数学思想与数学文化――第二讲 数学概观

《数学思想与数学文化》第二讲数学科学概观内容一.前言二.数学科学的内容三.数学进展的大致概况四.数学学科的特点五.数学家的思维六.数学家介绍（华罗庚、陈省身）一.前言被后人称为“数学王子”的德国大数学家高斯（Gauss,1777-1855）曾说过：“数学是科学之王，数论是数学之王，它常常屈尊去为天文学和其他自然科学效劳，但在所有的关系中，它都堪称第一．”随着科学技术的迅猛发展，数学的地位也日益提高，这是因为当今科学技术发展的一个重要特点是高度的、全面的定量化．定量化实际上就是数学化．因此，人们把数学看成是与自然科学、社会科学并列的一门科学，叫数学科学．二.数学科学的内容☆数学科学按其内容可分成五个大学科：1）纯粹（基础）数学（Puremathematics）2）应用数学（Appliedmathematics）3）计算数学（Computationalmathematics）4）运筹与控制（Operationalresearchandcontrol）5）概率论与数理统计（Probabilityandmathematicalstatistics）三.数学进展的大致概况数学发展的历史非常悠久，大约在一万年以前，人类从生产实践中就逐渐形成了“数”与“形”的概念，但真正形成数学理论还是从古希腊人开始的．公元300多年以前，希腊数学家欧几里德（Euclid，公元前330-前275）写了《几何原本》一书，这是自古以来所有科学著作中发行量最广、沿用时间最长的巨著．两千多年来，数学的发展大体可以分为三个阶段：17世纪以前是数学发展的初级阶段，其内容主要是常量数学，如初等几何、初等代数、；从文艺复兴时期开始，数学发展进入第二个阶段，即变量数学阶段，产生了微积分、解析几何、高等代数；从19世纪开始，数学获得了巨大的发展，形成了近代数学阶段，产生了实变函数、泛函分析、非欧几何、拓扑学、近世代数、计算数学、数理逻辑等新的数学分支．初等数学阶段进代数学阶段现代数学阶段时间17世纪前17---18世纪19世纪---对特象点数→常量形→简单图形变量曲线（形与数统一）曲面集合、空间构件、流形（以集合和映射为工具）代表课程初等代数立体几何数学分析、高等代数、解析几何（老三样）泛函分析、近世代数、拓扑学（新三样）近半个多世纪以来，现代自然科学和技术的发展，正在改变着传统的学科分类与科学研究的方法．“数、理、化、天、地、生”这些曾经以纵向发展为主的基础学科与日新月异的技术相结合，使用数值、解析和图形并举的方法，推出了横跨多种学科门类的新兴领域，在数学科学内也产生了新的研究领域和方法，如混沌（Chaos）、分形几何（Fractalgeometry）、小波分析（Wavelettransform）等．可以这样说，数学发展至今，已经拥有100多个分支的科学体系，尽管如此，数学科学的核心领域还是：---代数学―――研究数的理论；---几何学―――研究形的理论；---分析学―――沟通形与数且涉及极限运算的部分．总结数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的“共和国”。大体说来，数学中研究数的部分属于代数学的范畴；研究形的部分，属于几何学的范筹；沟通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的范围。这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。四.数学学科的特点1.抽象性2.精确性3.应用的广泛性1.抽象性数学研究的“形”和“数”与现实世界中的物质内涵没有直接联系。全部数学概念都具有抽象性。但都有非常现实的背景。数学抽象的特点在于：I.在数学抽象中保留了量的关系和空间形式而舍弃了其他；II.数学的抽象是一级一级逐步提高的,它们所达到的抽象程度大大超过了其他学科中的一般抽象;III.