空间两条直线的位置关系

2.1.2空间中两直线的位置关系同一平面内的两条直线有几种位置关系？相交直线平行直线相交直线（有一个公共点）平行直线（无公共点）aboab两条笔直的路相交ABCD两路相交立交桥立交桥中,两条路线AB,CD既不平行，又不相交要用数学的眼光看世界在如图所示的正方体的棱所在的直线中，你能找出一对既不相交也不平行的吗？ABC1D1C1B1AD很显然，由初中学习的平面几何拓展到高中学习的立体几何，两条直线出现了第3种位置关系-------既不平行也不相交，你能画出它们的图像吗？直观图的画法lmlαab直观图的画法观图的画法lm分别在两个相交平面内画异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线abaabb画法：(利用平面作为衬托)异面直线两直线异面的判别二:两条直线不同在任何一个平面内.1.异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线（skewlines）。两直线异面的判别一:两条直线既不相交、又不平行.注11、相交2、平行ml只有一个公共点没有公共点在同一平面空间中两直线的三种位置关系3、异面mPl没有公共点不同在任一平面mlP按平面基本性质分共面相交直线平行直线不共面异面直线有一个公共点:按公共点个数分相交直线无公共点平行直线异面直线空间中直线与直线之间的位置关系发挥你的想象力:练习1：下列说法是否正确（1）,则与是异面直线（2）不同在平面内，则与是异面直线,,baabba,ab其中ba,表示直线，,表示平面。a与b是相交直线a与b是平行直线a与b是异面直线abM答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。abab,,baC1D1C1B1ADBAba,不同在平面内ab答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。D1C1B1A1DCBA异面的棱有：如图在正方体中，与练习1BD2CDCCCBBAADAA,,,,,111111判断下列各命题的正误：1．没有公共点的两条直线是异面直线．×ab判断下列各命题的正误：2．平面内一点与平面外一点的连线，和平面内的直线一定是异面直线．×abc判断下列各命题的正误：3．分别在两个平面内的两条直线是异面直线．×ab判断下列各命题的正误：4．在空间既不平行也不相交的直线是异面直线．√判断下列各命题的正误：5．和同一直线都是异面直线的两条直线是异面直线．×babc判断下列各命题的正误：×6．不在平面内的两条直线是异面直线．bab判断下列各命题的正误：7．不可能在同一平面内的两条直线是异面直线．√练习提升“a，b是异面直线”是指①a∩b=Φ,且a不平行于b；②a平面，b平面且a∩b=Φ③a平面，b平面④不存在平面，能使a且b成立1、上述结论中，正确的是（）（A）①②（B）①③（C）①④（D）③④2、长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有（）（A）2对（B）3对（C）6对（D）12对CC3、两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则直线a，b的位置关系是（）（A）一定是异面直线（B）一定是相交直线（C）可能是平行直线（D）可能是异面直线，也可能是相交直线4、一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是()（A）平行（B）相交（C）异面（D）相交或异面DD下图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在的直线是异面直线的有对．DBACEFHGAH)(BF)(CEDG3直线EF和直线HG直线AB和直线HG直线AB和直线CD3.异面直线所成的角在平面内,两条直线相交成四个角,其中不大于90度的角称为它们的夹角,用以刻画两直线的错开程度,如图.在空间,如图所示,正方体ABCD－EFGH中,异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻画呢?ABGFHEDCO(2)问题提出(1)复习回顾(3)解决问题异面直线所成角的定义:如图,已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b则把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).abb′a′O思想方法:平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题思考:这个角的大小与O点的位置有关吗?即O点位置不同时,这一角的大小是否改变?异面直线所成的角的范围(0,90]oo如果两条异面直线a,b所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直,记为a⊥ba″(4)理论支持abced㈠：我们知道,在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?