七年级因式分解

【因式分解】讲义知识点1：分解因式的定义1、分解因式：把一个多项式化成几个_整式的乘的积，这种变形叫做分解因式，它与整式的乘法互为逆运算。例如：判断下列从左边到右边的变形是否为分解因式：①8)3)(3(892xxxx（）②)49)(49(4922yxyxyx（）③9)3)(3(2xxx（）④)2(222yxxyxyxyyx（）知识点2：公因式公因式：定义：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。公因式的确定：（1）符号:若第一项是负号则先把负号提出来（提出负号后括号里每一项都要变号）（2）系数：取系数的最大公约数；（3）字母：取字母（或多项式）的指数最低的；（4）所有这些因式的乘积即为公因式；例如：1、的公因式是多项式963ab-abyabx_________2、多项式3223281624abcababc分解因式时，应提取的公因式是3、342)()()(nmmnynmx的公因式是__________知识点3：用提公因式法分解因式提公因式法分解因式：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式的乘积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。例如：1、可以直接提公因式的类型：（1）3442231269bababa=_______________（2）11nnnaaa=____________（3）542)()()(babaybax=_____________（4）不解方程组23532xyxy，求代数式()()()22332xyxyxxy的值2、式子的第一项为负号的类型：（1）①33222864yxyxyx=_____________②243)(12)(8)(4nmnmnm=（2）若被分解的因式只有两项且第一项为负，则直接交换他们的位置再分解（特别是用到平方差公式时）如：22188yx=1、多项式:abyabxab24186的一个因式是ab6,那么另一个因式是2、分解因式－5(y－x)3－10y(y－x)33、公因式只相差符号的类型：公因式相差符号的，要先确定取哪个因式为公因式，然后把另外的只相差符号的因式的负号提出来，使其统一于之前确定的那个公因式。（若同时含奇数次和偶数次则一般直接调换偶数次里面的字母的位置，如：）（）（）（）（1-x-yx-yx-y-x-y)(-)(55656xyyx例：(1)（b－a）2+a（a－b）+b（b－a）（2）（a+b－c）（a－b+c）+（b－a+c）·（b－a－c）（3）aababaabba()()()322221、把多项式m2(a-2)+m(2-a)分解因式等于2、多项式)3()3(3yxyx的分解因式结果3、分解因式：（1）)(()()(yxxynyxm)（2）－6(x－y)4－3y(y－x)5知识点4、公式法分解因式公式法分解因式：如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。一、平方差公式分解因式法平方差公式：两个数的平方差，等于这两个的和与这两个数的差的积。即a2-b2=(a+b)(a-b)特点：a.是一个二项式，每项都可以化成整式的平方.b.两项的符号相反.例如：1、判断能否用平方差公式的类型（1）下列多项式中不能用平方差公式分解的是（）A、-a2+b2B、-x2-y2C、49x2y2-z2D、16m4-25n2p2（2）下列各式中，能用平方差分解因式的是（）A．22yxB．22yxC．22xyxD．21y2、直接用平方差的类型：22916yx1252x14x3、整体的类型：22)(nnm22)32()(yxyx4、提公因式法和平方差公式结合运用的类型m3—4m=．aa3．练习：将下列各式分解因式100x2－81y29(a－22241xxb)2－(x－y)2；5aaxx93)()(3nmnm3)2(4)2(yxyx二、完全平方式分解因式法完全平方公式：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。即a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2特点：（1）多项式是三项式；（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍.1、判断一个多项式是否可用完全平方公式进行因式分解如：下列多项式能分解因式的是（）A．yx2B．22yxC．yyx22D．962xx2、关于求式子中的未知数的问题如：1、若多项式162kxx是完全平方式，则k的值为2．若kxx692是关于x的完全平方式，则k=3.若49)3(22xmx是关于x的完全平方式则m=__________3、直接用完全平方公式分解因式的类型2816xx；224129xxyy；224xxyy；224493mmnn4、整体用完全平方式的类型(x－2)2＋12(x－2)＋36；2)()(69baba5、用提公因式法和完全平方公式分解因式的类型-4x3+16x2-16x；21ax2y2+2axy+2a已知：2,1yxab，求xyababyabx63322的值练习：分解因式（1）442xx（2）641622axxa（3）4224168bbaa（4）49)(14)(2yxyx（5）2)()(69baba（6）（7）21222xx知识点5、十字相乘法分解因式十字相乘法分解因式：逆用整式的乘法公式：（x+a）（x+b）=abxbax)(2，用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做十字相乘法。1、二次项系数为1的二次三项式直接利用公式—))(()(2bxaxabxbax进行分解。特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。例题讲解1、分解因式：652xx分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=512解：652xx=32)32(2xx13=)3)(2(xx1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例题讲解2、分解因式：672xx解：原式=)6)(1()]6()1[(2xx1-1=)6)(1(xx1-6（-1）+（-6）=-7练习分解因式(1)24142xx(2)36152aa(3)542xx(4)22xx(5)1522yy(6)24102xx2、二次项系数不为1的二次三项式——cbxax2条件：（1）21aaa1a1c22312123xyyxx（2）21ccc2a2c（3）1221cacab1221cacab分解结果：cbxax2=))((2211cxacxa例题讲解1、分解因式：101132xx分析：1-23-5（-6）+（-5）=-11解：101132xx=)53)(2(xx分解因式：（1）6752xx（2）2732xx（3）317102xx（4）101162yy3、二次项系数为1的齐次多项式例题讲解、分解因式：221288baba分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。18b1-16b8b+(-16b)=-8b解：221288baba=)16(8)]16(8[2bbabba=)16)(8(baba分解因式(1)2223yxyx(2)2286nmnm(3)226baba4、二次项系数不为1的齐次多项式例题讲解22672yxyx2322xyyx1-2y把xy看作一个整体1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3解：原式=)32)(2(yxyx解：原式=)2)(1(xyxy分解因式：（1）224715yxyx（2）8622axxa如:分解因式：1072xx3522xxa2+6ab+5b2x2+5x+6x2-5x+6x2-5x-6练习题：x2+7x+12x2-8x+12x2-x-12x2+4x-12y2+23y+22x2-8x-20x2+9xy-36y2x2+5x-6知识点6、分组的方法分解因式如：练习题：mmm205443144224xyx（1）222449cbcba（2）124323xxx（3）22962yyxx（4）44922yyx（5）4222yxyxy小结：因式分解的常规方法和方法运用的程序，可用“一提二公三叉四分”这句话来概括。“一提”是指首先考虑提取公因式；“二公”即然后考虑运用公式（两项用平方差公式或立方和、立方差公式，三项的用完全和平方、差平方公式）；“三叉”就是二次三项式能否进行十字相乘法；“四分”是四项以上考虑分组分解法。