数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们相互关系的圈子之中.2.精确性数学的精确性表现在数学定义的准确性，推理和计算的逻辑严格性以及数学结论的确定无疑与无可争辩性。数学中的严谨推理和一丝不苟的计算，使得每个数学结论都是牢固的、不可动摇的。这种思想方法不仅培养了科学家，而且它也有助于提高人的科学文化素质，它是全人类共有的精神财富。数学理论的严密性就要求学数学的人在学习的过程中，不仅要做习题,掌握解题方法，而且要重视和学会证明结论的思想和技巧，理解数学问题背后的精神、方法。3.应用的广泛性1959年5月，著名数学家华罗庚教授在人民日报上发表了《大哉数学之为用》的文章，精辟的叙述了数学的各种运用：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁等各方面，无处不有数学的贡献。”凡是出现“量”的地方就少不了用数学，研究量的关系，量的变化关系，量的关系的变化等现象都少不了数学，数学之为用贯穿到一切科学部门的深处，而成为它们的得力助手与工具，缺少了它就不能准确刻画出客观事物的变化，更不能由已知数据推出其他数据，因而就减少了科学预见的准确性。例子：---飞机制造---沙漠风暴与数学战---通讯技术五.数学家的思维数学家的思维特点取决于数学的特点．数学家的思维特点归纳起来就是思维的严谨性、思维的抽象性（广阔性）、思维的灵活性及思维的批判性．此外，还有数学家的直觉和想象、美感和审美能力．还要特别强调数学家的拼搏精神和奉献精神，他们为了发展数学，废寝忘食、勤奋钻研，甚至忘记了自我．数学家对数学之所以如此执着、甚至痴迷，是因为他们喜爱数学，不断地用数学中的“美”来陶冶自己．数学是一个生机勃勃的科学，有无数未解决的问题，有许多形形色色的未开垦的处女地，等待有想象力、有创新精神和坚忍不拔毅力的学者去征服！六.数学家介绍（华罗庚、陈省身）1.华罗庚（1910---1985）-------《初中文凭，独步中华》华罗庚，1910年11月12日出生于江苏金坛县。父亲以开杂货铺为生。他幼时爱动脑筋，因思考问题过于专心常被同伴们戏称为“罗呆子”。他进入金坛县立初中后，其数学才能被老师王维克发现，并尽心尽力予以培养。初中毕业后，华罗庚曾入上海中华职业学校就读，因拿不出学费而中途退学，故一生只有初中毕业文凭。此后，他开始顽强自学，每天达10个小时以上。他用5年时间学完了高中和大学低年级的全部数学课程。1928年，他不幸染上伤寒病，虽挽回性命，却落下左腿残疾。20岁时，他以一篇论文轰动数学界，被清华大学（算学系主任熊庆来）破例于1931年请去任数学系助理员。从1931年起，华在清华大学边工作边学习，用一年半时间学完了数学系全部课程。他自学了英、法、德文，在国外杂志上发表了3篇论文后，被破格任用为助教。1936年夏，华罗庚被保送到英国剑桥大学进修，与著名数学家相互切磋，两年中发表了10多篇论文，引起国际数学界赞赏。1938年，在抗日的烽火中，华毅然回国，在西南联大任教。在昆明郊外一间牛棚似的小阁楼里，他艰难地写出名著《堆垒素数论》。1946年3月，他应邀访问苏联，回国后不顾反动当局的限制，在昆明为青年作“访苏三月记”的报告。1946年9月，华罗庚应纽约普林斯顿大学邀请去美国讲学，并于1948年被美国伊利诺依大学聘为终身教授。1949年10月1日中华人民共和国成立，华罗庚毅然放弃伊力诺依大学的优裕生活携全家返回祖国。在归国途中发表了《致中国全体留美学生的公开信》，他在信中深情地说：“梁园虽好，非久居之乡，归去来兮！”1950年3月，他到达北京，随后担任了清华大学数学系主任、中科院数学所所长等职。50年代，他在百花齐放、百家争鸣的学术空气下著述颇丰，还发现和培养了王元、陈景润等数学人才。1956年，他着手筹建中科院计算数学研究所。1958年，他担任中国科技大学副校长兼数学系主任。从1960年起，华罗庚开始在工农业生产中推广统筹法和优选法，足迹遍及27个省自治区直辖市，创造了巨大的物质财富和经济效益。