观察:将一张纸如图进行折叠,则各折痕及边a,b,c,d,e,…之间有何关系？a∥b∥c∥d∥e∥…公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．———平行线的传递性推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行．㈡：在平面内,我们可以证明“如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”．空间中这一结论是否仍然成立呢？定理（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．观察:如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,∠ADC与∠A1D1C1,∠ADC与∠A1B1C1两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何?答:从图中可看出,∠ADC=∠A1D1C1,∠ADC+∠A1B1C1=180OD1C1B1A1CABD思考:这个角的大小与O点的位置有关吗?即O点位置不同时,这一角的大小是否改变?∵a′∥a,a″∥a∴a′∥a″(公理4),解答：如图设a′与b′相交所成的角为∠1,a″与b所成的角为∠2,同理b′∥b″,∴∠1=∠2(等角定理)b′a′O∠1aa″b∠2答:这个角的大小与O点的位置无关.在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等)aα三、异面直线所成角的定义：1.直线a、b是异面直线。经过空间任意一点O，分别引直线a1∥a，b1∥b。我们把直线a1和b1所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。ba1b1ObaαOθ为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上。o9002.异面直线a和b所成的角的范围：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。相交垂直（有垂足）垂直异面垂直（无垂足）OααO因此，异面直线所成角的范围是（0，]3、特例：2下图长方体中平行相交异面点击旋转长方体②BD和FH是直线①EC和BH是直线③BH和DC是直线BACDEFHG(2).与棱AB所在直线异面的棱共有条?4分别是：CG、HD、GF、HE(1)说出以下各对线段的位置关系?例1例2.如图，在正方体中，（1）哪些棱所在的直线与直线BA1成异面直线？（2）求直线BA1和CC1所成的角的大小。ABCDA1B1C1D1解：（1）与直线BA1成异面直线有AD、CD、B1C1、C1D1、C1C、D1D（2）∵B1B∥C1C∴∠A1B1B是异面直线BA1和CC1所成的角易求得所成的角为45例2如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．BCADEFHG所以BDEH//，且BDEH21证明：连接BD，因为EH是的中位线，ABD同理BDFG//，且BDFG21因为FGEH//，且FGEH所以四边形EFGH是平行四边形．ABGFHEDC例3.如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求(1)BE与CG所成的角？(2)FO与BD所成的角？解:(1)如图:∵BF∥CG，∴∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又BEF中∠EBF=45，所以BE与CG所成的角是45ooO连接HA、AF，依题意知O为AH中点,∴∠HFO=30o(2)连接FH，所以FO与BD所成的夹角是30o∴四边形BFHD为平行四边形，∴HF∥BD∴∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角∵HDEA，EAFB∴HDFB∥=∥=∥=则AH=HF=FA∴△AFH为等边△求异面直线所成的角的步骤是:一作(找)：作（或找）平行线二证：证明所作的角为所求的异面直线所成的角。三求：在一恰当的三角形中求出角如图,已知长方体ABCD-EFGH中,AB=,AD=,AE=2(1)求BC和EG所成的角是多少度?(2)求AE和BG所成的角是多少度?3232解答：(1)∵GF∥BC∴∠EGF（或其补角）为所求.Rt△EFG中，求得∠EGF=45o(2)∵BF∥AE∴∠FBG（或其补角）为所求,Rt△BFG中，求得∠FBG=60o课堂练习1ABGFHEDC32322如图，正方体中，求1.A1B1与C1C所成的角2.AD与B1B所成的角3.A1D与BC1所成的角4.D1C与A1A所成的角5.A1D与AC所成的角ABCDA1B1C1D11.90;2.90;3.90;4.45;5.60课堂练习21.空间两直线的位置关系：（1）从公共点的数目来看可分为：①有且只有一个公共点则两直线相交两平行直线②没有公共点则两直线为异面直线（2）从平面的性质来讲，可分为：两直线相交①在同一平面内两直线平行②不在同一平面内则两直线为异面直线。定义：不同在任何一个平面内的两条直线为异面直线小结：