流体动力学基础(工程流体力学)

12流体动力学基础雷诺输运定理运动微分方程伯努利方程及其应用系统与控制体动量方程连续方程式微分方程的求解角动量方程能量方程引言Introduction4流体动力学研究流体在外力作用下的运动规律，即流体的运动参数与所受力之间的关系。本章主要介绍流体动力学的基本知识，推导出流体动力学中的几个重要的基本方程：连续性方程、动量方程和能量方程，这些方程是分析流体流动问题的基础，与工程流体力学的各部分均有一定的关联，因而本章是整个课程的重点。简单地说，就是三大守恒定律：质量，动量，能量守恒在流体力学中的体现形式5三大守恒定律质量守恒动量守恒能量守恒连续方程能量方程动量方程动力学三大方程推广到流体中§4-1系统与控制体SystemandControlVolume7系统(体系)工程热力学闭口系统或开口系统理论力学质点、质点系和刚体研究对象均以确定不变的物质集合作为研究对象！8系统(质量体)在流体力学中，系统是指由确定的流体质点所组成的流体团。如图所示。系统以外的一切统称为外界。系统和外界分开的真实或假象的表面称为系统的边界。ADBC系统定义：Lagrange方法！9(1)一定质量的流体质点的合集(2)系统的边界随流体一起运动，系统的体积、边界面的形状和大小可以随时间变化。(3)系统的边界处没有质量交换，即没有流体流进或流出系统的边界。(4)在系统的边界上受到外界作用在系统上的表面力。(5)在系统的边界上可以有能量交换，即可以有能量输入或输出系统的边界。特点：10多数流体力学实际问题中，对个别流体质点或流体团的运动及其属性并不关心，而更关心流体对流场中的物体或空间中某体积的作用和影响。系统拉格朗日观点应采用欧拉观点处理上述问题！11控制体的边界面称为控制面。它总是封闭表面。定义：相对于某个坐标系来说，有流体流过的固定不变的任何空间的体积称为控制体。控制体(开系统)Euler方法！12•控制面的几何外形和体积是相对流动情况和边界条件选定的•控制面相对于坐标系是固定的。•在控制面上可以有质量交换，即可以有流体流进或流出控制面。•在控制面上受到控制体以外物体施加在控制体内流体上的力(动量交换）。•在控制面上可以有能量交换，即可以有能量输入或输出控制面。控制面的特点：13xyzIIoII'zxynvnvoIIIIt时刻t+t时刻系统控制体14定义：控制体内某物理量的总和随时间的增长率称为局部导数定义：质量体内某物理量的总和随时间的增长率称为随体导数随体导数局部导数质量体控制体经典定理应用方便研究实际问题方便输运公式随体导数和局部导数15§4-2雷诺输运定理ReynoldsTransportEquation17回忆：物质导数是反映流体质点某一物理量对时间的变化率，即观察者随流体质点一起运动时看到的物理量变化率。也可称为质点导数或随体导数。DVDtVt()VV=+流体质点的物质导数的欧拉变量表达式：借助雷诺输运定理如何用欧拉变量表达式来表示对系统体积分的物质导数？18定理：任意时刻，质量体内物理量的随体导数等于该时刻形状、体积相同的控制体内物理量的局部导数与通过该控制体表面的输运量之和。*0()DtCVCSttdBdVBdvBdAdttVn*()DtCVBn质量体控制体任一物理量控制体表面外法向单位向量雷诺输运定理19II'zxynvnvoIIII将拉格朗日法求系统内物理量的时间变化率转换为按欧拉法去计算的公式推导过程：符号说明B:t时刻该系统内流体所具有的某种物理量（如质量、动量等）β:单位质量流体所具有的物理量系统所占有的空间体积控制体所占有的空间体积t时刻t+t时刻IIII’+IIIIIII’+I雷诺输运定理20''00limlimIIIIttttIIIIttttdVdVdBdttdVdVtII'zxynvnvoIIII'0limVVttttVdVdVdBddVdtdttV’=II’+III,V=II’+Iδt→0,II’→II21II'zxynvnvoIIII0limIIIItttdVdVttdVt220limcosIIIttdVnttCSCSvdAvdA110limcosItdVnttCSCSvdAvdAnCVCSCVCSdBdVvdAdVvndAdttt22II'zxynvnvoIIII第一项就是控制体内的当地时间变化率第二项是△t时间内，流体通过控制面随着流体流入而带进来的相应物理量除以△t第二项是△t时间内，流体通过控制面随着流体流出而带出去的相应物理量除以△t23CVCSdBdVvndAdtt控制体内物理量的变化率流进流出控制体的净流通量物理量的总导数Reynolds输运定理表明，某个瞬间时刻，以某个控制体作为体系的系统中，某物理量的总量，其随流导数等于控制体内的该总量的当地时间变化率，加上从控制面上净输出的该物理量的通量。24推导：另一种证明25·把一个有限体积内流体的质点导数转化为Euler描述下的控制体导数·提供了一个Lagrange描述的质点力学向Euler描述的流体力学转换的桥梁·系统内部的某一物理量的时间变化率是由两部分组成，等于控制体内的该物理量的时间变化率加上单位时间内通过控制面的该物理量的净通量。雷诺输运定理的作用26·在定常流动条件下，有也就是说，系统内物理量的变化只与通过控制面的流动有关，而与控制内的流动无关。大大简化了研究内容。