高等数学导数的应用ppt

第三章导数的应用第二节函数的性质第三章导数的应用第一节微分中值定理第二节函数的性质第三节洛必达法则第三章导数的应用第二节函数的性质第二节函数的性质一.函数的单调性二.函数的极值本节主要内容:三.函数的最值四.曲线的凹凸性五.曲线的渐近线六.函数的分析作图法第三章导数的应用第二节函数的性质一、函数的单调性第三章导数的应用第二节函数的性质定理3.2.1（函数单调性的判定法）设y=f(x)在[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则（1)如果在(a,b)内f(x)0，那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增加；（2)如果在(a,b)内f(x)0，那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少．第三章导数的应用第二节函数的性质（1）求函数单调区间（2）证明不等式，通常是两项不等式利用导数性质来判断函数的性质，它包含两个典型的问题：单调性的应用第三章导数的应用第二节函数的性质例1讨论函数y=x3的单调性.y=x3的定义域为(-,+)；y=3x2，当x∈(-,0)和(0,+)时，y0由函数图像可知函数在(-,+)上是单调递增的当x=0时，y=0当f(x)在某区间内仅在个别点处的导数为0或不存在，而在其余各点处导数均为正（或负）时，f(x)在该区间仍是单增（或单减）的。解第三章导数的应用第二节函数的性质例2讨论函数f(x)=ex-x-1的单调性.函数的定义域为(-,+)；当x0时，y0,函数在(0,+)上单调增加当x0时，y0,函数在(-,0)上单调减少当x=0时，y=0；y=ex-1，x=0为单调区间的分界点解第三章导数的应用第二节函数的性质当f(x)在定义区间除去有限个点外导数均存在,那么只要用导数为零的点(驻点)和导数不存在的点来划分f(x)的定义域，就能保证在各个部分区间上单调。（单调区间的分界点为驻点和不可导点）当x0时，y0,函数在(0,+)上单调增加当x0时，y0,函数在(-,0)上单调减少当x=0时，y不存在.函数的定义域为(-,+)；1332233yxxx=0为单调区间的分界点解例3讨论函数的单调性.23fxx第三章导数的应用第二节函数的性质（1）确定f(x)的定义域；（2）求出函数在考察范围内的全部驻点和不可导点（除指定范围外，考察范围一般是指函数定义域）；（3）用这些驻点和不可导点将考察范围划分成若干个子区间；（4）确定f(x)在各部分区间的符号，据判定定理判定出f(x)的单调性求函数单调区间的步骤：第三章导数的应用第二节函数的性质例4求函数f(x)=x3-3x2-9x+1的单调区间.（2）f(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3)，无不可导点令f(x)=0，得x1=-1,x2=3．（3）它们将定义域划分为三个子区间：(-,-1),(-1,3),(3,+)；（1）函数的定义域为(-,+)；x()fx()fx(-,-1)-1(-1,3)3(3,+)+0-0+驻点驻点所以(-,-1]和[3,+)是单调增区间，[-1,3]是单调减区间．解第三章导数的应用第二节函数的性质令f(x)=0，得,x2=4/5．（3）将定义域分为三个区间(-,0),(0,4/5),(4/5,+)；（1）函数的定义域为(-,+)；x()fx()fx(-,0)0(0,4/5)4/5(4/5,+)+不存在-0+不可导点驻点所以(-,0]和[4/5,+)是单调增区间,[0,4/5]是单调减区间．例5求函数的单调区间.23()(2)fxxx（2）,不可导点为x1=0.354()3xfxx解第三章导数的应用第二节函数的性质例6证明：当x0时，ex1+x．f(x)=ex-1所以x∈[0,+),有f(x)f(0)=0，即ex-1-x0令f(x)=ex-1-x，则f(x)在[0,+)上连续、可导,且当x0时，y0,函数在[0,+)上单调增加所以当x0时，ex1+x利用单调性证明不等式证明第三章导数的应用第二节函数的性质又因为：f(0)=0，所以：当x0时，y0,函数在[0,+)上单调增加所以x∈[0,+),有f(x)f(0)，即不等式成立.例7证明：).0(1)1ln(122xxxxx22()1ln(1)1fxxxxx令则2'()ln(1)fxxx0)0(x证明第三章导数的应用第二节函数的性质oxyy=ƒ(x)Mm12ab设函数y=ƒ(x)在(a‚b)内图形如下图:在1处的函数值f(1)比它附近各点的函数值都要小;而在2处的函数值f(2)比它附近各点的函数值都要大;但它们又不是整个定义区间上的最小、最大值,为此,我们引入极值与极值点的概念.二、函数的极值第三章导数的应用第二节函数的性质定义3.2.1设函数f(x)在x0的某领域N(x0,)内有定义，，都有（1）f(x)f(x0)成立，则称f(x0)为函数f(x)的极大值；（2）f(x)f(x0)成立，则称f(x0)为函数f(x)的极小值．函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点．0(,)xNx注：1、极值是指函数值，而极值点是自变量的值；2、函数的极值概念具有局部性；在小范围内比较，该点的函数值较大或较小，而不是在整个定义域上最大或最小，所以函数的极大值不一定比极小值大；3、函数极值点必出现在区间内部，而不在区间的端点。第三章导数的应用第二节函数的性质xyoab1x2x3x4x5x)(xfyf(x)的极小值点:f(x)的极大值点:1x2x3x4x5x第三章导数的应用第二节函数的性质定理3.2.2（极值的必要条件）设函数f(x)在点x0处可导，且在点x0处取得极值，那么函数f(x)在点x0处的导数为零，即f(x0)=0．