小学奥数系列――行程问题习题及详解

1行程问题行程问题是小升初考试和小学四大杯赛四大题型之一（计算、数论、几何、行程）。具体题型变化多样，形成10多种题型，都有各自相对独特的解题方法。现根据四大杯赛的真题研究和主流教材将小题型总结如下，希望各位看过之后给予更加明确的分类。一般行程问题相遇问题（重点）与相离问题，两类问题的共同点是都用到了速度和行程问题几大题型追及问题与领先问题，两个问题的共同点是同向而行，一快一慢，有速度差“火车过桥问题”“流水行船问题”“钟表问题”行程问题是“行路时所产生的路程、时间、速度的一类应用题”，基本数量关系如下：速度×时间=路程；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间。注意总行程的平均速度的算法：平均速度=总路程÷总时间，而不是两个（或几个）速度相加再除以2。行程问题涉及的变化较多，有的涉及一个物体的运动，有的涉及两个物体的运动，有的涉及多个物体的运动。涉及两个物体运动的，又有“相向运动”（相遇问题）、“同向运动”（追及问题和领先问题）和“相背运动”（相离问题）三种情况。但归纳起来，不管是“一个物体的运动”还是“两个物体的运动”，不管是“相向运动”、“同向运动”，还是“相背运动”，他们的特点是一样的，具体地说，就是它们反映出来的数量关系是相同的，都可以归纳为：速度×时间=路程（路程÷时间=速度，路程÷速度=时间）。在各类行程问题中进一步推演的数量关系都依赖于这一基本思想，在学习时要多注意从“简单”到“复杂”的推导过程，重在理解，在理解的基础上形成对各类行程问题中所涉及到的关系式的记忆和正确应用；此类问题的题型非常多且富于变化，但是“万变不离其宗”，希望学习者能深入理解其中包含的数学思想的本源，从而做到“以不变应万变”！解行程问题时还要注意充分利用图示把题中的“情节”形象地表示出来，有助于分析数量关系，有助于迅速地找到解题思路。相向而行的公式：相遇时间=距离÷速度和。相背而行的公式：相背距离=速度和×时间。追及问题的公式：速度慢的在前，快的在后。追及时间=追及距离÷速度差。在环形跑道上，速度快的在前，慢的在后。追及距离=速度差×时间（例如求环形跑道的长度）。追及距离÷时间=速度差，追及距离÷速度差=时间。“火车过桥问题”、“流水行船问题”、用行程问题结合图形知识解答的“钟表问题”是几类较特殊的行程问题，在解题时更要注意具体问题具体分析。要正确的解答有关行程问题”的应用题，必须弄清物体运动的具体情况。如运动的方向（相向，相背，同向），出发的时间（同时，不同时），2出发的地点（同地，不同地），运动的路线（封闭，不封闭），运动的结果（相遇、相距多少、交错而过、追及）。两个物体运动时，运动的方向与运动的速度有着很大关系，当两个物体“相向运动”或“相背运动”时，此时的运动速度都是“两个物体运动速度的和”（简称速度和），当两个物体“同向运动”时，此时两个物体的追及的速度就变为了“两个物体运动速度的差”（简称速度差）。当物体运动有外作用力时，速度也会发生变化。如人在赛跑时顺风跑和逆风跑；船在河中顺水而下和逆水而上。此时人在顺风跑时运动的速度就应该等于人本身运动的速度加上风的速度，人在逆风跑时运动的速度就应该等于人本身的速度减去风的速度；我们再比较一下人顺风的速度和逆风的速度会发现，顺风速度与逆风速度之间相差着两个风的速度；同样比较“顺水而下”与“逆流而上”，两个速度之间也相差着两个“水流的速度”。所谓“逆水行舟，不进则退”就是这个道理。1、相遇问题和相离问题：（1）相遇问题：“两物体分别从两地出发，相向而行”，注意关键词“相向”，如果两物体同时出发，相遇时所用时间一定相同，注意对速度和的理解图示:甲乙甲从A地出发乙从B地出发关系式：相遇时间=总路程÷速度和总路程=速度和×相遇时间典型例题：1两港相距168千米，一艘客轮和一艘货轮同时从两港相对开出，客轮每小时行24千米，货轮每小时行18千米，几小时后两艘轮船相距21千米？