高等数学函数的连续性

1.3、函数的连续性。1、掌握函数连续性的判断方法。2、零点定理的应用。2.1导数的概念3、掌握导数的概念、几何意义及其与连续性的关系。1、变量的增量设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域U(x0)内有定义称Dy=f(x0+Dx)-f(x0)函数y的增量。在邻域U(x0)内若自变量x从初值x0变到终值x1则称Dx=x1-x0为自变量x的增量DxDy1.3.1、函数连续性2、函数的连续性定义提示:0lim0=DDyx0)]()([lim00=-xfxfxx)()(lim00xfxfxx=设x=x0+Dx则当Dx0时xx0因此设函数y=f(x)在点x0及其邻域内有定义如果那么就称函数y=f(x)在点x0处连续0lim0=DDyx或)()(lim00xfxfxx=0lim0=DDyx或)()(lim00xfxfxx=Dy=f(x0+Dx)-f(x0)0lim0=DDyx0)]()([lim00=-xfxfxx)()(lim00xfxfxx=0lim0=DDyx0)]()([lim00=-xfxfxx)()(lim00xfxfxx=0fxx函数在点处连续的充分必要条件是：01fxx（）在点处有定义；02fxx（）在点处的极限存在；003fxxfxx（）在点处的极限值等于在点处的函数值000000li1m3xxfxxxxfxfxfxx--=如果函数在点的左邻域，内有定义，若极限，则称在定连续；点义左000limxxfxfxfxx+=同样，，则称在点右连续；0fxx函数在点处连续的充分必要条件是：000limlimxxxxfxfxfx-+==注意：左连续和右连续00sin0abxxfxxbxxxab+==设在点处连续，问，应满足什例么关系？解：00xfa==函数分段点为，并且有；0limx-abx+,a=0sinlimxbxx+b=00fxxx==已知在处连续，因此必然在处的左、右都连续，00limlim0xxfxfxfa-+===即，ab从而有=解题思路：根据函数连续的充要条件000limlimxxxxfxfxfx-+==0sinlimxbxbbx+=,fxab函数在区间内的每一点都连续,fxab函数在区间内连续，lim,xafxfa+=limxbfxfb-=，,ab函数在区间内连续：函数在区间内连续,fxab函数在区间内连续：sinyx=证明函数在其定义域内例是连续的。证明：00sinxyxxx=D设是定义域内任意一点，在点处有增量时，对应的函数增量为00sin()sinyxxxD=+D-02sincos().22xxxDD=+10cos()2xxD+因为0sin02xxDD当时，00xyDD当时，有，sinyx=所以函数在其定义域内是连续的。sinsin2cossin22xyxyxy+--=和差化积公式：1.3.2、函数的间断点如果函数f(x)在点x0有以下三种情况之一：01fxx、在点没有定义;02limxxfx、不存在；0003limlimxxxxfxfxfx、存在，但则称函数在点x0为不连续，x0称为函数的不连续点或间断点。sinxyx=例函数0x=在点处没有定义，因此函数在该点是不连续点，0sinlim1xxx=但，sin010xxyxx==并且如果定义时，0x=此时称点是函数的可去间断点。0x=函数在点处连续，可去间断点只要改变或补充间断点的函数值定义后，间断点可以变成连续点。10010xxfxxxx+==-讨论函数在点例处的连续性。解：0lim1xfx+=因为，0lim1xfx-=-，00xx=函数在时极限不存在，点为间断点。0x=函数左、右极限存在但不相等，我跳跃们称点为间断点。tan2yxx==函数在处没有定义，该点为例函数的间断点。2limtanxx=又，tan2xyx==此时我无们称是函数的穷间断点。1sin0000xfxxxx===讨论函数在点例的连续性。解：10sin11xx-时，在和之间震荡，001limlimsinxxfxx=不存在，0fxx=在点间断，我们称这类间断点为震荡间断点。xyxy1sin=01.3.3、初等函数的连续性一、一切基本初等函数在其定义域内都是连续的。二、设函数f(x)和g(x)在点x0连续则函数在点x0也连续f(x)g(x)f(x)g(x))()(xgxf(当0)(0xg时)三、设函数y=f[g(x)]由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成若函数u=g(x)在点x0连续函数y=f(u)在点u0=g(x0)连续则复合函数y=f[j(x)]在点x0也连续000limlimxxxxfgxfgxfgx==四、初等函数在其定义区间内是连续的。10limcos(1)xxx+例：求极限10limcos(1)xxx+解：10coslim(1)xxx=+cose=1sinyx=讨论函数的例连续性。总结：由于函数在其连续点x0满足00limxxfxfx=初等函数在其有定义的点处求极限求这一点的函数值。