高等数学(侯风波)第6章课件PPT

第一节定积分的概念第二节微积分基本公式第三节定积分的积分方法第四节广义积分第六章定积分一、定积分的实际背景二、定积分的概念三、定积分的几何意义四、定积分的性质第一节定积分的概念第一节定积分的概念1.曲边梯形的面积曲边梯形:若图形的三条边是直线段，其中有两条垂直于第三条底边，而其第四条边是曲线，这样的图形称为曲边梯形，如左下图所示.yOMPQNBxCAA推广为一、定积分的实际背景曲边梯形面积的确定方法：把该曲边梯形沿着y轴方向切割成许多窄窄的长条，把每个长条近似看作一个矩形，用长乘宽求得小矩形面积，加起来就是曲边梯形面积的近似值，分割越细，误差越小，于是当所有的长条宽度趋于零时，这个阶梯形面积的极限就成为曲边梯形面积的精确值了.如下图所示：0x1x2xxnOxyy=f(x)0x=axn=b曲边梯形面积的确定步骤：(1)分割任取分点bxxxxxann1210,把底边[a,b]分成n个小区间[1x,2x](),,2,1ni.小区间长度记为);,,2,1(1nixxxiii(2)取近似在每个小区间[iixx,1]上任取一点i竖起高线)(if,则得小长条面积iA的近似值为iiixfA)((ni,,2,1);(3)求和把n个小矩形面积相加(即阶梯形面积)就得到曲边梯形面积A的近似值iniinnxfxfxfxf)()()()(12211;(4)取极限令小区间长度的最大值inix1max趋于零,则和式iniixf)(1的极限就是曲边梯形面积A的精确值，即01lim().niiiAfx2．变速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度)(tvv是时间间隔[21,TT]上的连续函数，且)(tv≥0，要计算这段时间内所走的路程.解决这个问题的思路和步骤与上例类似：(1)分割任取分点212101TtttttTnn，把[21,TT]分成n个小段，每小段长为1iiittt（ni,,2,1）;(2)取近似把每小段[iitt,1]上的运动视为匀速，任取时刻iiitt,1，作乘积iitv)(，显然这小段时间所走路程is可近似表示为iitv)(（ni,,2,1）;(3)求和把n个小段时间上的路程相加，就得到总路程s的近似值，即iniitvs)(1;(4)取极限当0max1init时，上述总和的极限就是s的精确值，即iniitvs)(lim10.321xxxannxx1b,分],[ba为n个小区间],[1iixx),,2,1(ni.记iniiiixnixxx11max),,,2,1(,再在每个小区间],[1iixx上任取一点i，作乘积iixf)(的和式：定义设函数)(xfy在[ba,]上有定义，任取分点,)(1iniixf二、定积分的概念如果0时,上述极限存在（即，这个极限值与],[ba的分割及点i的取法均无关），则称此极限值为函数)(xf在区间],[ba上的定积分，记为,)(limd)(10iniibaxfxxf其中称)(xf为被积函数,xxfd)(为被积式，x为积分变量，],[ba为积分区间，ba,分别称为积分下限和上限.定积分定义的说明：(1)定积分表示一个数，它只取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量采用什么字母无关，例如：102102ddttxx.一般地，babattfxxfd)(d)(.(2)定义中要求积分限ba，我们补充如下规定：当ba时，baxxf0d)(,当ba时，baabxxfxxfd)(d)(.(3)定积分的存在性：当)(xf在],[ba上连续或只有有限个第一类间断点时,)(xf在],[ba上的定积分存在（也称可积）.如果0)(xf，则()d0bafxx,此时()dbafxx表示由曲线()yfx，,xaxb及x轴所围成的曲边梯形的面积A，即baAxxfd)(.xOyabAy=f(x)三、定积分的几何意义如果)(xf≤0，则()d0bafxx，此时()dbafxx表示由曲线()yfx，,xaxb及x轴所围成的曲边梯形的面积A的负值，即()dbafxxA.xOyab-Ay=f(x)123()d.bafxxAAA如果)(xf在],[ba上有正有负时，则()dbafxx表示由曲线)(xfy，直线,xaxb及x轴所围成的平面图形的面积位于x轴上方的面积减去位于x轴下方的面积，如右图所示，即3A)(xfyOabxy2A1A性质1函数的代数和可逐项积分，即bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)]()([.性质2被积分函数的常数因子可提到积分号外面，即babaxxfkxxkfd)(d)(（k为常数）.性质3（积分区间的分割性质）若bca，则bacabcxxfxxfxxfd)(d)(d)(.注：对于cba,,三点的任何其他相对位置，上述性质仍成立，譬如：cba，则cabacbbabcdxxfdxxfdxxfdxxfdxxf)()()()()(,四、定积分的性质.d)(d)(d)(bacabcxxfxxfxxf仍有性质4（积分的比较性质）在,ab上若)(xf≥g(x)，则baxxfd)(≥baxxgd)(.性质5（积分估值性质）设M与m分别是)(xf在,ab上的最大值与最小值，则()mba≤baxxfd)(≤)(abM.证因为m≤)(xf≤M（题设），由性质4得baxmd≤baxxfd)(≤baxMd，再将常数因子提出，并利用abxbad，即可得证.性质6（积分中值定理）如果)(xf在ba,上连续，则至少存在一点ba,，使得baabfxxf))((d)(.