四边形中的动态问题(动点)

四边形中的动态问题图形中的点、线的运动，构成了数学中的一个新问题——动态几何。它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。在解这类题时，要充分发挥空间想象的能力，往往不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径。例1、Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝8cm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上。令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动，直到C点与N点重合为止。设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式？例练、菱形OABC的边长为4cm，∠AOC=600，动点P从O出发，以每秒1cm的速度沿O-A-B路线运动，点P出发2秒后，动点Q从O出发，在OA上以每秒1cm的速度运动，在AB上以每秒2cm的速度沿O-A--B运动，过P、Q两点分别作对角线AC的平行线，设P点运动的时间为x秒，这两条平行线在菱形上截出的图形的周长为ycm，问当x为多少时，周长y可能为一个定值，定值为多少？四边形动点问题(一)1.（1）如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？证明你的结论.2.已知等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P（A点除外），过P点作EF∥AB，分别交AC，BC于E，F点，作PM∥AC，交AB于M点，连接ME．（1）求证：四边形AEPM为菱形；（2）当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？3.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x．（1）当x的值为时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；（2）当x的值为时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；（3）点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．4.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4AD=，∠B=45°．直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F．若△ABE为等腰三角形，则CF的长等于．5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，点M从点A开始，沿边AD向点D运动，速度为1cm/s；点N从点C开始，沿边CB向点B运动，速度为2cm/s、点M、N分别从点A、C出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）当t=时，四边形MNCD是平行四边形．（2）当t=时，四边形MNCD是等腰梯形6.如图，在ΔABC中，D是BC的中点，BC=10㎝,AD=7㎝,从点A沿着A→D的方向运动，速度是每秒2㎝，连结CE,BE,过点B作BF∥CE,交射线AD于点F,设运动时间为t秒（0t3.5）（1）求证：ΔBDF≌ΔCDE（2）当t为何值时，四边形BFCE是矩形，说明理由（3）若四边形BFCE是矩形，当AB和CA满足什么条件时，四边形BFCE是正方形。7.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°,AD=16㎝,AB=12㎝,BC=21㎝,动点P沿射线BC的方向以每秒2㎝的速度运动,动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1㎝的速度向点D运动，点P、Q分别从点B、A同时出发，当点Q运动到点D时，点P也随之停止运动，设运动时间t（秒）（1）若四边形PQDC是平行四边形时，求此时t的值；（2）当t为何值时，以C,D,Q,P为顶点的梯形面积等于60㎝²？（3）当ΔPQD是以PQ为腰的等腰三角形时，直接写出所有满足要求的t的值。8.如图梯形ABCD中AD∥BC,AD=CD,DE⊥BC于点E,且DE=1,AD=4,∠B=45°.（1）直接写出BC的长；（2）直线AB以每秒0.5个单位的速度向右平移，交AD于点Q,则当直线AB的移动时间为多少秒，形成的四边形ABQPQ恰好为菱形？（结果精确到0.01秒）；（3）AB移动的方向、速度如同第（2）题，移动时间为t秒，AB扫过梯形ABCD的面积S（用t的代数式表示，直接写出答案即可）→四边形动点问题（二）1.如图，四边形ABCD为矩形，动点E在DC边上移动，但点E不与点D、C重合．（1）当点E移动到什么位置时，△AED≌△BEC？请说明你的结论；（2）当∠AEB为多少度时，△AED∽△EBC？请说明你的结论．2.如图，在△ABC中，E为高AD上的动点，F是点D关于点E的对称点（点F在高AD上，且不与A、D重合）．过点F作BC的平行线与AB交于P，与AC交于Q，连接PE并延长交直线BC于点N，连接QE并延长交直线BC于点M，连接PM、QN．（1）试判断四边形PMNQ的形状，并说明理由；（2）若要使四边形PMNQ是一个矩形，则△ABC还应满足什么条件？请说明理由；（3）若BC=10，AD=6，则当点E在何处时，四边形PMNQ的面积与△APQ的面积相等？3.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=15，BC=25，AB=DC=10，动点P从点D出发，以每秒1个单位长的速度沿线段DA的方向向点A运动，动点Q从点C出发，以每秒2个单位长的速度沿射线CB的方向运动，点P、Q分别从点D、C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．（1）当t=2时，求△APQ的面积；（2）若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t；（3）当t为何值时，以A、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？4.在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90º，AB=12，BC=21，AD=16，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位的速度向D点运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t（秒）（1）设△DPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式（2)当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形（3）当t为何值时，△DPQ是等腰三角形5.如图所示，在△ABC中，点O在AC边上运动，过O作直线MN∥BC交∠BCA内角平分线于E点，外角平分线于F点．试探究：当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？6.如图所示，在直角坐标系中，四边形OABC为直角梯形，OA∥BC，BC=14cm，A点坐标为（16，0），C点坐标为（0，2）．点P、Q分别从C、A同时出发，点P以2cm/s的速度由C向B运动，点Q以4cm/s的速度由A向O运动，当点Q停止运动时，点P也停止运动，设运动时间为ts（0≤t≤4）．（1）求当t为多少时，四边形PQAB为平行四边形．（2）求当t为多少时，PQ所在直线将梯形OABC分成左右两部分的面积比为1:2，求出此时直线PQ的函数关系式．ACDOBFNEMACOBPxQy7.如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD.一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD.(1)当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；(2)当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动.过Q作直线QN，使QN∥PM.设点Q运动的时间为t秒(0≤t≤10)，直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm2.①求S关于t的函数关系式；②(附加题)求S的最大值。EDCBAMP四边形动点问题（三）1.如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断；（2）将原题中正方形改为矩形（如图4-6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb（a≠b，k＞0），第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由；（3）在第（2）题图5中，连接DG、BE，且a=3，b=2，k=0.5，求BE2+DG2的值．2.如图，四边形ABCD为矩形，AB=4，AD=3，动点M、N分别从D、B同时出发，以1个单位/秒的速度运动，点M沿DA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP．已知动点运动了x秒．（1）请直接写出PN的长；（用含x的代数式表示）（2）若0秒≤x≤1秒，试求△MPA的面积S与时间x秒的函数关系式，利用函数图象，求S的最大值．（3）若0秒≤x≤3秒，△MPA能否为一个等腰三角形？若能，试求出所有x的对应值；若不能，试说明理由．3.在四边形ABCD中，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，点E、F、G、H分别是在四边形ABCD的四边上的动点，但E、F、G、H不与A、B、C、D重合，且EF∥BD∥GH，FG∥AC∥HE．（1）若对角线AC=BD=a（定值），求证：四边形EFGH的周长是定值；（2）若AC=m，BD=n，m、n为定值，但m≠n，则四边形EFGH的周长是定值吗？请指出，并说明理由4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）．（1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式；（2）t为何值时，四边形PQBA是梯形？5．如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y＝－12x＋b交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.CDBAEO6．如图，已知点(63,0),(0,6)AB，经过A、B的直线l以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线l上以每秒1个单位的速度沿直线l向右下方向作匀速运动．设它们运动的时间为t秒．（1）用含t的代数式表示点P的坐标；（2）过O作OC⊥AB于C，过C作CD⊥x轴于D，问：t为何值时，以P为圆心、1为半径的圆与直线OC相切？并说明此时圆P与直线CD的位置关系．BAOPDClxy7．已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？（2）连接PE，设四边形A