高三一轮复习《平面向量公式和基本方法》

第四部分：平面向量公式和基本方法平面向量是高一所学内容，这是一个比较有特点的知识，其在物理的“力的分解”上也有所涉及，高中数学对于平面向量的考察形式主要有两方面：1）向量知识、公式相关题型的考察；2）结合三角函数出题或者出现在解析几何的条件中。1、平面向量相关主要知识点1）单位向量：长度为1的向量。若e是单位向量，则||1e，特别的：||aa是与a同向的单位向量。零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】。相等向量：长度和方向都相同的向量。平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。相反向量：长度相等，方向相反的向量。ABBA。2）向量的加减法：三角形法则ABBCAC；ABBCCDDEAE；ABACCB（指向被减数）12122211,,,,,yyxxAByxByxA平行四边形法则：以,ab为临边的平行四边形的两条对角线分别为ab，ab。（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：3）共线（平行）定理：//abab。当0时，ab与同向；当0时，ab与反向。4）向量的模：若(,)axy，则22||axy，22||aa，2||()abab5）设2211,,,yxbyxa则：数量积与夹角公式：||||cosabab2121yyxx；cos||||abab这儿要注意“夹角”的定义！b在a上的投影为||cosb，它是一个实数，但不一定大于0平行与垂直：//abab22()(||||)abab1212xyyx＝00||||abababab12120xxyy6）向量夹角为锐角：不共线且且baba,,01cos,0cos；向量夹角为钝角：不共线且且baba,,01cos,0cos。7）CBAyxOCyOBxOA,,1,共线。8）0QCQBQAQ是三角形ABC的重心（重心分中线的两段比值是2:1）。9）PPAPCPCPBPBPA是三角形ABC的垂心。10）PACACABABAP)||||//(在角A的平分线上。11）ADABADAB说明ABAD2、主要题型1、普通直接套公式的题目比较简单，只要公式记对记全就可以了，不过也有需要注意的地方：已知三角形ABC的边AB=3，AC=4，BC=5，则BCAB=2、平面向量基本定理：向量加减法法则的应用。主要是图形类题目中会用到，题中会出现一些特殊的分点，利用“三角形法则”“平行四边形法则”进行拆分、合并，简单的考察是用已知向量去表示要求的向量，不过这类题一旦难，就需要能在多补的表示中方向清楚，不至于到最后绕不出来。例1、如图，四边形OABC是以向量bOBaOA,为边的平行四边形，又,31,31CDCMBOBN试用ba,表示向量MNONOM,,；例2、设D、E、F分别是ABC的边BC、CA、AB上的点，且ABAF21BCBD31，CACE41，若记mAB，nCA，试用m，n表示DE、EF、FD。3、求数量积：常规有三个方法：（1）||||cosabab；（2）2121yyxxba；（3）用已知向量去表示要求的向量；一般这类题分为两类：坐标题和图形题。如果已知条件是坐标，那么就直接用相关坐标公式去解题。如果是图形题，那么就要考虑是用“建系”坐标解题，还是使用普通向量公式了。相对来说，这两个方法各有各的优劣，前者计算量相偏大，后者相对比较难推导。不过，如果遇到特殊图形题，或者可以假设成特殊图形的话，坐标法相对会好一些。但是，如果思维已经养成倾向性，那么可以遵循自己的喜好，建议两种方法都要会。1）比较基础的题（1）若向量a、b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为3，则|a+2b|．21（2）已知非零向量a，b满足|a|＝|a＋b|＝1，a与b夹角为120°，则向量b的模为．1（3）已知向量a，b的夹角为45°，且1||a，10|2|ba，则||b=．232）图形类问题例、如图，在矩形ABCD中，22ABBC，，点E为BC的中点，点F在边CD上，若2ABAF，则AEBF的值是．ABCEFDBACD例、如图，在ABC中，120,2,1,BACABACD是边BC上一点，2,DCBDADBC.83例、如图,在等腰三角形ABC中,底边2BC,DCAD,12AEEB,若12BDAC,则ABCE=．例3、在△ABC中，若AB=1，AC=3，||||ABACBC，则||BABCBC=．例4、在菱形ABCD中，23AB,23B,3BCBE,3DADF,则EFAC．例5、如图，在等腰三角形ABC中，已知FEAACAB,,120,1分别是边ACAB,上的点，且,,ACnAFABmAE其中),1,0(,nm若BCEF,的中点分别为,,NM且,14nm则MN的最小值是.ABMNECF4560EDCBA例6、在ABC中，AB=1，AC=2，O为ABC外接圆圆心，则BCAO变式：在ABC中，AB=1，AC=2，O为ABC外接圆圆心，M为BC中点，则AMAO例7、如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若ACyABxAD，则x，y例8、已知平面向量，0,满足=1，且与β-α的夹角为120°，则的取值范围是.例9、如图所示,△ABC中,已知P为线段AB上的一点，OP=xOA+yOB。（1）若BP=PA，求x，y的值；（2）若BP=3PA，OA=4，OB=2，且OA与OB的夹角为60°时，求OPAB的值4、向量的夹角例1、设)3,(xa，)1,2(b，若a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是______。例2、已知向量a、b不共线，且||||ba，则ba与ba的夹角为__________。例3、已知OP=)1,2(，OA=)7,1(，OB=)1,5(，设M是直线OP上一点，O是坐标原点⑴求使MBMA取最小值时的OM；⑵对（1）中的点M，求AMB的余弦值。5、较难题例1、若点O是△ABC所在平面内一点，满足30OAOBOC，则ABOABCSS的值是．1:5例2、在ABC中，过中线AD中点E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设AMxAB，ANyAC（0xy），则4xy的最小值是．943、与其他知识相结合（1）一般会出现在三角函数的条件中，比如：“已知baxfxxbxxa),cos,sin2(),cos,(sin”或者“baba//”然后求值，这块主要就是涉及平面向量的坐标相关公式，难度一般的。（2）有时候会出现在解析几何的条件中，比如“FBAF2”，也会出现“平行，垂直”“锐角”“钝角”按内容，用平面向量去解决；还有就是用平面向量去解决“垂直”要比用“斜率”要好，起码不用涉及存不存在。这个在后面的三角和解析几何中会有相关题目。