(江苏)高考数学 压轴大题突破练 三角函数

-1-中档大题规范练中档大题规范练——三角函数1．已知函数f(x)＝sinx－cosxsin2xsinx.(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间．解(1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．因为f(x)＝sinx－cosxsin2xsinx＝2cosx(sinx－cosx)＝sin2x－2cos2x＝sin2x－(1＋cos2x)＝2sin2x－π4－1，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)函数y＝sinx的单调递增区间为2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)．由2kπ－π2≤2x－π4≤2kπ＋π2，x≠kπ(k∈Z)，得kπ－π8≤x≤kπ＋3π8，x≠kπ(k∈Z)．所以f(x)的单调递增区间为kπ－π8，kπ和kπ，kπ＋3π8(k∈Z)．2．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，角B所对的边b＝3，且函数f(x)＝23sin2x＋2sinxcosx－3在x＝A处取得最大值．(1)求f(x)的值域及周期；(2)求△ABC的面积．解(1)因为A，B，C成等差数列，所以2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，所以B＝π3，即A＋C＝2π3.因为f(x)＝23sin2x＋2sinxcosx－3＝3(2sin2x－1)＋sin2x＝sin2x－3cos2x＝2sin2x－π3，所以T＝2π2＝π.-2-又因为sin2x－π3∈[－1,1]，所以f(x)的值域为[－2,2]．(2)因为f(x)在x＝A处取得最大值，所以sin2A－π3＝1.因为0A23π，所以－π32A－π3π，故当2A－π3＝π2时，f(x)取到最大值，所以A＝512π，所以C＝π4.由正弦定理，知3sinπ3＝csinπ4⇒c＝2.又因为sinA＝sinπ4＋π6＝2＋64，所以S△ABC＝12bcsinA＝3＋34.3．已知函数f(x)＝3sin2x＋2cos2x＋a.(1)求函数f(x)的最小正周期以及单调递增区间；(2)当x∈[0，π4]时，函数f(x)有最大值4，求实数a的值．解f(x)＝3sin2x＋2cos2x＋a＝cos2x＋3sin2x＋1＋a＝2sin(2x＋π6)＋a＋1.(1)函数f(x)的最小正周期为2π2＝π，由2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z，解得kπ－π3≤x≤kπ＋π6，k∈Z.故函数f(x)的单调递增区间为[kπ－π3，kπ＋π6](k∈Z)．(2)∵x∈[0，π4]，∴2x＋π6∈[π6，2π3]，从而sin(2x＋π6)∈[12，1]．∴f(x)＝2sin(2x＋π6)＋a＋1∈[a＋2，a＋3]，∵f(x)有最大值4，∴a＋3＝4，故a＝1.4．设向量a＝(3sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈[0，π2]．-3-(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．解(1)由|a|2＝(3sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，|b|2＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，由|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x∈[0，π2]，从而sinx＝12，所以x＝π6.(2)f(x)＝a·b＝3sinx·cosx＋sin2x＝32sin2x－12cos2x＋12＝sin(2x－π6)＋12.当x＝π3∈[0，π2]时，sin(2x－π6)取最大值1，所以f(x)的最大值为32.5．已知函数f(x)＝4cosωx·sin(ωx－π6)＋1(ω0)的最小正周期是π.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)求f(x)在[π8，3π8]上的最大值和最小值．解(1)f(x)＝4cosωx·sin(ωx－π6)＋1＝23sinωxcosωx－2cos2ωx＋1＝3sin2ωx－cos2ωx＝2sin(2ωx－π6)．最小正周期是2π2ω＝π，所以ω＝1，从而f(x)＝2sin(2x－π6)．令－π2＋2kπ≤2x－π6≤π2＋2kπ，k∈Z.解得－π6＋kπ≤x≤π3＋kπ，k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为[－π6＋kπ，π3＋kπ](k∈Z)．(2)当x∈[π8，3π8]时，2x－π6∈[π12，7π12]，f(x)＝2sin(2x－π6)∈[6－22，2]，所以f(x)在[π8，3π8]上的最大值和最小值分别为2，6－22.-4-6.在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15°，如图所示，向山顶前进100m后，又从B点测得斜度为45°，设建筑物的高为50m．求此山对于地平面的斜度θ的余弦值．解在△ABC中，∠BAC＝15°，∠CBA＝180°－45°＝135°，AB＝100m，所以∠ACB＝30°.由正弦定理，得100sin30°＝BCsin15°，即BC＝100sin15°sin30°.在△BCD中，因为CD＝50，BC＝100sin15°sin30°，∠CBD＝45°，∠CDB＝90°＋θ，由正弦定理，得50sin45°＝100sin15°sin30°sin90°＋θ，解得cosθ＝3－1.因此，山对地面的斜度的余弦值为3－1.-5-中档大题规范练——数列1．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a2a4＝64，a1＋a5＝18.(1)若1i21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，求i的值．(2)设bn＝n2n＋1Sn，是否存在一个最小的常数m使得b1＋b2＋…＋bnm对于任意的正整数n均成立，若存在，求出常数m；若不存在，请说明理由．解(1)数列{an}为等差数列，因为a1＋a5＝a2＋a4＝18，又a2a4＝65，所以a2，a4是方程x2－18x＋65＝0的两个根，又公差d0，所以a2a4，所以a2＝5，a4＝13.所以a1＋d＝5，a1＋3d＝13，①所以a1＝1，d＝4.所以an＝4n－3.由1i21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，所以a1a21＝a2i，即1×81＝(4i－3)2，解得i＝3.