证将性质5中不等式除以ab，得m≤baxxfabd)(1≤M.设baxxfabd)(1,即mM.由于)(xf为ba,区间上的连续函数,所以,它能取到介于其最小值与最大值之间的任何一个数值（这就是连续函数的介值定理）.因此在ba,上至少有一点，使得)(f，即,)(d)(1bafxxfab.))((d)(baabfxxf中值定理的几何意义：曲边)(xfy在ba,底上所围成的曲边梯形面积，等于同一底边而高为)(f的一个矩形面积，如下图所示.Oabxy)(f)(xfy从几何角度容易看出，数值baxxfabd)(1表示连续曲线)(xfy在ba,上的平均高度，也就是函数)(xf在ba,上的平均值，这是有限个数的平均值概念的拓广.例估计定积分xxde112的值.解先求2e)(xxf在[-1,1]上的最大值和最小值.因为2e2)(xxxf,令0)(xf，得驻点x=0，比较)(xf在驻点及区间端点处的函数值,1e)0(0fe1e)1()1(1ff,故最大值1M,最小值m=e1.由估值性质得，e2≤xxde112≤2.思考题1.如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推证下列积分的值：(1)11dxx;(2)xxRRRd22;(3)π20dcosxx;(4)11dxx.2.若当a≤x≤b,有)(xf≤)(xg，问下面两个式子是否均成立，为什么？（1）baxxfd)(≤baxxgd)(;（2）xxfd)(≤baxxgd)(.一、变上限的定积分二、牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式第二节微积分基本公式引例设物体以速度)(tvv作直线运动，要求计算],[21TT时间内的路程s.从定积分概念出发，由前面已讨论的结果知道[21,TT]所经过的路程为21()dTTvtt.若从不定积分概念出发，则知道函数为,)(d)(Ctsttv其中)()(tvts，于是[21,TT]时间内所走路程就是)()(12TsTs.综合上述两个方面，得到21)()(d)(12TTTsTsttv.这个等式表明速度函数)(tv在[21,TT]上的定积分,等于其原函数)(ts在区间[21,TT]上的改变量.那么，这一结论有没有普遍的意义呢？第二节微积分基本公式设函数)(xf在[ba,]上连续,x[ba,]，于是积分xaxxfd)(是一个定数，这种写法有一个不方便之处，就是x既表示积分上限，又表示积分变量.为避免混淆，我们把积分变量改写成t，于是这个积分就写成了xattfd)(.当x在[ba,]上变动时，对应于每一个x值,积分xattfd)(就有一个确定的值，因此xattfd)(是变上限x的一个函数，记作)(xΦ=xattfd)(（a≤x≤b）通常称函数)(xΦ为变上限积分函数或变上限积分，其几何意义如图所示(见下页).一、变上限的定积分y)(xfyxOxab)(xΦ定理1如果函数)(xf在区间[ba,]上连续，则变上限积分)(xΦ=xattfd)(在[ba,]上可导，且其导数是xaxfttfxxΦ)(d)(dd)(（a≤x≤b）.证当上限x获改变量x时，函数)(xΦ获得改变量为.d)(xxxttfΦ由积分中值定理得xfΦ)(（在x及xx之间）,)(fxΦ.再令0x,从而x，由)(xf的连续性，得0limxxΦ)()(limxffx,即)()(xfxΦ，证毕.如右图所示:yOxabxxx)(xΦφ(x)推论连续函数的原函数一定存在.且函数)(xΦ=xattfd)(即为其原函数.例1计算)(xΦ=xtt02dsin在x=0,2π处的导数.解因为xttx02dsindd=2sinx,故00sin)0(2Φ；224πsin)2π(Φ.例2求下列函数的导数：(1)xaatttxΦe)0(dln)(；解这里)(xΦ是x的复合函数，其中中间变量xue，所以按复合函数求导法则，有xxtttuxΦxxxxuaeeelnd)e(d)dln(dddd.(2))0(dsin)(12xxΦx.解21dsinddddxxxΦ)(sin22xxxxxxxsin22sin2.定理2设函数)(xf在闭区间],[ba上连续，又)(xF是)(xf的任一个原函数，则有)()(d)(aFbFxxfba.证由定理1知，变上限积分xattfxΦd)()(也是)(xf的一个原函数，于是知0)()(CxFxΦ,0C为一常数,即xaCxFttf0)(d)(.我们来确定常数0C的值，为此，令ax，有aaCaFttf0)(d)(，得)(0aFC.因此有xaaFxFttf)()(d)(.二、牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式再令bx，得所求积分为baaFbFttf)()(d)(.因此积分值与积分变量的记号无关，仍用x表示积分变量，即得baaFbFxxf)()(d)(,其中)()(xfxF.上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式.为计算方便，该公式常采用下面的格式：babaaFbFxFxxf)()()(d)(.例1求定积分：(1)212d1)(xxx；（2）3221)1(dxxx；（3）112dxx.解（1）212122d)12(d12)(xxxxxx654)123(213xxx.（2）3221322111)1(dxxxx.x1xd)(d)(11232212xx3221arcsin2x.3398.0)21arcsin32(arcsin2（3）xx2在]1,1[上写成分段函数的形式