高等数学-习题答案-方明亮-第九章

1高等数学方明亮版第九章曲线积分与曲面积分习题详解习题9.11计算下列对弧长的曲线积分：（1）LIxds，其中L是圆221xy中(0,1)A到11(,)22B之间的一段劣弧；解:LAB的参数方程为：cos,sinxy()42，于是2422cos(sin)cosId241cos(1)2d．（2）(1)Lxyds，其中L是顶点为(0,0),(1,0)OA及(0,1)B所成三角形的边界；解:L是分段光滑的闭曲线，如图9－2所示，根据积分的可加性，则有(1)Lxyds(1)OAxyds(1)ABxyds(1)BOxyds，由于OA:0y，01x，于是2222()()10dxdydsdxdxdxdxdx，故103(1)(01)2xydsxdxOA，而:AB1yx,01x，于是2222()()1(1)2dxdydsdxdxdxdxdx．故10(1)[(1)1]222ABxydsxxdx，xyo(1,0)A(0,1)BxyoABC2同理可知:BO0x（01y），2222()()01dxdydsdydydydydy，则103(1)[01]2BOxydsydy．综上所述33(1)2232222Lxyds．（3）22Lxyds，其中L为圆周22xyx；解直接化为定积分．1L的参数方程为11cos22x,1sin2y（02）,且221[()][()]2dsxydd．于是22201cos222Lxydsd．（4）2Lxyzds，其中L为折线段ABCD，这里(0,0,0)A，(0,0,2),B(1,0,2),C(1,2,3)D；解如图所示，2222LABBCCDxyzdsxyzdsxyzdsxyzds．线段AB的参数方程为0,0,2(01)xyztt，则222()()()dxdydzdsdtdtdt2220022dtdt，故02200102dttyzdsxAB．线段BC的参数方程为,0,2(01)xtyzt，则222100,dsdtdt故xyoL1L1xyz(0,0,0)A(0,0,2)B(1,0,2)C(1,2,3)D31220020BCxyzdstdt，线段CD的参数方程为1,2,2xytzt)10(t，则2220215dsdtdt，故112200812(2)525)53CDxyzdsttdtttdt2(2，所以2222853LABBCCDxyzdsxyzdsxyzdsxyzds．（5）2Lxds，L为球面2221xyz与平面0xyz的交线。解先将曲线L用参数方程表示，由于L是球面2221xyz与经过球心的平面0xyz的交线，如图所示，因此是空间一个半径为1的圆周，它在xOy平面上的投影为椭圆，其方程可以从两个曲面方程中消去z而得到，即以()zxy代入2221xyz有2212xxyy，将其化为参数方程，令31cos22xt，即2cos3xt，1sin22xyt，即有11sincos26ytt，代入2221xyz（或0xyz中）得11sincos26ztt，从而L的参数方程为2cos3xt，11sincos26ytt，11sincos26ztt(02)t．则222[()][()][()]dsxtytztdt2222cossinsincossin()()32662tttttdtdt,所以2222200222coscos333Lxdstdttdt．xzoy42设一段曲线ln(0)yxaxb上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的平方，求其质量．解依题意曲线的线密度为2x，故所求质量为2LMxds，其中:ln(0)Lyxaxb．则L的参数方程为lnxxyx(0)axb，故22211111dydsdxdxxdxdxxx，所以3222211[(1)]3bbaaxMxdxxx3322221[(1)(1)]3ba．3求八分之一球面2221(0,0,0)xyzxyz的边界曲线的重心，设曲线的密度1。解设曲线在,,xOyyOzzOx坐标平面内的弧段分别为1L、2L、3L，曲线的重心坐标为,,xyz，则曲线的质量为1123233342LLLLMdsds．由对称性可得重心坐标12312311LLLLLLxyzxdsxdsxdsxdsMM131120LLLxdsxdsxdsMM10222431xdxMMx．故所求重心坐标为444,,333．习题9.21设L为xOy面内一直线yb（b为常数），证明5(,)0LQxydy。证明：设L是直线yb上从点1(,)ab到点2(,)ab的一段，其参数方程可视为()yyxb，（12axa），于是21(,)(,)00aLaQxydyQxbdx。2计算下列对坐标的曲线积分：（1）Lxydx，其中L为抛物线2yx上从点(1,1)A到点(1,1)B的一段弧。解将曲线L的方程2yx视为以y为参数的参数方程2xy，其中参数y从1变到1。因此11224114()25Lxydxyyydyydy。（2）Ldyyxdxyx2222)()(，其中L是曲线xy11从对应于0x时的点到2x时的点的一段弧；解1L的方程为yx(01)x，则有322)()(10222221dxxdyyxdxyxL．