10全国百套名校高三数学模拟试题分类汇编

高中数学培优教程高考特训班QQ75866017TEL[phone]-2009届全国百套名校高三数学模拟试题分类汇编09圆锥曲线三、解答题(第二部分)41、(烟台·理科)已知动点A、B分别在x轴、y轴上，且满足|AB|=2，点P在线段AB上，且).(是不为零的常数tPBtAP设点P的轨迹方程为c。（1）求点P的轨迹方程C；（2）若t=2，点M、N是C上关于原点对称的两个动点（M、N不在坐标轴上），点Q坐标为),3,23(求△QMN的面积S的最大值。(解)（1）设),(),,0(),0,(yxPbBaA分为轨迹方程点即由题意知则分即41)1(4)1(4:4)1()1(42||,0,1)1()(2),(),(,22222222222ttytxCPyttxtbaABtyttbxtaybtytxaxybxtyaxPBtAP（2）t=2时，11694922yxC为…………5分高中数学培优教程高考特训班QQ75866017TEL[phone]-11212121121211121212121111112121111194998|323||323|2217|323|)0(,.2),,(),,(yxyxSxyyxxyyxSyxxyhMNQxxxyyMNyxMNyxNyxMQMNQMN分分距离为到点的方程为设直线则则设分的最大值为等号成立时即当且仅当分而又1222,21,4323114949432321694919444991169491111121111212111221212121QMNQMNSyxyxyxyxyxyxyxSyxyx42、(枣庄市·理科)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M（1，—3）、N（5，1），若动点C满足xyCtONtOMtOC4),()1(2的轨迹与抛物线且点R交于A、B两点。（I）求证：OBOA；（II）在x轴上是否存在一点)0)(0,(mmP，使得过点P的直线l交抛物线xy42于D、E两点，并以线段DE为直径的圆都过原点。若存在，请求出m的值及圆心M的轨迹方程；若不存在，请说明理由。(解)（I）解：由.),()1(NMtNCtONtOMtOC得R知点C的轨迹是过M，N两点的直线，故点C的轨迹方程是：高中数学培优教程高考特训班QQ75866017TEL[phone]-分故由分即6..0.1616)(4)4)(4(12,16016124)4(443.4),1(4)3(13222OBOAyyxxOBOAxxxxxxyyxxxxxxxxxyxyxyxyBABABABABABABABA（II）解：假设存在xylPmmP4),0)(0,(2交抛物线的直线使得过点于D、E两点，并以线段DE为直径的圆都过原点。设).,(),,(2211yxEyxD由题意，直线l的斜率不为零，所以，可设直线l的方程为.mkyx代入.044,422mkyyxy得…………7分.)(,4,0.048.)())((,4,4,).(0,0)(162212122212122121212122式满足解得又则分同时即则判别式mmmmyyxxOEODmmyykmyykmkymkyxxmyykyymkmk此时，以DE为直径的圆都过原点。…………10分设弦DE的中点为).(21),(21),,(2121yyyxxxyxM则分的轨迹方程即为所求圆心得消去的轨迹的参数方程为的中点弦所以12.,82.2,42,.848)4(8)(44222212121MxykkykxMDEkkkyykkykyxx43、(聊城一中·理科)已知椭圆的一个顶点为A（0，1），焦点在x轴上．若右焦点到直线022yx的距离为3．（1）求椭圆的方程，（2）设椭圆与直线)0(kmkxy相交于不同的两点M、N．当ANAM时，求m的取值范围．(解)（1）依题意可设椭圆方程为1222yax，则右焦点F（0,12a）由题设高中数学培优教程高考特训班QQ75866017TEL[phone]-322212a解得32a故所求椭圆的方程为1322yx（2）设P为弦MN的中点，由1322yxmkxy得0)1(36)13(222mmkxxk由于直线与椭圆有两个交点，,0即1322km①13322kmkxxxNMp从而132kmmkxyppmkkmxykppAp31312又MNAPANAM,，则kmkkm13132即1322km②把②代入①得22mm解得20m由②得03122mk解得21m．故所求m的取范围是（2,21）．44、(江苏省梁寨中学08－09学年高三年级调研考试)已知菱形ABCD的顶点AC，在椭圆2234xy上，对角线BD所在直线的斜率为1．（Ⅰ）当直线BD过点(01)，时，求直线AC的方程；（Ⅱ）当60ABC时，求菱形ABCD面积的最大值．解：（Ⅰ）由题意得直线BD的方程为1yx．因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD．于是可设直线AC的方程为yxn．由2234xyyxn，得2246340xnxn．因为AC，在椭圆上，所以212640n，解得434333n．设AC，两点坐标分别为1122()()xyxy，，，，高中数学培优教程高考特训班QQ75866017TEL[phone]-则1232nxx，212344nxx，11yxn，22yxn．所以122nyy．所以AC的中点坐标为344nn，．由四边形ABCD为菱形可知，点344nn，在直线1yx上，所以3144nn，解得2n．