椭圆的简单几何性质椭圆方程及性质的应用

上一页返回首页下一页阶段一阶段二第2课时椭圆方程及性质的应用阶段三学业分层测评上一页返回首页下一页1.掌握直线与椭圆的位置关系.(重点)2.通过一元二次方程根与系数关系的应用，解决有关椭圆的简单综合问题.(重点)3.能利用椭圆的有关性质解决实际问题.(难点)上一页返回首页下一页[基础·初探]教材整理1点与椭圆的位置关系设点P(x0，y0)，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0).(1)点P在椭圆上⇔x20a2＋y20b2__1；(2)点P在椭圆内⇔x20a2＋y20b2__1；(3)点P在椭圆外⇔x20a2＋y20b2__1.＝＜＞上一页返回首页下一页已知点(2,3)在椭圆x2m2＋y2n2＝1上，则下列说法正确的是________①点(－2,3)在椭圆外②点(3,2)在椭圆上③点(－2，－3)在椭圆内④点(2，－3)在椭圆上【解析】由椭圆的对称性知点(2，－3)也在椭圆上.【答案】④上一页返回首页下一页教材整理2直线与椭圆的位置关系1.直线与椭圆的位置关系及判定直线y＝kx＋m与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)联立y＝kx＋m，x2a2＋y2b2＝1，消去y得一个一元二次方程.位置关系解的个数Δ的取值相交__解Δ__0相切__解Δ__0相离__解Δ__0两＞一＝无＜上一页返回首页下一页2.弦长公式设直线y＝kx＋b与椭圆的交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝—_____________＝1＋1k2·|y1－y2|.1＋k2|x1－x2|上一页返回首页下一页判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)点P(2,1)在椭圆x24＋y29＝1的内部.()(2)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切.()(3)过点A(0,1)的直线一定与椭圆x2＋y22＝1相交.()(4)长轴是椭圆中最长的弦.()【答案】(1)×(2)√(3)√(4)√上一页返回首页下一页[小组合作型]直线与椭圆的位置关系(1)若直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆x29＋y24＝1的交点个数为()A.2个B.至多一个C.1个D.0个(2)已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，问m为何值时，直线与椭圆相切、相交？上一页返回首页下一页【精彩点拨】利用几何法判断直线与椭圆的位置关系.【自主解答】(1)若直线与圆没有交点，则d＝4m2＋n2＞2，∴m2＋n2＜4，即m2＋n24＜1.∴m29＋n24＜1，∴点(m，n)在椭圆的内部，故直线与椭圆有2个交点.【答案】A上一页返回首页下一页(2)将y＝x＋m代入4x2＋y2＝1，消去y整理得5x2＋2mx＋m2－1＝0.Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2.当Δ＝0时，得m＝±52，直线与椭圆相切.当Δ＞0时，得－52＜m＜52，直线与椭圆相交.上一页返回首页下一页1.直线与椭圆的位置关系是通过代数法完成的，Δ的符号决定了交点的个数，从而确定了其位置关系.2.有关直线与椭圆的位置关系存在两类问题，一是判断位置关系，二是依据位置关系确定参数的范围，两类问题在解决方法上是一致的，都要将直线与椭圆方程联立，利用判别式及根与系数的关系进行求解.上一页返回首页下一页[再练一题]1.已知椭圆的方程为x2＋2y2＝2.(1)判断直线y＝x＋3与椭圆的位置关系；(2)判断直线y＝x＋2与椭圆的位置关系；(3)在椭圆上找一点P，使P到直线y＝x＋2的距离最小，并求出这个最小距离.上一页返回首页下一页【解】(1)由y＝x＋3，x2＋2y2＝2，得3x2＋43x＋4＝0，∵Δ＝(43)2－4×3×4＝0，∴直线y＝x＋3与椭圆相切.(2)由y＝x＋2，x2＋2y2＝2，得3x2＋8x＋6＝0.∵Δ＝64－4×3×6＝－8＜0，∴直线y＝x＋2与椭圆相离.上一页返回首页下一页(3)由(1)、(2)知直线y＝x＋3与椭圆的切点P满足条件，由(1)得P的坐标为－233，33，最小距离d＝|2－3|2＝2－62.上一页返回首页下一页XXX直线与椭圆的相交弦问题已知椭圆x236＋y29＝1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点.(1)当直线l的斜率为12时，求线段AB的长度；(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程.【精彩点拨】(1)设直线方程→联立方程组→利用弦长公式求解；(2)考查椭圆的中点弦问题及“点差法”的运用.上一页返回首页下一页【自主解答】(1)由已知可得直线l的方程为y－2＝12(x－4)，即y＝12x.由y＝12x，x236＋y29＝1，可得x2－18＝0，若设A(x1，y1)，B(x2，y2).上一页返回首页下一页则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.于是|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝x1－x22＋14x1－x22＝52x1＋x22－4x1x2＝52×62＝310.所以线段AB的长度为310.上一页返回首页下一页(2)法一：设l的斜率为k，则其方程为y－2＝k(x－4).联立x236＋y29＝1，y－2＝kx－4，消去y得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.上一页返回首页下一页若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝32k2－16k1＋4k2，由于AB的中点恰好为P(4,2)，所以x1＋x22＝16k2－8k1＋4k2＝4，解得k＝－12，且满足Δ＞0.这时直线的方程为y－2＝－12(x－4)，即y＝－12x＋4.