网络名师小班辅导教案-初中数学二次函数第3讲抛物线与几何变换教师版

2010年·暑假·短期班二次函数·第3讲·教师版page1of13内容基本要求略高要求较高要求二次函数1.能根据实际情境了解二次函数的意义；2.会利用描点法画出二次函数的图像；1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式；2.能从函数图像上认识函数的性质；3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向；4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解；1.能用二次函数解决简单的实际问题；2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题；一、二次函数图的平移（1）具体步骤：先利用配方法把二次函数化成2()yaxhk的形式，确定其顶点(,)hk，然后做出二次函数2yax的图像，将抛物线2yax平移，使其顶点平移到(,)hk.具体平移方法如图所示：（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”.二、二次函数图象的对称知识点睛中考要求第三讲抛物线与几何变换2010年·暑假·短期班二次函数·第3讲·教师版page2of13二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x轴对称2yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxhk；2.关于y轴对称2yaxbxc关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxhk；3.关于原点对称2yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是2yaxhk；4.关于顶点对称2yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca；2yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是2yaxhk．5.关于点mn，对称2yaxhk关于点mn，对称后，得到的解析式是222yaxhmnk根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．1.灵活应用二次函数的三种表达形式，求二次函数解析式。2.二次函数图象平移、中心对称、轴对称后，系数间的关系。一、抛物线的平移【例1】函数23(2)1yx的图象可由函数23yx的图象平移得到，那么平移的步骤是：（）A.右移两个单位，下移一个单位B.右移两个单位，上移一个单位C.左移两个单位，下移一个单位D.左移两个单位，上移一个单位【解析】函数23yx的图象的顶点为00，，23(2)1yx的图象的顶点为21，，因此，把函数23yx向左移两个单位，再向下移一个单位，可以得到23(2)1yx.重、难点例题精讲2010年·暑假·短期班二次函数·第3讲·教师版page3of13或者，直接在表达式上看：函数23(2)1yx的图象可由函数23yx的图象向左移两个单位，再向下移一个单位得到，选C.【巩固】⑴函数22(1)1yx的图象可由函数22(2)3yx的图象平移得到，那么平移的步骤是（）A.右移三个单位，下移四个单位B.右移三个单位，上移四个单位C.左移三个单位，下移四个单位D.左移四个单位，上移四个单位⑵（07萧山）二次函数2241yxx的图象如何移动就得到22yx的图象（）A.向左移动1个单位，向上移动3个单位.B.向右移动1个单位，向上移动3个单位.C.向左移动1个单位，向下移动3个单位.D.向右移动1个单位，向下移动3个单位.【解析】⑴本题主要考查函数图象的平移.函数22(1)1yx的图象的顶点为11，，22(2)3yx的图象的顶点为23，，因此，把函数22(2)3yx向右移三个单位，再向下移四个单位，可以得到22(1)1yx.所以，函数22(1)1yx的图象可由函数22(2)3yx的图象先向右移三个单位，再向下移四个单位得到．选A．⑵将2241yxx配方得：22(1)3yx，要将二次函数22(1)3yx的图象平移得到到22yx，应选C．【例2】⑴（09湖北孝感）将函数2yxx的图象向右平移0aa个单位，得到函数232yxx的图象，则a的值为()A．1B．2C．3D．4⑵（09湖北鄂州）把抛物线2yaxbxc的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是235yxx，则abc________________．⑶（09湖北孝感）对于每个非零自然数n，抛物线221111nyxxnnnn与x轴交于nnAB、两点，以nnAB表示这两点间的距离，则112220092009ABABAB…的值是A．20092008B．20082009C．20102009D．20092010【解析】⑴B；⑵11．⑶D【例3】（08宁波）如图，ABCD中，4AB，点D的坐标是(0，8)，以点C为顶点的抛物线2yaxbxc经过x轴上的点A，B．⑴求点A，B，C的坐标．⑵若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式．【解析】⑴在ABCD中，CDAB∥且4CDAB，∴点C的坐标为(4，8)设抛物线的对称轴与x轴相交于点H，则2AHBH，yxOABCD2010年·暑假·短期班二次函数·第3讲·教师版page4of13∴点A，B的坐标为(2A，0)，(6B，0)．