所以直线AC的方程为2yx，即20xy．（Ⅱ）因为四边形ABCD为菱形，且60ABC，所以ABBCCA．所以菱形ABCD的面积232SAC．由（Ⅰ）可得22221212316()()2nACxxyy，所以234343(316)433Snn．45、(广东省汕头市潮南区08－09学年度第一学期期末高三级质检)椭圆的中心是原点O，它的短轴长为22，相应于焦点F（c,0）（c0）的准线（准线方程x＝2ac,其中a为长半轴，c为半焦距）与x轴交于点A，FAOF2，过点A的直线与椭圆相交于点P、Q。（1）求椭圆方程；（2）求椭圆的离心率；（3）若0OQOP，求直线PQ的方程。解：（1）由已知得22,2()abccc，解得：224,6ca……………………2分所求椭圆方程为22162xy………………………………………………4分高中数学培优教程高考特训班QQ75866017TEL[phone]-（2）因6,2ac，得2636cea……………………………………7分（3）因点2(,0)aAc即A（3，0），设直线PQ方程为(3)ykx………………8分则由方程组22(3)2612ykxxy，消去y得：2222(13)182760kxkxk设点1122(,),(,)PxyQxy则2212122218276,1313kkxxxxkk……………………10分因0OPOQ，得12120xxyy，又222212121212(3)(3)3()9yykxxkxxkxxk，代入上式得2221212(1)3()90kxxkxxk，故2222222(1)(276)318901313kkkkkkk解得：215,55kk，所求直线PQ方程为5(3)5yx……………………14分46、(重庆奉节长龙中学2009年高考数学预测卷二)P是以12FF、为焦点的双曲线C：22221xyab（a＞0，b＞0）上的一点，已知12PFPF=0，12||2||PFPF．（1）试求双曲线的离心率e；（2）过点P作直线分别与双曲线两渐近线相交于P1、P2两点，当12274OPOP，122PPPP=0，求双曲线的方程．解（1）∵12||2||PFPF，12||||2PFPFa，∴1||4PFa，2||2PFa．∵12PFPF=0，∴(4a)2+(2a)2=(2c)2，∴5cea．……………………4分（2）由（1）知，双曲线的方程可设为222214xyaa，渐近线方程为2yx．…5分设P1(x1，2x1)，P2(x2，-2x2)，P(x，y)．∵12122734OPOPxx，∴1294xx．∵1220PPPP，∴12122,32(2).3xxxxxy………8分∵点P在双曲线上，∴22121222(2)(2)199xxxxaa．高中数学培优教程高考特训班QQ75866017TEL[phone]-化简得，21298axx．∴29984a．∴22a．∴双曲线的方程为22128xy…12分评析：本题考查向量与双曲线的有关内容．近几年来向量与其他知识互相渗透成为一种时尚，基于此特命此题．本题考查学生运用圆锥曲线定义灵活解题的能力、向量知识、运算能力．47、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)已知常数m0，向量a=(0,1)，向量b=(m,0)，经过点A(m,0)，以λa+b为方向向量的直线与经过点B(-m,0)，以λb-4a为方向向量的直线交于点P，其中λ∈R．(1)求点P的轨迹E；(2)若52m，F(4,0)，问是否存在实数k使得以Q(k,0)为圆心，|QF|为半径的圆与轨迹E交于M、N两点，并且|MF|+|NF|=53．若存在求出k的值；若不存在，试说明理由．解(1)∵λa+b=(m,λ)，∴直线AP方程为)(λmxmy；…………………………①又λb-4a=(λm,-4),∴直线NP方程为)(4mxmy；…………………………②由①、②消去λ得)(42222mxmy，即14222ymx．故当m=2时，轨迹E是以(0,0)为圆心，以2为半径的圆：x2+y2=4；当m2时，轨迹E是以原点为中心，以)0,4(2m为焦点的椭圆：当0m2时，轨迹E是以中心为原点，焦点为)4,0(2m的椭圆．(2)假设存在实数k满足要求，此时有圆Q：(x-k)2+y2=(4-k)2;椭圆E：142022yx；其右焦点为F(4,0)，且552e．由圆Q与椭圆E的方程联立得2y2-5kx+20k-30=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则有kxx2521，………………………………………………③△=25k2-4×2(20k-30)，又|MF|=155252x,|NF|=255252x,而53||||NFMF；∴155252x[phone]x,由此可得2521xx，……………………………………………………………………④由③、④得k=1，且此时△＞0．故存在实数k=1满足要求．48、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)双曲线的实半轴与虚半轴长的积为3，它的两焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与直线F1F2的夹角为，且221tan，l与线段F1F2的高中数学培优教程高考特训班QQ75866017TEL[phone]-垂直平分线的