上一页返回首页下一页法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x2136＋y219＝1，x2236＋y229＝1，两式相减得x22－x2136＋y22－y219＝0，整理得kAB＝y2－y1x2－x1＝－9x2＋x136y2＋y1，上一页返回首页下一页由于P(4,2)是AB的中点，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，于是kAB＝－9×836×4＝－12，于是直线AB的方程为y－2＝－12(x－4)，即y＝－12x＋4.上一页返回首页下一页1.求解直线与椭圆相交所得的弦长问题，一般思路是将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x(或y)的一元二次方程，然后结合根与系数的关系及两点间的距离公式求弦长.一定要熟记公式的形式并能准确运算.上一页返回首页下一页2.解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.上一页返回首页下一页(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，上一页返回首页下一页则x21a2＋y21b2＝1，①x22a2＋y22b2＝1，②由①－②，得1a2(x21－x22)＋1b2(y21－y22)＝0，变形得y1－y2x1－x2＝－b2a2·x1＋x2y1＋y2＝－b2a2·x0y0，即kAB＝－b2x0a2y0.上一页返回首页下一页[再练一题]2.椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为32，且椭圆与直线x＋2y＋8＝0相交于P，Q，且|PQ|＝10，求椭圆的方程.上一页返回首页下一页【解】∵e＝32，∴b2＝14a2.∴椭圆方程为x2＋4y2＝a2.与x＋2y＋8＝0联立消去y，得2x2＋16x＋64－a2＝0，由Δ0得a232，由弦长公式得10＝54×[64－2(64－a2)].∴a2＝36，b2＝9.∴椭圆的方程为x236＋y29＝1.上一页返回首页下一页[探究共研型]椭圆中的最值(或范围)问题探究在椭圆的有关问题中，常出现离心率、弦长或面积的范围、最值问题，这类问题一般思路是什么？上一页返回首页下一页【提示】(1)解决与椭圆有关的最值问题，一般先根据条件列出所求目标函数的关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法，应用不等式的性质，以及三角函数的最值求法求出它的最大值或最小值及范围.(2)解决椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中的范围问题常用的关系有①－a≤x≤a，－b≤y≤b；②离心率0＜e＜1；③一元二次方程有解，则判别式Δ≥0.上一页返回首页下一页已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值.【精彩点拨】(2)中，设A，B坐标→OA→·OB→＝0→|AB|化为关于x0的函数→求最值.上一页返回首页下一页【自主解答】(1)由题意，椭圆C的标准方程为x24＋y22＝1，所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.因此a＝2，c＝2.故椭圆C的离心率e＝ca＝22.上一页返回首页下一页(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x0≠0.因为OA⊥OB，所以OA→·OB→＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－2y0x0.上一页返回首页下一页又x20＋2y20＝4，所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝x0＋2y0x02＋(y0－2)2＝x20＋y20＋4y20x20＋4＝x20＋4－x202＋24－x20x20＋4＝x202＋8x20＋4(0＜x20≤4).上一页返回首页下一页因为x202＋8x20≥4(0x20≤4)，且当x20＝4时等号成立，所以|AB|2≥8.故线段AB长度的最小值为22.上一页返回首页下一页解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等，解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.上一页返回首页下一页[再练一题]3.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为3，直线l：y＝kx＋m交椭圆于不同的两点A，B.(1)求椭圆的方程；(2)若坐标原点O到直线l的距离为32，求△AOB面积的最大值.上一页返回首页下一页【解】(1)由ca＝63，a＝3，所以c＝2，b＝1，所以椭圆的方程为x23＋y2＝1.上一页返回首页下一页(2)由已知|m|1＋k2＝32，所以m2＝34(1＋k2)，联立l：y＝kx＋m和x23＋y2＝1，消去y，整理可得：(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，上一页返回首页下一页所以x1＋x2＝－6km1＋3k2，x1x2＝3m2－31＋3k2，所以|AB|2＝(1＋k2)(x1－x2)2＝121＋k23k2＋1－m21＋3k22＝3k2＋19k2＋11＋3k22＝3＋12k29k4＋6k2＋1＝3＋129k2＋1k2＋6≤4(k≠0)，上一页返回首页下一页当且仅当k＝±33时取等号，验证知k＝±33满足题意，显然k＝0时，|AB|2＝3＜4.所以(S△AOB)max＝12×2×32＝32.上一页返回首页下一页1.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1有两个顶点在直线x＋2y＝2上，则该椭圆的焦点坐标是()A.(±3，0)B.(0，±3)C.(±5，0)D.(0，±5)上一页返回首页下一页【解析】∵直线x＋2y＝2过(2,0)和(0,1)点，∴a＝2，b＝1，∴c＝3.椭圆焦点坐标为(±3，0).【答案】A上一页返回首页下一页2.若直线y＝kx＋2与椭圆x23＋y22＝1相切，则斜率k的值是()A.63B.－63C.±63D.±33【解析】把y＝kx＋2代入x23＋y22＝1得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，由于Δ＝0，∴k2＝23，∴k＝±63.【答案】C上一页返回首页下一页3.直线y＝x＋2与椭圆x2m＋y23＝1有两个