数学思想与数学文化――第三讲 数学思想方法介绍(1,2)

《数学思想与数学文化》之第三讲——数学思想方法介绍内容一.前言二.中学数学中常用的数学方法三.几类常用的数学思想方法介绍1.演绎法或公理化方法2.类比法3.归纳法与数学归纳法4.数学构造法5.化归法6.数学模型方法附：参考文献一.前言☆数学思想---对数学的知识内容和所使用的方法的本质认识，它是从某些具体数学认识过程中提炼和概括，而在后继的认识活动中被反复证实其正确性，带有一般意义和相对稳定的特征，是对数学规律的理性认识。☆数学方法---以数学为工具进行科学研究的方法，即用数学的语言表达事物的状态、关系和过程，经过推导、运算与分析，以形成解释、判断和预言的方法。☆二者关系---数学思想直接支配着数学的实践活动。数学方法是数学思想具体化的反映。简言之，数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学行为，数学思想对数学方法起指导作用。◆数学方法具有三个基本特征：（1）高度的抽象性和概括性；（2）精确性，即逻辑的严密性及结论的确定性；（3）应用的普遍性和可操作性。◆数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用：（1）提供简洁精确的形式化语言；（2）提供数量分析及计算的方法；（3）提供逻辑推理的工具。数学研究的基本方法◆数学抽象方法◆数学模型方法◆数学研究活动的一般方法数学中的逻辑方法◆数学定义方法◆逻辑划分方法◆数学公理化方法数学解题的思维方法◆数学推理方法（演绎法、归纳法、类比法）◆分析法与综合法◆数学实验方法◆数形结合方法◆关系影射反演原则（换元法、初等变换方法）二.中学数学中常用的数学方法数学证明的重要方法◆反证法与同一法◆数学归纳法中学数学中几种常用的具体方法◆待定系数法◆配方法◆基本量法◆递推法有人这样给数学思想方法分类：1.操作性思想方法例如：换元法、配方法、待定系数法、割补法、构造法等；2.逻辑性思想方法例如：抽象、概括、分析、综合、演绎等；3.策略性思想方法例如：方程与函数、化归、猜想、数形结合、整体与系统等。事实上，数学思想方法是有层次的。操作性思想方法、逻辑性思想方法、策略性思想方法，从思维的角度上看，层次是逐渐上升的。三.几类常用的数学思想方法介绍1.演绎法或公理化方法（逻辑思维方法）☆演绎法是由一般到特殊的推理，它在逻辑上的依据是三段论。☆演绎法的重要性：1）数学理论都是用演绎推理组织起来的；2）它能超越技术与仪器的限制。☆演绎法的基本构件：定义（概念）、公理和定理。☆公理化方法的例子：欧几里德《几何原本》，希尔伯特《几何学基础》柯尔莫哥洛夫《概率论基础》ZFC《公理化集合论》2.类比法（数学创造发现的方法）☆类比是一种相似，即类比的对象在某些部分或关系上相似。☆三个层次：描述、说理、数学上的类比。☆数学上的类比：两个系统，如果它们各自的部分之间，可以清楚地定义一些关系，在这些关系上，它们具有共性，那么，这两个系统就可以类比。★例子：1）线段、三角形、四面体2）Newton-Leibniz公式、Green公式、Gauss公式3）同态与同构4）数的概念的扩充5）多项式理论与整数理论的类比整数＋、－、×带余除法算术基本定理多项式＋、－、×带余除法代数基本定理3.归纳法（逻辑学中的方法）与数学归纳法（数学中的一般方法）☆归纳就是从特殊的、具体的认识推进到一般的认识的一种思维方法。归纳法是实验科学最基本的方法。归纳法的特点：1）立足于观察和实验；2）结论具有猜测的性质；3）结论超越了前提所包含的内容。归纳法用于猜测和推断。例子：1)Fermat数(1640年，Fn=22n+1,Fermat素数：3，5，17，257，65537)；2)Goldbach猜想（1742年）。☆数学归纳法：P(n)是一个含有自然数n的命题，如果（1）P(n)当n=1时成立；（2）若P(k)成立的假定下，则P(k+1)也成立。那么P(n)对任意自然数n都成立。这两个步骤，（1）称为归纳起点，（2）称为归纳推断。数学归纳法是一种完全归纳法，其应用范围及其广泛。数学归纳法用于证明。例子：证明数列单调增加有上界。，，。.22222,,222,22,2数学思想方法介绍(续)《数学思想与数学文化》之第三讲——4．数学构造法（基本数学方法）☆数学构造法---数学中的概念或方法按固定的方式经有限步骤能够定义或实现的方法。☆应用---构造概念、图形、公式、算法、方程、函数、反例、命题等。☆构造法在数学中的地位不仅古老，而且重要。☆例子1）求一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根。2）求两个正整数最大公因数的欧几里德辗转相除法。3）勾股定理（毕氏定理）。宋刻本《周髀算经》，（上海图书馆藏）第24届“国际数学家大会”会标例子：4）导数的概念。5）定积分的概念。练习：1.求证在任何两个有理数a和b之间一定还有有理数。2.有没有2000个连续自然数，它们都是合数？3.证明：素数的个数是无穷的。4.求证：对于定义域包含于实数集且关于原点对称的任何函数f(x)都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和。5.化归法（基本数学方法）（1)特殊化与一般化，2)关系映射反演方法）☆化归原则是指把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题中去，最终求得原问题的解答的一种手段和方法。☆其过程就是将一个问题由繁化简，由难化易，由复杂化简单，由未知化已知。☆化归有三个要素：化归的对象，化归的目标，化归的手段。