(2)由(1)知，Sn＝n×1＋nn－12×4＝2n2－n，所以bn＝12n－12n＋1＝12(12n－1－12n＋1)，②所以b1＋b2＋…＋bn＝12(1－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1)＝n2n＋1，因为n2n＋1＝12－122n＋112，③所以存在m＝12使b1＋b2＋…＋bnm对于任意的正整数n均成立．2．设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0,2an－a1＝S1·Sn，n∈N*.(1)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；(2)求数列{nan}的前n项和．解(1)令n＝1，得2a1－a1＝a21，即a1＝a21.因为a1≠0，所以a1＝1.令n＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2，解得a2＝2.当n≥2时，由2an－1＝Sn,2an－1－1＝Sn－1，两式相减得2an－2an－1＝an，即an＝2an－1.于是数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．因此，an＝2n－1.所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1.(2)由(1)知，nan＝n·2n－1.记数列{n·2n－1}的前n项和为Bn，于是Bn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，①2Bn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.②-6-①－②，得－Bn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n.从而Bn＝1＋(n－1)·2n.即数列{nan}的前n项和为1＋(n－1)·2n.3．设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1＝1，设数列{bn}满足bn＝an＋2n.(1)求证数列{bn}为等比数列，并求出数列{an}的通项公式；(2)若数列cn＝6n－3bn，Tn是数列{cn}的前n项和，证明：Tn3.(1)解当n≥2时，由2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，2Sn－1＝an－2n＋1⇒2an＝an＋1－an－2n⇒an＋1＝3an＋2n，从而bn＋1＝an＋1＋2n＋1＝3(an＋2n)＝3bn，故{bn}是以3为首项，3为公比的等比数列，bn＝an＋2n＝3×3n－1＝3n，an＝3n－2n(n≥2)，因为a1＝1也满足，于是an＝3n－2n.(2)证明cn＝6n－3bn＝2n－13n－1，则Tn＝130＋331＋532＋…＋2n－33n－2＋2n－13n－1，①13Tn＝131＋332＋533＋…＋2n－33n－1＋2n－13n，②①－②，得23Tn＝130＋231＋232＋…＋23n－1－2n－13n＝1＋23·1－13n－11－13－2n－13n＝2－13n－1－2n－13n＝2－2n＋13n，故Tn＝3－n＋13n－13.4．已知单调递增数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝12(a2n＋n)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设cn＝1a2n＋1－1，n为奇数，3×2an－1＋1，n为偶数，求数列{cn}的前n项和Tn.-7-解(1)n＝1时，a1＝12(a21＋1)，得a1＝1，由Sn＝12(a2n＋n)，①则当n≥2时，Sn－1＝12(a2n－1＋n－1)，②①－②得an＝Sn－Sn－1＝12(a2n－a2n－1＋1)，化简得(an－1)2－a2n－1＝0，an－an－1＝1或an＋an－1＝1(n≥2)，又{an}是单调递增数列，故an－an－1＝1，所以{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n.(2)cn＝1a2n＋1－1，n为奇数，3×2an－1＋1，n为偶数，当n为偶数时，Tn＝(c1＋c3＋…＋cn－1)＋(c2＋c4＋…＋cn)＝(122－1＋142－1＋…＋1n2－1)＋3×(21＋23＋…＋2n－1)＋n2＝11×3＋13×5＋…＋1n－1×n＋1＋3×21－4n21－4＋n2＝12×(11－13＋13－15＋…＋1n－1－1n＋1)＋2×(4n2－1)＋n2＝2n＋1＋n2－2n－42n＋1.当n为奇数时，Tn＝(c1＋c3＋…＋cn)＋(c2＋c4＋…＋cn－1)＝[122－1＋142－1＋…＋1n＋12－1]＋3×(21＋23＋…＋2n－2)＋n－12＝12×(11－13＋13－15＋…＋1n－1n＋2)＋2×(4n－12－1)＋n－12＝2n＋n2－2n－92n＋2.所以Tn＝2n＋n2－2n－92n＋2n为奇数，2n＋1＋n2－2n－42n＋1n为偶数.5．已知函数f(x)＝2x＋33x，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f(1an)，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；-8-(2)令bn＝1an－1an(n≥2)，b1＝3，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，若Snm－20142对一切n∈N*恒成立，求最小正整数m.解(1)∵an＋1＝f(1an)＝2an＋33an＝2＋3an3＝an＋23，∴{an}是以1为首项，23为公差的等差数列．∴an＝1＋(n－1)×23＝23n＋13.(2)当n≥2时，bn＝1an－1an＝123n－1323n＋13＝12n－12n＋19＝92(12n－1－12n＋1)，又b1＝3＝92(1－13)，∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝92(1－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1)＝92(1－12n＋1)＝9n2n＋1，∵Snm－20142对一切n∈N*恒成立，即9n2n＋1m－20142对一切n∈N*恒成立，又9n2n＋192，∴m－20142≥92，即m≥2023.∴最小正整数m为2023.6．某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第一年的维护费用是4万元，从第二年到第七年，每年的维护费用均比上年增加2万元，从第八年开始，每年的维护费用比上