区间估计

区间估计区间估计区间估计的概念,LU定义设是总体的一个参数，其参数空间为Θ，x1,x2,…,xn是来自该总体的样本，对给定的一个(01)，若有两个统计量和，若对任意的∈Θ，有则称为的置信度为1-的置信区间，分别称为置信下限和置信上限1(,,)LLnxx1(,,)UUnxxˆˆ()1,LUPLUL例设x1,x2,…,x10是来自N(,2)的样本，则的置信水平为1-的置信区间为其中，,s分别为样本均值和样本标准差。这里用它来说明置信区间的含义。若取=0.10，则t0..95(9)=1.8331，上式化为1212(9)10,(9)10xtsxts0.5797,0.5797xsxsx现假定=15,2=4，则我们可以用随机模拟方法由N(15,4)产生一个容量为10的样本，如下即是这样一个样本：14.8513.0113.5014.9316.9713.8017.953313.3716.2912.38由该样本可以算得从而得到的一个区间估计为该区间包含的真值--15。现重复这样的方法100次，可以得到100个样本，也就得到100个区间，我们将这100个区间画在图6.5.1上。14.7053,1.8438xs[14.70530.57971.8438,14.70530.57971.8438][13.6427,15.7679]由图6.5.1可以看出，这100个区间中有91个包含参数真值15，另外9个不包含参数真值。图6.5.1的置信水平为0.90的置信区间取=0.50，我们也可以给出100个这样的区间，见图6.5.2。可以看出，这100个区间中有50个包含参数真值15，另外50个不包含参数真值。图6.5.2的置信水平为0.50的置信区间定义沿用定义1的记号，如对给定的(01)，对任意的∈Θ，有称为的1-同等置信区间。同等置信区间是把给定的置信水平1-用足了。常在总体为连续分布场合下可以实现。()1LUP,LU定义若对给定的(01)和任意的∈Θ，有，则称为的置信水平为1-的（单侧）置信下限。假如等号对一切∈Θ成立，则称为的1-同等置信下限。若对给定的(01)和任意的∈Θ，有,则称为的置信水平为1-的（单侧）置信上限。若等号对一切∈Θ成立，则称为1-同等置信上限。单侧置信限是置信区间的特殊情形。因此，寻求置信区间的方法可以用来寻找单侧置信限。LLUU()1LP()1UP枢轴量法构造未知参数的置信区间的最常用的方法是枢轴量法，其步骤可以概括为如下三步：1.设法构造一个样本和的函数G=G(x1,x2,…,xn,)使得G的分布不依赖于未知参数。一般称具有这种性质的G为枢轴量。2.适当地选择两个常数c,d，使对给定的(01)有P(c≤G≤d)=1-3.假如能将c≤G≤d进行不等式等价变形化为则[，]是的1-同等置信区间。LULU关于置信区间的构造有两点说明：满足置信度要求的c与d通常不唯一。若有可能，应选平均长度达到最短的c与d，这在G的分布为对称分布场合通常容易实现。实际中，选平均长度尽可能短的c与d，这往往很难实现，因此，常这样选择c与d，使得两个尾部概率各为/2，即P(Gc)=P(Gd)=/2，这样的置信区间称为等尾置信区间。这是在G的分布为偏态分布场合常采用的方法。ˆˆULEˆˆULE例设x1,x2,…,xn是来自均匀总体U(0,)的一个样本，试对给定的(01)给出的1-同等置信区间。解:（1）取x(n)作为枢轴量，其密度函数为p(y;)=nyn，0y1；（2）x(n)/的分布函数为F(y)=yn,0y1，故P(c≤x(n)/≤d)=dn-cn，因此我们可以适当地选择c和d满足dn-cn=1-（3）利用不等式变形可容易地给出的1-同等置信区间为[x(n)/d，x(n)/c]，该区间的平均长度为。不难看出，在0≤cd≤1及dn-cn=1-的条件下，当d=1,c=时，取得最小值，这说明是的置信水平1-为最短置信区间。()11nExcdn11cd()(),nnnxx单个正态总体参数的置信区间一、已知时的置信区间在这种情况下，枢轴量可选为，c和d应满足P(c≤G≤d)=(d)-(c)=1-，经过不等式变形可得该区间长度为。当d=-c=u1-/2时，d-c达到最小，由此给出了的同等置信区间为[，]。（6.5.8）这是一个以为中心，半径为的对称区间，常将之表示为。~(0,1)xGNn1Pxdnxcn()/dcn12xun12xunx12un12xun例用天平秤某物体的重量9次，得平均值为（克），已知天平秤量结果为正态分布，其标准差为0.1克。试求该物体重量的0.95置信区间。解：此处1-=0.95，=0.05，查表知u0.975=1.96，于是该物体重量的0.95置信区间为，从而该物体重量的0.95置信区间为[15.3347，15.4653]。15.4x1215.41.960.1915.40.0653xun例设总体为正态分布N(,1)，为得到的置信水平为0.95的置信区间长度不超过1.2，样本容量应为多大？解：由题设条件知的0.95置信区间为其区间长度为，它仅依赖于样本容量n而与样本具体取值无关。现要求，立即有n(2/1.2)2u21-/2.