⑵由抛物线2yaxbxc的顶点为(4C，8)，可设抛物线的解析式为2(4)8yax，把(2A，0)代入上式，解得2a．设平移后抛物线的解析式为22(4)8yxk把(0，8)代入上式得32k∴平移后抛物线的解析式为22(4)40yx．即22168yxx．【例4】（09浙江宁波）抛物线254yaxxa与x轴相交于点AB、，且过点54C，．（1）求a的值和该抛物线顶点P的坐标．（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落要第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．【解析】（1）∵抛物线经过54C，，∴252544aa，解得1a，∴抛物线解析式254yxx，配方得25924yx，∴顶点P的坐标为5924，（2）先向左平移72个单位，在向上平移134个单位，平移后的抛物线解析式221122yxxx．【例5】⑴设抛物线22yx，把它向右平移p个单位，或向下移q个单位，都能使抛物线与直线4yx恰好有一个交点，求p、q的值．⑵把抛物线22yx向左平移p个单位，向上平移q个单位，则得到的抛物线经过点13，和49，，求p、q的值．⑶把抛物线2yaxbxc向左平移3个单位，向下移2个单位后，所得抛物线为2yax，其图象经过点112，，求原解析式．【解析】⑴抛物线22yx向右平移p个单位后，得到22yxp．由224yxpyx，，得方程224xpx，即22241240xpxp．因为抛物线与直线恰好有一个交点，所以上述方程有两个相同的实数根，故判别式224142240pp，得318p，2010年·暑假·短期班二次函数·第3讲·教师版page5of13这时的交点为33188，．抛物线22yx向下平移q个单位，得到抛物线22yxq，于是得方程224xqx，即2240xxq，该方程有两个相同的实数根，故判别式14240q，得318q，这时的交点为11544，．⑵把22yx向左平移p个单位，向上平移q个单位，得到的抛物线为22yxpq．于是，由题设得．22321924pqpq，，解得21pq，，即抛物线向右平移了两个单位，向上平移了一个单位．⑶首先，抛物线2yax经过点112，，可求得12a，设原来的二次函数为212yxhk，可得3020hk，，解得32hk，，所以原二次函数为21322yx，即215322yxx．说明：将抛物线2yaxbxc向右平移p个单位，得到的抛物线是2yaxpbxpc；向左平移p个单位得到2yaxpbxpc；向上平移q个单位，得到2yaxbxcq；向下平移q个单位得到2yaxbxcq．【例6】（2010年海淀一模）关于x的一元二次方程240xxc有实数根，且c为正整数.（1）求c的值；（2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系xOy中,抛物线24yxxc与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C.点P为对称轴上一点，且四边形OBPC为直角梯形，求PC的长；2010年·暑假·短期班二次函数·第3讲·教师版page6of13（3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点D的坐标为,mn,当抛物线与（2）中的直角梯形OBPC只有两个交点，且一个交点在PC边上时，直接写出m的取值范围.【解析】（1）∵关于x的一元二次方程240xxc有实数根，∴△=1640c.∴4.c-----------------------1分又∵c为正整数，∴1,2,3,4c.-------------------2分（2）∵方程两根均为整数，∴3,4c.---------------3分又∵抛物线与x轴交于A、B两点，∴3c.∴抛物线的解析式为243yxx.--------------4分∴抛物线的对称轴为2x.∵四边形OBPC为直角梯形，且90COB，∴PC∥BO.∵P点在对称轴上，∴2PC.--------------5分（3）20m或24m.-----------7分（写对一个给1分）【例7】已知关于x的一元二次方程22410xxk有实数根，k为正整数.（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数2241yxxk的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线12yxbbk与此图象有两个公共点时，b的取值范围.【解析】(1)由题意得，168(1)0k≥．∴3k≤．∵k为正整数，∴123k，，．2010年·暑假·短期班二次函数·第3讲·教师版page7of13⑵当1k时，方程22410xkk有一根为零；当2k时，方程22410xxk无整数根；当3k时，方程22410xxk有两个非零的整数根．综上所述，1k和2k不合题意，舍去；3k符合题意．当3k时，二次函数为2242yxx，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为2246yxx．⑶设二次函数2246yxx的图象与x轴交于A、B两点，则(30)A，，(10)B，．依题意翻折后的图象如图所示．当直线12yxb经过A点时，可得32b；当直线12yxb经过B点时，可得12b．由图象可知，符合题意的(3)bb的取值范围为1322b二、抛物线的对称【例8】函数2yx与2yx的图象关于______________对称，也可以认为2yx是函数2yx的图象绕__________旋转得到．【解析】考察函数的对称性。2yx