21arctanlim5xxx-例求2arctan1==851-例121(1)(2)lim(1)(1)xxxxxx-+-++2313(1)lim1xxxx-++-3131lim11xxx+=--2212lim(1)(1)xxxxxx--==-++212lim1xxxx+==++121)1)(1(1lim1+--xxxx=--11lim221xxx、例=+=11lim1xx（因式分解，去掉零因子）3113lim1xxx--例：32331323111lim111xxxxxxxxx-+++=-+++132311lim11xxxxxx-+=-++132312lim31xxxx+==++（有理化，去掉零因子）1111111(sin)(sin)lim(cos)(sin)xxxxxxxx+-++=-++0sinlim(1cos)(1sin1)xxxxxx=-++00xsin~xx2~)cos1(2xx-220lim(1sin1)2xxxxx=++02lim1sin1xxx=++01sin14lim1cosxxxx+--例、1=43，分子的最高次幂高于分母的最高次幂；x时，有理函数的极限33422411limlim031311xxxxxxxxxx++==-+-+34，分子的最高次幂低于分母的最高次幂；43334515limlim31131xxxxxxxxxx--=-+-+=33232311313limlim113131xxxxxxxxxx+-+-=++++=-33=，分子的最高次幂等于分母的最高次幂；一般地==++++++--mnmnbamnbxbxbaxaxammmnnnx0lim00110110==++++++--mnmnbamnbxbxbaxaxammmnnnx0lim0011011032216179lim1xxxPx例、例-++=例7=---521lim5xxx)21)(5()21)(21(lim5+--+---xxxxx)21)(5(5lim5+---=xxxx211lim5+-=xx41=（有理化，去掉零因子）222(2)(2)lim(2)xxxxxxxx++-++=++22lim(2)xxxx+=++=++=+)112(2lim2xx128lim(2)xxxx++-例、1.3.4、闭区间上连续函数的性质[定理8]（最值定理）闭区间[a,b]上的连续函数f(x)在该区间上至少取得它的最大值M和最小值m各一次。[推论6]闭区间[a,b]上的连续函数f(x)一定有界。[定理9]（介值定理）若y=f(x)在闭区间[ab]上连续且f(a)f(b)则对于f(a)与f(b)之间的任意一个常数C在开区间(ab)内至少有一点x使得f(x)=C(axb)定理的几何意义：连续曲线f(x)与水平直线y=c至少相交于一点。[推论]（零点定理）设函数f(x)在闭区间[ab]上连续且f(a)f(b)0则在开区间(ab)内至少一点x使f(x)=0abfafb应用：求一个方程在某区间内至少有一个实根。例9证明方程x3-4x2+1=0在区间(01)内至少有一个实根证明设f(x)=x3-4x2+1则f(x)在闭区间[01]上连续并且f(0)=10f(1)=-20根据推论,在(01)内至少有一点x使得f(x)=0即x3-4x2+1=0(0x1这说明方程x3-4x2+1=0在区间(01)内至少有一个根是x第二章一元函数微分学一、导数的概念二、导数的运算三、微分四、导数的应用本章简介导数与微分是微分学中的两个基本概念。其中导数是研究函数相对于自变量的变化的快慢程度，即函数的变化率；而微分则是指当自变量有微小变化时，函数改变量的近似值。本章重点导数与微分的概念；基本初等函数的求导公式；求导法则。本章难点导数与微分的概念；复合函数的求导法则。实例1.变速直线运动的瞬时速度问题0t如图,,0tt的时刻取一邻近于,tD运动时间svt=平均速度DD0000)()(tttftfttss--=--=,0时当tt取极限得tDt0000()()()limttftftVttt-=-瞬时速度2.1导数的概念设物体作直线运动所经过的路程为s=f(t)求t0时刻瞬时速度.2.1.2导数的定义[定义1]设函数f(x)在x0及其某个邻域内有定义,当自变量x在x0处取得增量Δx时,相应地函数y取得增量0000()()limlimxxfxxfxyxxDD+D-D=DD如果存在,则称函数y=f(x)在x0处可导,或称y=f(x)在x0处有导数。该极限值就是f(x)在点x0处的导数，记为0(),fx0,xxy=0xxdydx=或0.xxdfdx=00()()yfxxfxD=+D-0()fx000()()limxxfxfxxx-=-0xxxD=-令00000()()()limlimxxxfxfxyfxxxxD-D==D-00000()()()limlimxxfxxfxyfxxxDD+D-D==DDfxafa已知函数在点处的导数例：存在，0lim.hfahfahh+--试计算0limhfahfahh+--解：0limhfahfafafahh+-+--=2fa=00limlimhhfahfafafahhh+---=+很明显.)()(00xxxfxf==,().xIfx对于任一都对应着的一个确定的导数：导数值函xxfxxfyxD-D+=D)()(lim0即x().fx这个函数叫做原来函数的导函数x从而和它对应点的导数值之间构成了新的函数。(),(),.dydfxyfxdxdx记作或由导数定义可知：00()()()(),()();vtsttvtstvtst==变速直线运动的（瞬时）速度，是路程函数对时间的导数，由定义求导数步骤:);()()1(xfxxfy-D+=D求增量;)()()2(xxfxxfxyD-D+=DD算比值.lim)3(0xyyxDD=D求极限例1设，求2yx=2