极值的必要条件第三章导数的应用第二节函数的性质1、可导函数的极值点必是它的驻点.从而有几何意义:可导函数的图形在极值点处的切线是与x轴平行的(罗尔定理).2、对可导函数来说,驻点不一定是极值点.即曲线上有水平切线的地方,函数不一定有极值.如3(),fxxox3yxy(0)0f2'()3fxx,则x=0为f(x)=x3的驻点.如图：x=0不是f(x)=x3的极值点.说明：第三章导数的应用第二节函数的性质3、对于函数y=|x|,我们已知x=0是函数的连续不可导点.但x=0是函数的极小值点.如图.oxy=|x|实际上,连续不可导点也可能是极值点.因而函数还可能在连续不可导点处取得极值.第三章导数的应用第二节函数的性质定理3.2.3（极值的第一充分条件）设函数f(x)在点x0某个空心邻域内可导（f(x0)可以不存在），x为该邻域内任意一点，（1）当xx0时f(x)0，当xx0时f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；（2）当xx0时f(x)0，当xx0时f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极小值；（3）当xx0与xx0时f(x)的符号相同，则f(x0)不是函数f(x)的极值．极值的充分条件第三章导数的应用第二节函数的性质xyoxyo0x0x(是极值点情形)xyoxyo0x0x(不是极值点情形)第三章导数的应用第二节函数的性质定理3.2.4（极值的第二充分条件）设函数f(x)在点x0处二阶可导，且f(x0)=0，f(x0)0，则（1）当f(x0)0时，函f(x)在点x0处取得极大值；（2）当f(x0)0时，函f(x)在点x0处取得极小值．注：1、第一充分条件适用于驻点和不可导点，而第二充分条件只能对驻点判定；2、当f(x0)=0时，无法判定f(x)在点x0处是否有极值第三章导数的应用第二节函数的性质（1）确定函数f(x)的考察范围，（除指定范围外，考察范围一般是指函数定义域）；（2）求出函数f(x)的导数f(x)；求出函数f(x)的所有驻点及不可导点，即求出f(x)=0的根和f(x)不存在的点；（3）列表，利用第一充分条件或第二充分条件，判定上述驻点或不可导点是否为函数的极值点，并求出相应的极值．求极值的方法：第三章导数的应用第二节函数的性质例8求函数的极值23()(2)(1)fxxx（3）列表（1）函数的定义域为(-,+)；x()fx()fx(-,-2)0(-2,-4/5)-4/5(1,+)+极大值0-0+所以f(x)在x=0处取得极大值为0，在x=-4/5处取得极小值为-8.4．（2）,无不可导点2()(2)(1)(54)fxxxx令f(x)=0，得12342,,15xxx0极小值-8.4(-4/5，1)+10无极值解第三章导数的应用第二节函数的性质例9求函数的极值32()26187fxxxx令f(x)=0，得（1）函数的定义域为(-,+)；所以f(x)在x=-1处取得极大值为17，在x=3处取得极小值为-47．（2）,无不可导点()6(3)(1)fxxx121,3xx（3）22()6(1)(51)fxxx因为(1)240f(3)240f解第三章导数的应用第二节函数的性质定义3.2.2设函数f(x)在区间I上有定义，x1,x2I，（1）若xI，都有f(x)f(x1)成立，则称f(x1)为函数f(x)的最大值，x1为函数f(x)的最大值点；（2）若xI，都有f(x)f(x2)成立，则称f(x2)为函数f(x)的最小值，x2为函数f(x)的最小值点．函数的最大值与最小值统称为函数的最值，使函数取得最值的点称为最值点．三、函数的最值第三章导数的应用第二节函数的性质oxyoxybaoxyabab第三章导数的应用第二节函数的性质1.最值是一个整体概念，在某一范围内，最值若存在，只能是唯一的；2.最值点可以是I内部的点，也可以是端点；3.如果最值点不是I的端点，那么它必定是极值点；极值点不一定是最值点4.当函数存在唯一的极值点时，函数的极大（小）值就是函数的最大（小）值.说明：第三章导数的应用第二节函数的性质（2）求出函数f(x)在内的所有可能极值点：驻点及不可导点，即求出f(x)=0的根和f(x)不存在的点；（3）计算函数f(x)在驻点、不可导点处及端点a，b处的函数值；（4）比较这些函数值，其中最大者的即为函数的最大值，最小者的即为函数的最小值．（1）确定函数f(x)的考察范围（除指定范围外，考察范围一般是指函数定义域）；求最值的方法（一）：第三章导数的应用第二节函数的性质例10求函数在区间[0,4]上的最值.32231225yxxx（3）计算得f(-1)=32,f(2)=5,又f(0)=25,f(4)=57（1）考察区间为[0,4]；所以f(x)在区间[0,4]上的最大值是f(4)=57,最小值是f(2)=5．（2）,无不可导点2()6612fxxx令f(x)=0，得121,2xx解第三章导数的应用第二节函数的性质（1）当f(x0)是极大值时，f(x0)就是区间I上的最大值；（2）当f(x0)是极小值时，f(x0)就是区间I上的最小值.设函数f(x)在区间I内可导，且只有唯一驻点x0，又x0是f(x)的极值点，则xyo0x（）I)(0xf)(xfyxyo0x（）I)(0xf)(xfy求最值的方法（二）：第三章导数的应用第二节函数的性质xR,有2()4(21)(1)fxxxx令f(x)=0有唯一驻点1,2x假设441()(1)8fxxx例11证明：xR,有441(1)8xx22()1212(1),fxxx1()60,2f又1()02f所以函数f(x)在x=1/2处取得极小值，即最小值441(1)8xx因而xR,有f(x)0即证明第三章导数的应用第二节函数的性质在实际问题中,往往根据问题的性质就可以断定可导函数f(x)