1978年3月，他被任命为中科院副院长并于翌年入党。晚年的华罗庚不顾年老体衰，仍然奔波在建设第一线。他还多次应邀赴欧美及香港地区讲学，先后被法国南锡大学、美国伊利诺依大学、香港中文大学授予荣誉博士学位，还于1984年以全票当选为美国科学院外籍院士。1985年6月12日，他在日本东京作学术报告时，因心脏病突发不幸逝世，享年74岁。华罗庚初中学历，自学成才，经过艰苦的努力成为国际公认的世界级大数学家，在他研究的数论、代数、矩阵几何学、多复变函数论、调和分析与应用数学的众多领域中，都有以他的名字命名的定理与方法。华罗庚为中国和世界的数学事业作出了巨大贡献。华罗庚的名言---聪明在于学习，天才在于积累。---埋头苦干是第一，熟练生出百巧来，勤能补拙是良训，一份辛勤一份才。---人做了书的奴隶，便把活人带死了。把书作为人的工具，则书本上的知识便活了，有生命了。2.陈省身（1911-2004）1911年10月26日生于浙江嘉兴．少年时就喜爱数学，觉得数学既有趣又较容易，并且喜欢独立思考，自主发展，常常“自己主动去看书，不是老师指定什么参考书才去看”．1927年进入南开大学数学系，该系的姜立夫教授对陈省身影响很大．在南开大学学习期间，他还为姜立夫当助教．1930年毕业于南开大学，1931年考入清华大学研究院，成为中国国内最早的数学研究生之一．在孙光远博士指导下，发表了第—篇研究论文，内容是关于射影微分几何的．1932年4月应邀来华讲学的汉堡大学教授布拉希克对陈省身影响也不小，使他确定了以微分几何为以后的研究方向．1934年，他毕业于清华大学研究院，同年，得到汉堡大学的奖学金，赴布拉希克所在的汉堡大学数学系留学．在布拉希克研究室他完成了博士论文，研究的是嘉当方法在微分几何中的应用．1936年获得博士学位．从汉堡大学毕业之后，他来到巴黎．1936年至1937年间在法国几何学大师E·嘉当那里从事研究．E·嘉当每两个星期约陈省身去他家里谈一次，每次一小时．“听君一席话，胜读十年书．”大师面对面的指导，使陈省身学到了老师的数学语言及思维方式，终身受益．陈省身数十年后回忆这段紧张而愉快的时光时说，“年轻人做学问应该去找这方面最好的人”．陈省身先后担任我国西南联大教授，美国普林斯顿高等研究所研究员，芝加哥大学、伯克利加州大学终身教授等，是美国国家数学研究所、南开大学数学研究所的创始所长．陈省身的数学工作范围极广，包括微分几何、拓扑学、微分方程、代数、几何、李群和几何学等多方面．他是创立现代微分几何学的大师．早在40年代，他结合微分几何与拓扑学的方法，完成了黎曼流形的高斯—博内一般形式和埃尔米特流形的示性类论．他首次应用纤维丛概念于微分几何的研究，引进了后来通称的陈氏示性类（简称陈类）．为大范围微分几何提供了不可缺少的工具．他引进的一些概念、方法和工具，已远远超过微分几何与拓扑学的范围，成为整个现代数学中的重要组成部分。陈省身还是一位杰出的教育家，他培养了大批优秀的博士生．他本人也获得了许多荣誉和奖励，例如1975年获美国总统颁发的美国国家科学奖，1983年获美国数学会“全体成就”靳蒂尔奖，1984年获沃尔夫奖．中国数学会在1985年通过决议．设立陈省身数学奖．被国际数学界尊为“微分几何之父”．韦伊曾说，“我相信未来的微分几何学史一定会认为他是嘉当的继承人”。菲尔兹奖（1983年）得主、华人数学家丘成桐这样评价他的老师：“陈省身是世界上领先的数学家……没有什么障碍可以阻止一个中国人成为世界级的数学家．”2004年11月2日，经国际天文学联合会下属的小天体命名委员会讨论通过，国际小行星中心正式发布第52733号《小行星公报》通知国际社会，将一颗永久编号为1998CS2号的小行星命名为“陈省身星”，以表彰他对全人类的贡献。陈省身的话---我读数学没有什么雄心，我只是想懂得数学。如果一个人的目的是名利，数学不是一条捷径。---做研究实在是吃力而不一定讨好的事，所以学业告一段落便不再继续那是自然现象，中外皆然…，长期钻研数