现1-=0.95，故u1-/2=1.96，从而n(5/3)21.962=10.6711。即样本容量至少为11时才能使得的置信水平为0.95的置信区间长度不超过1.2。122un1221.2un1212/,/xunxun二、2未知时的置信区间这时可用t统计量，因为，因此t可以用来作为枢轴量。完全类似于上一小节，可得到的1-置信区间为此处是2的无偏估计。()~(1)nxttns1212(1),(1)xtnsnxtnsn221()1isxxn例假设轮胎的寿命服从正态分布。为估计某种轮胎的平均寿命，现随机地抽12只轮胎试用，测得它们的寿命（单位：万公里）如下：4.684.854.324.854.615.025.204.604.584.724.384.70此处正态总体标准差未知，可使用t分布求均值的置信区间。经计算有=4.7092，s2=0.0615。取=0.05，查表知t0.975(11)=2.2010，于是平均寿命的0.95置信区间为（单位：万公里）x4.70922.20100.0615/12[4.5516,4.8668]在实际问题中，由于轮胎的寿命越长越好，因此可以只求平均寿命的置信下限，也即构造单边的置信下限。由于由不等式变形可知的1-置信下限为将t0.95(11)=1.7959代入计算可得平均寿命的0.95置信下限为4.5806（万公里）。()((1))1nxPtns1(1)xtnsn三、2的置信区间取枢轴量，由于2分布是偏态分布，寻找平均长度最短区间很难实现，一般都用等尾置信区间：采用2的两个分位数2/2(n-1)和21-/2(n-1)，在2分布两侧各截面积为/2的部分，使得由此给出2的1-置信区间为222(1)~1nsGn222/21/2211nsP2222121211,11nsnnsn例某厂生产的零件重量服从正态分布N(,2)，现从该厂生产的零件中抽取9个，测得其重量为（单位：克）45.345.445.145.345.545.745.445.345.6试求总体标准差的0.95置信区间。解：由数据可算得s2=0.0325，(n-1)s2=80325=0.26.查表知20.025(8)=2.1797，20.975(8)=17.5345，代入可得2的0.95置信区间为从而的0.95置信区间为:[0.1218，0.3454]。0.260.26,0.0148,0.119317.53452.1797在样本容量充分大时，可以用渐近分布来构造近似的置信区间。一个典型的例子是关于比例p的置信区间。6大样本置信区间设x1,…,xn是来自b(1,p)的样本,有对给定，，通过变形，可得到置信区间为其中记=u21-/2，实用中通常略去/n项，于是可将置信区间近似为~(0,1)(1)/xpuNppn121(1)xpPuppn22221(1)1(1),242411xxxxxxnnnnnnnn22(1)(1),xxxxxuxunn例6.对某事件A作120次观察，A发生36次。试给出事件A发生概率p的0.95置信区间。解：此处n=120，=36/120=0.3而u0.975=1.96，于是p的0.95（双侧）置信下限和上限分别为故所求的置信区间为[0.218，0.382]x0.30.7ˆ0.31.960.218120Lp0.30.7ˆ0.31.960.382120Up例6.某传媒公司欲调查电视台某综艺节目收视率p，为使得p的1-置信区间长度不超过d0，问应调查多少用户？解：这是关于二点分布比例p的置信区间问题，由（6.5.11）知，1-的置信区间长度为这是一个随机变量，但由于，所以对任意的观测值有。这也就是说p的1-的置信区间长度不会超过。现要求p的的置信区间长度不超过d0，只需要即可，从而（6.5.12）1221uxxn0,1x2(1)0.50.25xx12un120und2120und这是一类常见的寻求样本量的问题。比如，若取d0=0.04，=0.05，则。这表明，要使综艺节目收视率p的0.95置信区间的长度不超过0.04，则需要对2401个用户作调查。220.9751.9624010.040.04un两个正态总体下的置信区间设x1,…,xm是来自N(1,12)的样本，y1,…,yn是来自N(2,22)的样本，且两个样本相互独立。与分别是它们的样本均值，和分别是它们的样本方差。下面讨论两个均值差和两个方差比的置信区间。xy22111mxiisxxm22111nyiisyyn一、1-2的置信区间1、12和22已知时的两样本u区间2、12=22=2未知时的两样本t区间222212121212,xyuxyumnmn12122,2wwmnmnxystmnxystmnmnmn3、22/12=已知时的两样本t区间12122,2ttmnmnxystmnxystmnmnmn4、当m和n都很大时的近似置信区间5、一般情况下的近似置信区间其中22221212,yyxxssssxyuxyumnmn012012,xystlxystl2220//,xyssmsn40442211yxslssmmnn例为比较两个小麦品种的产量，选择18块条件相似的试验田，采用相同的耕作方法作试验，结果播种甲品种