2甲乙两车同时从东西两地相向开出，甲车每小时行60千米，乙车每小时行52千米，两车在离中点16千米处相遇。东西两地相距多少千米？3A、B两地相距470千米，甲车以每小时46千米，乙车以每小时40千米的速度先后从两地出发，相向而行。相遇时甲车行驶了230千米。问：乙车比甲车早出发几小时？4甲、乙两车的速度比是3：4，两车同时从两地相向而行，在离中点6千米处相遇，求两地相距多少千米？解法（一）：由题意可知，甲乙两车同时开出后，路程比成正比例，总是等于速度比，设两地间路程的一半为X，则66xx=43，解比例得X=42，42×2=84千米即为两地间的距离。6千米解法（二）：甲乙3中点从线段图上我们可以看出，相遇时，甲差6千米到达中点，乙已经过了中点6千米，甲和乙的路程差是6千米的两倍，如果将两地间距离成看成3+4=7“份”的话，相遇时甲和乙的路程差是其中的“一份”。则有6×2÷4334=84千米。多人相遇问题：5（解决此类问题同时要理解领先问题）甲、乙、丙三人，每分钟分别行68米、70.5米、72米。现甲、乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙和乙相遇后，丙又过了2分钟与甲相遇。求：东西两镇相距多少千米。6（解决此类问题同时要理解与“封闭路程”有关的行程问题）甲乙丙三人沿着湖边散步，同时从湖边的一个地点出发。甲按顺时针方向走，乙与丙按逆时针方向走。甲第一次遇到乙后141分钟遇到丙，再过343分钟第二次遇到乙。已知乙的速度是甲的32，湖的周长是600米，求丙的速度。多次相遇问题：6甲乙两辆汽车同时从A、B两地相对开出，甲每小时行75千米，乙每小时行65千米。甲、乙两车第一次相遇后继续前进，分别到达B、A两地后，立即按原路返回，两车从出发到第二次相遇共行了6小时，A、B两地相距多少千米？7一个游泳池长90米。甲、乙二人分别从游泳池的两端同时出发，游到另一端立即返回。照这样往、返游，两人游10分钟，甲每秒游3米，乙每秒游2米，二人会相遇几次？（2）相离问题：“两物体从同一地点出发，相背而行”，注意对“速度和”的理解，注意时间的因素图示：甲出发点乙AB关系式：相离距离=速度和×相背而行的时间典型例题，相遇和相离的综合问题举例：A、B两地相距420千米，甲车从A地出发开往B地，每小时行驶72千米，甲车行驶25分钟后，乙车从B地开往A地，每小时行驶28千米。两车相距100千米时，甲车共行驶多长时间？（分析各种情况）2、追及问题和领先问题（1）追及问题：“两物体同向而行，一快一慢，慢者先行，快者追之”图示：慢者先走出一段距离就是需要追及的距离在快者追时慢者继续往前走4快者此时此地追起追到出发点注意：追上时一共走出的路程不叫追及距离关系式：追及时间=需要追及的距离÷速度差；追及距离=速度差×追及时间速度差=追及距离÷所用时间，近而再根据其他已知条件求出各自速度，从而解决问题。速度差=速度（快的）-速度（慢的）需要追及的距离也就是慢者先行的距离或者快者开始出发时距慢者的距离。典型例题：1晚饭后，小明和爸爸沿同一条公路去散步，小明走得慢，每分钟走60米，所以他先从家出发。5分钟后，爸爸以每分钟80米的速度去追小明，经过多少分钟可以追上？2A、B两地相距1800米，若甲乙两人分别从A、B两地同时出发，9分钟会相遇；如果两人同向而行，则甲30分钟可以追到乙，问：甲从A地到B地需要多少小时？3甲乙丙三辆车先后从A地开往B地。乙比丙晚出发5分钟，出发后45分钟追上丙；甲比乙晚出发15分钟，出发后1小时追上丙。甲出发后几小时追上乙？解法：设数法解题。4上午8时8分，小明骑自行车从家里出发。8分钟后，爸爸骑摩托车去追他。在离家4千米的地方追上了小明，然后爸爸立即回家。到家后，爸爸又立即回头去追小明。再追上他的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？解法：下图中实线是爸爸从第一次追上小明到第二次追上小明所走的路线，虚线是同时间小明走的路线。