*0()DtcsttdBdVBdAdtVn§4-3连续性方程ContinuityEquation28当流体经过流场中某一任意指定的空间封闭曲面时，可以断定：1.若在某一定时间内，流出的流体质量和流入的流体质量不相等时，则这封闭曲面内一定会有流体密度的变化，以便使流体仍然充满整个封闭曲面内的空间；连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的应用。前提：流体是连续介质，它在流动时连续地充满整个流场。292.如果流体是不可压缩的，则流出的流体质量必然等于流入的流体质量。上述结论可以用数学方程式来表达，称为连续性方程。•由哈维发现的人体血液循环理论是流体连续性原理的例证：动脉系统毛细管系统静脉系统心脏30雷诺输运公式可用于任何分布函数B，如密度分布、动量分布、能量分布等。令β＝1，由系统的质量不变可得连续性方程积分形式的连续性方程CVDdVDtCVCSρdVρdA0tvn由流体系统满足质量守恒得，0sysDMDdVDtDt31系统质量变化率流出控制体的质量流率控制体内质量变化率CVDdVDtCVCSρdVρdA0tvn上式表明：通过控制面净流出的质量流量等于控制体内流体质量随时间的减少率。在推导上式的时候，未作任何假设，因此只要满足连续性假设，上式总是成立的32固定的控制体对固定的CV，积分形式的连续性方程可化为CSCVρ()dAdVtvn运动的控制体将控制体随物体一起运动时，连续性方程形式不变，只要将速度改成相对速度vr(CVCSdVdA0trvn)33★1、对于均质不可压流体：ρ=const可适用于均质不可压流体的定常及非定常流动！连续方程的简化连续方程简化为：0CVdVt00CSCSVndAVndA34可适用于可压、不可压流体的定常流动！连续方程简化为：0CVdt★2、对于定常流动：0CSVndS35出、入口截面上的质流量大小为设A0inoutmVVdAVdA()()outinVAVAoutinmm•有多个出入口•一般式★3、沿流管的定常流动36设出入口截面上的体积流量大小为Q＝VA()()outinQQVAVAoutin★4、沿流管的不可压缩流动•一般式•有多个出入口37★5、一维流一维定常流不可压为什么河道窄的地方水流湍急？为什么水管捏扁了速度快？mQAVAV222111VQAVAV221138Ql+Q2=Q3Ql=Q2+Q3有汇流或分流的情况：39解题的一般方法和步骤1.选取恰当的坐标系，使得在该坐标系中相对流动是定常的；2.选取恰当的控制体：•控制体的界面上包括要求的未知量和尽可能多的已知量；•一般可选固体壁面或流面作为控制面，使得在其上输运量为零或可求。积分型守恒方程的应用40解题的一般方法和步骤3.在控制面上物理量均匀分布，易求积分。4.动量方程是矢量方程，三个坐标方向三个方程。5.完整写出控制体上受外力，外力具有代数正负，与坐标方向一致为正。41【4.3-1】所有管截面均为圆形,d1=2.5cm,d2=1.1cm,d3=0.7cm,d4=0.8cm,d5=2.0cm,平均流量分别为Q1=6l/min,Q3=0.07Q1,Q4=0.04Q1,Q5=0.78Q1求：Q2及各管的平均速度【解】取图中虚线所示控制体，有多个出入口。液按不可压缩流体处理可得inoutQQQ1=Q2+Q3+Q4+Q5Q2=Q1－(Q3+Q4+Q5）=Q1－(0.07+0.04+0.78)Q=0.11Q1=0.66l/min42各管的平均速度为20.4cm/s602.5π100064422111dπQVcm/s8.0600.8π100060.044422444dπQV24.8cm/s602.0π100060.784422555dπQV18.2cm/s600.7π100060.074422333dπQV11.6cm/s601.1π10000.664422222dπQV43【例4.3-2】思考题要使注射器稳定地以300cm3/min注射，问推进速度Vp=?已知Ap==500mm2关键：选控制体44利用Gauss公式来证明ddDAVnaaDdAdVnaaDdAdVn微分形式的连续方程45在流场内取一固定不动的平行六面体微元控制体，并建立合适的坐标系。选取适当的微元控制体分析系统（微元控制体）的流动、受力等情况分析包括控制体内的物理量变化及受力，控制面上流入、流出的物理量流率以及受力等，并注意各物理量的正负号。列出守恒方程整理、简化如质量守恒方程、动量定理方程及能量守恒方程等。微分形式的连续方程的推导二46在流场的任意点处取微元六面体，如图所示。六面体中的质量随空间和时间变化。udydzdxudydzxudydzxyzodxdzdy连续方程示意图微分形式的连续方程的推导二47（1）空间变化对于x轴方向，单位时间流入微元六面体的质量为流出的质量为X方向其质量增加为dydzuxdxxdydzudydzuxx)(dxxdydzux48同样y、z轴方向的质量增加分别为,yzudxdzudxdydydzyz（2）时间变化设任意时刻微元六面体内的质量力为，单位时间内变为，所以由于密度的变化单位时间内微元六面体内增加的质量为dxdydztdxdydzdxdydz。tdxdydz微元控制体内流体质量增长率：tdxdydz49（3）根据质量守恒定律流体运动的连续方程式为：0dzzdxdyudyydxdzudxxdydzutdxdydzzyx0zuyu