☆使用各种化归方法时一般应遵循下面几个原则：a)熟悉化原则b)简单化原则c)和谐化原则☆实行化归的常用方法有：特殊化与一般，关系映射反演（RMI），分解与组合…1）特殊化与一般化☆依据（1）若命题P在一般条件下为真，则在特殊条件下P也为真；（2）若命题P在特殊条件下为假，则在一般条件下P也为假。☆特殊化方法---在研究一个给定集合的性质时，先研究某些个体或子集的性质，从中发现每个个体都具有的特性后，再猜想给定集合的性质，最后用严格的逻辑推理论证猜测的正确性；☆一般化方法---在研究一个给定集合的性质时，先研究包含该集合的较大集合的性质，从中发现较大集合所具有的性质，再根据特殊化与一般化的依据（1）推出所要证明的命题。2）关系映射反演（RMI）方法基本思想：当处理某问题甲有困难时，可以联想适当的映射，把问题甲及其关系结构R，映成与它有一一对应关系，且易于考察的问题乙，在新的关系结构中问题乙处理完毕后，再把所得到的结果，通过映射反演到R，求得问题甲的结果。问题甲问题乙问题甲的解问题乙的解映射σ映射σ-1☆RMI方法是一种矛盾转化的方法，它可以化繁为简，化难为易，化生为熟，化未知为已知，因而是数学中应用非常广泛的一种方法，数学中许多方法都属于RMI方法，例如，分割法、函数法、坐标法、换元法、复数法、向量法、参数法等。☆RMI方法不仅是数学中应用广泛的方法，而且可以拓展到人文社会科学中去。例如，哲学家处理现实问题的思想方法，就可以看作RMI方法的拓展（客观物质世界---哲学家的思维---哲学理论体系---解决客观世界的现实问题）。例1.证明方程(m+1)x4-(3m+3)x3-2mx2+18m=0，对任何实数m都有一个共同的实数解，并求此实数解。例2.计算p=a1/3b1/7数值。（对数）（原像关系---映像关系---求得映像的值---求得原像的值）例3.用解析几何方法处理平面几何问题。（几何关系问题---代数关系问题---求出某些代数关系---确定某种几何关系）6.数学模型方法（基本数学方法）☆数学模型（MM）---针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化数学语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构。☆数学模型方法（MM方法）---借助数学模型来揭示对象本质特征和变化规律的方法。☆分类：1）由来---理论MM，经验MM2）使用工具---微分方程MM、概率MM…3)涉及变量的特征---离散MM、连续MM；线性MM、非线性MM；确定MM、随机MM、模糊MM例1哥尼斯堡七桥问题（确定性模型）以上网络中哪一个是可以遍历的(即一笔而不重复地画成)？你能找到穿经每个门各一次且笔不离纸的通道吗？试证明你的结论．（摘自《数学趣闻集锦》,T·帕帕斯）现实原型七桥问题数学模型一笔画问题无解（一次过桥不可能）无解（一笔画不可能）欧拉解决哥尼斯堡七桥问题的思想方法框图例2.普丰投针实验1777年法国科学家布丰提出的一种计算圆周率的方法——随机投针法，即著名的布丰投针问题。这一方法的步骤是：1)取一张白纸，在上面画上许多条间距为d的平行线；2)取一根长度为l（ld）的针，随机地向画有平行直线的纸上掷n次，观察针与直线相交的次数，记为m；3）计算针与直线相交的概率．☆MM构造过程a）对现实原型，分析其对象与关系结构的本质属性，以便确定MM的类别；b）要确定所研究的系统并抓住主要矛盾；c）要进行数学抽象。☆MM的特点a）在MM上应具有严格推导（逻辑推理）的可能性以及导出结论的确定性；b）MM相对于较复杂的现实原型来说，应具有化繁为简、化难为易的特点。☆数学建模的过程：模型准备---模型假设---模型建立---模型求解---模型检验---模型应用☆成功的MM:a）解释已知现象；b）预言未知现象；c）被实践所证明。☆数学模型的意义：a)对所研究的对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果；b)任何一项数学的应用，主要或首先就是数学模型方法的应用。☆精彩范例：力学：牛顿万有引力定律；电磁学：麦克斯韦方程组；化学：门捷列夫元素周期表；生物学：孟德尔遗传定律…☆数学模型应用日益广泛的原因：a)社会生活的各个方面日益数量化；b)计算机的发展为精确化提供了条件；c)很多无法试验或费用很大的试验问题，用数学模型进行研究是一条捷径。附：参考文献[1]王子兴．数学方法论．中南工业大学出版社．2002[2]徐利治．数学方法论选讲（第三版）．华中理工大学出版社．2000[3]姜启源等．数学模型（第三版）．高等教育出版社．2003几何概率是十九世纪末新发展起来的一门学科，使很多概率问题的解决变得简单而不用运用微积分的知识。然而，1899年，法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖论”，矛头直指几何概率概念本身：在一给定圆内所有的弦中任选一条弦，求该弦的长度长于圆的内接正三角形边长的概率。从不同方面考虑，可得不同结果：⑴．由于对称性，可预先指定弦的方向。作垂直于此方向的直径，只有交直径于1/4点与3/4点间的弦，其长才大于内接正三角形边长。所有交点是等可能的,则所求概率为1/2。2)由于对称性，可预先固定弦的一端。仅当弦与过此端点的切线的交角在60°～120°之间，其长才合乎要求。所有方向是等可能的，则所求概率为1/3。3)弦被其中点位置唯一确定。只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求。中点位置都是等可能的,则所求概率为1/4。这导致同一事件有不同概率，因此为悖论。而此悖论在提出概率公理化后发现根本都不是问题！！本节结束谢谢