从线段图中我们可以看出爸爸走了3个4千米的时间，小明只走了1个4千米，小明所行路程是爸爸所行路程的31，相同时间内，路程与速度成正比，则小明的速度是爸爸速度的31。4千米4千米爸爸小明家第一次追上时离家4千米第二次追上时离家8千米我们再来看第一次爸爸追上小明时的情况，由于小明的速度是爸爸速度的31，从爸爸第一次开始追小明到追上小明的这段时间内，爸爸行出4千米，小明行出4千米的31（同样是根据相同时间内，路程与速度成正比），小明必须先行出4千米的313=32，也就是说，小明用8分钟的时间先行出4×32=385千米。小明先用8分钟时间走出4千米的32小明爸爸进而我们求出小明的速度是38÷8=31千米/分钟，小明8点8分从家里出发，到爸爸二次追上小明时，小明共行8千米，8÷31=24分钟，从而求得第二次追上的时间是8点32分。解题过程：①4÷（4+8）=31②4×（1-31）=38（千米）③38÷8=31（千米/分钟）④8÷31=24（分钟）⑤8+24=32（分）答：这时是8点32分。（2）领先问题：“两物体同向而行，在同一出发点同时出发，一快一慢，则快者必领先于慢者”图示：慢者快者快者领先的距离两者在同一出发点同时出发关系式：领先距离=速度差×所用时间，速度差=领先距离÷所用时间，所用时间=领先距离÷速度差典型例题：1甲乙两人练跑步，甲跑步的速度每分钟比乙快503千米，两人从某地同时出发，跑了一段时间后，甲领先乙200米，问此时甲跑了多少秒？2小李和老王同时从A地出发去B地，小李骑电动车，老王开汽车，2分钟后小李在老王的后方0.5千米，A、B两地相距90千米，老王用了3个小时到达B地，问小李到达B地时，老王已经到达B地多长时间了？3两辆汽车同时从某地出发，运送一批货物到距离165千米的工地。甲车比乙车早到48分钟，当甲车到达时，乙车还距工地24千米。问：甲车行6完全程用了多少小时？注意，此题虽然是“领先问题”的模式，但是却没有用到速度差，路程差的关系式，而是根据题意先求出了乙车的速度，然后直接利用到达目的地的时间差求出快车（题目中的甲车）行完全程所用的时间，可见，分析问题重在思维灵活，不能僵化地利用公式。4两条公路成十字交叉，甲从十字路口南1200米处向北直行，乙从十字路口处向东直行，甲、乙同时出发，10分钟时，两人与十字路口的距离相等，出发后100分钟，两人与十字路口的距离再次相等，此时他们距离十字路口多少米？……与“封闭路程”有关的行程问题：注意以下两点：一是两人同地背向运动，从一次相遇到下次相遇共行一个全程；二是同地同向运动时，甲追上乙时，甲比多行一个全程。典型例题：1在300米的椭圆形跑道上，小田和小刘同时同地起跑，如果同向而跑2分30秒相遇，如果背向而跑则半分钟相遇，小齐和小强的速度分别是多少？2如图，A、B是圆形跑道的两端，小张在A点，小陈在B点同时出发，反向行走，他们在C点第一次相遇，C点离A点的跑道长80米；在D点第二次相遇，D点离B点跑道长60米，求这个圆形跑道的长度。DABc3、“流水行船”问题：解答这类问题的要素有下列几点：船行使时本身的速度（简称船速）、水流速度（简称水速）、顺流速度、逆流速度；航程（船行驶的路程）、顺流行驶时间和逆流行驶时间，平均速度的算法。基本关系式如下：顺流速度=船速+水速逆流速度=船速-水速（记住这个原理下面的四个关系式也就都理解了）顺流速度=逆流速度+2×水速逆流速度=顺流速度-2×水速船速（没有水流的情况下船本身的行使速度）=（顺流速度+逆流速度）÷2水速=（顺流速度-逆流速度）÷2典型例题：1一位少年短跑选手，顺风跑90米用了10秒钟，在同样的风速下，逆风跑70米，也用了10秒钟。问：在无风的情况下，他跑100米用多长时间？2一艘轮船顺流航行105千米，再逆流航行120千米，共用12小时；若顺流航行60千米，再逆流航行132千米，共用15小时。如果先顺流航行120千米，再逆流航行120千米回到始点，最短需要多少小时？4、“火车过桥”问题解答火车过桥问题的关键是要明确火车“完全”通