2L的方程为2yx(12)x，则dyyxdxyxL)()(222222221[(2)]xxdx2221[(2)](1)xxdx22122(2)3xdx．所以34)()(2222Ldyyxdxyx．y1o21L2Lx6（3）,LydxxdyL是从点(,0)Aa沿上半圆周222xya到点(,0)Ba的一段弧；解利用曲线的参数方程计算．L的参数方程为:cos,sinxaya，在起点(,0)Aa处参数值取，在终点(,0)Ba处参数值相应取0，故从到0．则0sin(cos)cos(sin)Lydxxdyadaada=02cos20ad．（4）22Lxydyxydx，其中L沿右半圆222xya以点(0,)Aa为起点，经过点(,0)Ca到终点(0,)Ba的路径；解利用曲线的参数方程计算．L的参数方程为:cos,sinxaya，在起点(0,)Aa处参数值取2，在终点(0,)Ba处参数值相应取2，则22Lxydyxydx2222cos(sin)(sin)(cos)sin(cos)aadaaada422222sincosad44a。（5）3223Lxdxzydyxydz，其中L为从点(3,2,1)A到点(0,0,0)B的直线段AB；解直线AB的方程为321xyz化成参数方程得3xt，2yt，zt，t从1变到0。所以yo(,0)Aa(,0)Bax73223Lxdxzydyxydz02221[(3)33(2)2(3)2]tttttdt03187874tdt。（6）()()()LIzydxxzdyxydz，L为椭圆周221,2,xyxyz且从z轴正方向看去，L取顺时针方向。解L的参数方程为cosxt，sinyt，2cossinztt，t从2变到0，()()()LIzydxxzdyxydz0222(3cossin2sin2cos)ttttdt2。3设z轴与重力的方向一致，求质量为m的质点从位置111(,,)xyz沿直线移到222(,,)xyz时重力所作的功。解因为力(0,0,)Fmg所以2121()zzWmgdzmgzz。习题9.31.利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积:(1)星形线33cos,sin,xatyat(02t)；）解12LAxdyydx32322014[cos3sincossin3cos(sin)]2atattatattdt2424222222006[cossinsincos]6cossinattttdtattdt238a。(2)圆222xyby，（0b）；8解设圆的参数方程为cos,sinxbtybbt,t从0变到2.那么12LAxdyydx201[coscos(sin)(sin)]2btbtbbtbtdt2201(1sin)2btdt2b。（3）双纽线222222()()xyaxy，（0b）。解把双纽线的参数方程代入到公式12LAxdyydx即可求得所要求的面积2a。2利用格林公式计算下列曲线积分:(1)()(3)Lyxdxxydy，其中L是圆9)4()1(22yx，方向是逆时针方向；解设闭曲线L所围成闭区域为D，这里Pyx，3Qxy，3Qx，1Py，由格林公式，得()(3)Lyxdxxydy(31)Ddxdy2Ddxdy18。(2)3(sin)Lydxyxdy，其中L是依次连接(1,0),A(2,1),B(1,0)C三点的折线段，方向是顺时针方向。解令(,)Pxyy，3(,)sinQxyyx，则112QPxy，且线段:0CAy，x由1变化到-1，故有3(sin)Lydxyxdy3(sin)ABCAydxyxdy3(sin)CAydxyxdy11(2)022DDdxdydxdxdy．其中D为ABCA所围成的闭区域．(3)(sin)(cos)xxLeymydxeymdy，其中m为常数，L为圆222xyax上从点(,0)Aa到点(0,0)O的一段有向弧；xyo(1,0)C(2,1)B(1,0)A9解如右图所示，设从点O到点A的有向直线段的方程为:0OAy，x从0变到2a。则OA与曲线L构成一闭曲线，设它所围成闭区域为D，令sinxPeymy，cosxQeym，cosxQeyx，cosxPeymy，由格林公式，得(sin)(cos)xxLOAeymydxeymdyDmdxdyDmdxdy212ma。而(sin)(cos)xxOAeymydxeymdy20[(sin00)(cos0)0]axxememdx0，故(sin)(cos)xxLeymydxeymdy(sin)(cos)xxLOAeymydxeymdy(sin)(cos)xxOAeymydxeymdy212ma0212ma。(4)22Lxdyydxxy，其中L为椭圆2241xy，取逆时针方向；解令(,)Pxy22yxy，22(,)xQxyxy，则当(,)(0,0)xy时，22222()PQyxyxxy，但积分曲线L所围区域包含点(0,0)，(,),(,)PxyQxy在该点不具有连续的偏导数，因此不能直接应用格林公式计算，需要将奇点(0,0)去掉，为此