC.DCBA【例12】(“勤奋杯”数学邀请赛试题)如图所示，在ABC中，ACBC，20C，又M在AC上，N在BC上，且满足50BAN，60ABM，求NMB.NMCBA【例13】在四边形ABCD中，已知ABAC，60ABD，76ADB，28BDC，求DBC的度数.CDBA2010年·暑假初二数学·第9讲·学生版page7of8【例14】(日本算术奥林匹克试题)如图所示，在四边形ABCD中，12DAC，36CAB，48ABD，24DBC，求ACD的度数.DCBA【例15】(河南省数学竞赛试题)在正ABC内取一点D，使DADB，在ABC外取一点E，使DBEDBC，且BEBA，求BED.DECBA【例16】(北京市数学竞赛试题)如图所示，在ABC中，44BACBCA，M为ABC内一点，使得30MCA，16MAC，求BMC的度数.MCAB【巩固】如图所示，在ABC中，已知80BAC，60ABC，D为三角形内一点，且10DAB，20DBA，求ACD的度数.DCBA2010年·暑假初二数学·第9讲·学生版page8of8【习题1】点M，N在等边三角形ABC的AB边上运动，BD=DC，∠BDC=120°，∠MDN=60°，求证MN=MB+NC．NMDCBA【习题2】(南斯拉夫数学奥林匹克试题，黄冈市数学竞赛试题)在ABC内取一点M，使得MBA30，10MAB.设80ACB，ACBC，求AMC.MCBA【备选1】如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MNDM且与ABC∠外角的平分线交于点N，MD与MN有怎样的数量关系？NCDEBMA月测备选家庭作业