灰色系统理论与建模(12.8.24)

灰色系统理论与建模一、灰色系统理论基础1982年，北荷兰出版公司出版的《系统与控制通讯》杂志刊载了我国学者邓聚龙教授的第一篇灰色系统理论论文”灰色系统的控制问题”，同年，《华中工学院学报》发表邓聚龙教授的第一篇中文论文《灰色控制系统》，这两篇论文的发表标志着灰色系统这一学科诞生。1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究发展迅速。1989年海洋出版社出版英文版《灰色系统论文集》，同年，英文版国际刊物《灰色系统》杂志正式创刊。目前，国际、国内300多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著3000多次。灰色系统理论已应用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。灰色系统理论基础二、几种不确定方法的比较概率统计，模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定系统研究方法。其研究对象都具有某种不确定性，是它们共同的特点。也正是研究对象在不确定性上的区别，才派生了这三种各具特色的不确定学科。模糊数学着重研究“认识不确定”问题，其研究对象具有“内涵明确，外延不明确”的特点。比如“年轻人”内涵明确，但要你划定一个确定的范围，在这个范围内是年轻人，范围外不是年轻人，则很难办到了。几种不确定方法的比较概率统计研究的是“随机不确定”现象，考察具有多种可能发生的结果之“随机不确定”现象中每一种结果发生的可能性大小。要求大样本，并服从某种典型分布。灰色系统理论着重研究概率统计，模糊数学难以解决的“小样本，贫信息”不确定性问题，着重研究“外延明确，内涵不明确”的对象。如到2050年，中国要将总人口控制在15亿到16亿之间，这“15亿到16亿之间“是一个灰概念，其外延很清楚，但要知道具体数值，则不清楚。邓聚龙教授创立的灰色系统理论，是一种研究少数据、贫信息不确定问题的新方法。灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定系统为研究对象，主要通过对部分已知信息的生成、开发，提取有价值的信息、实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控。灰色系统模型对实验观测数据没有什么特别的要求和限制，因此应用领域十分宽广。灰色关联分析一般的抽象系统，如社会系统，经济系统，农业系统，生态系统等都包含有许多种因素，多种因素共同作用的结果决定了该系统的发展态势。我们常常希望知道众多的因素中，哪些是主要因素，哪些是次要因素，哪些因素对系统发展影响大，哪些因素对系统发展影响小，哪些因素对系统发展起推动作用需加强，哪些因素对系统发展起阻碍作用需抑制……灰色关联分析一般的抽象系统，如社会系统，经济系统，农业系统，生态系统等都包含有许多种因素，多种因素共同作用的结果决定了该系统的发展态势。我们常常希望知道众多的因素中，哪些是主要因素，哪些是次要因素，哪些因素对系统发展影响大，哪些因素对系统发展影响小，哪些因素对系统发展起推动作用需加强，哪些因素对系统发展起阻碍作用需抑制……数理统计中的回归分析，方差分析，主成分分析等都是用来进行系统特征分析的方法。但数理统计中的分析方法往往需要大量数据样本，且服从某个典型分布。灰色关联分析方法弥补了采用数理统计方法作系统分析所导致的缺憾.它对样本量的多少和样本有无规律都同样适用,而且计算量小,十分方便,更不会出现量化结果与定性分析结果不符的情况。灰色关联分析的基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。曲线越接近，相应序列之间关联度就越大，反之就越小。例如某地区农业总产值,种植业总产值，畜牧业总产值和林业总产值，从1997-2002年共6年的统计数据如下：0X（18，20，22，35，41，46）1X（8，11，12，17，24，29）2X（3，2，7，4，11，6）3X（5，7，7，11，5，10）产值散点图01020304050199719981999200020012001年份产值农业种植业畜牧业林果业从直观上看，与农业总产值曲线最相似的是种植业总产值曲线，而畜牧业总产值曲线和林果业总产值曲线与农业总产值曲线在几何形状上差别较大。因此我们可以说该地区的农业仍然是以种植业为主的农业，畜牧业和林果业还不够发达。（一）关联度关联度分析是分析系统中各因素关联程度的方法，在计算关联度前应计算关联系数。（1）关联系数：设则关联系数定义为：0000ˆˆˆˆ1,2,...,XkXXXn00001,2,...,XkXXXn00000000ˆˆminminmaxmax()ˆˆmaxmaxXkXkXkXkkXkXkXkXk式中：为第k个点和的绝对误差为两极最小差为两极最大差成为分辨率，一般取对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系数前应首先进行初始化，即对该序列所有数据分别除以第一个数据00ˆXkXk0X0ˆX00ˆminminXkXk00ˆmaxmaxXkXk010.5（2）关联度和的关联度0Xk0ˆXk11nkrkn关联度计算方法1．根据评价目的确定评价指标体系，收集评价数据。设个数据序列形成如下矩阵：其中为指标的个数。m01010101111222,,mmmmxxxxxxXXXxnxnxnn2．确定参考数据列参考数据列应该是一个理想的比较标准，可以以各指标的最优值（或最劣值）构成参考数据列，也可根据评价目的选择其它参照值．记作1,2,,,1,2,,TiiiiXxxxnim．0000(1),2,,Xxxxm3．对指标数据序列用关联算子进行无量纲化（也可以不进行无量纲化），无量纲化后的数据序列形成如下矩阵：01010101111222,,,mmmmxxxxxxXXXxnxnxn常用的无量纲化方法有均值化像法、初值化像法等．1,110,1,,1,2,,.iiiiniikxkxkxkxkxxknimkn；4．逐个计算每个被评价对象指标序列与参考序列对应元素的绝对差值即；；5．确定与0()()()iikxkxk1,,kn1,,im011minmin()()nmiikMxkxk011maxmax()()nmiikmxkxk6．计算关联系数分别计算每个比较序列与参考序列对应元素的关联系数式中为分辨系数，在（0，1）内取值，越小，关联系数间的差异越大，区分能力越强．通常取0.5．0((),())()iimMrxkxkkM1,,kn7.计算关联度8．依据各观察对象的关联序，得出综合评价结果．0011(,)()niikrXXrkn灰色关联分析的应用举例利用灰色关联分析对6位教师工作状况进行综合评价。1．评价指标包括：专业素质、外语水平、教学工作量、科研成果、论文、著作与出勤．2．对原始数据经处理后得到以下数值，见下表131014.595%4kk优势分析为什么要进行优势分析？有时，参考列不止一个，被比较的因素也不止一个，这时，就需要进行优势分析。举例：某关联矩阵R潜在优势子因素，次潜在优势子因素；潜在优势母因素等应用举例：建筑业收入交通收入；商业收入；农业收入；工业收入国民收入；交通投资。科技投资；农业投资；工业投资；固定资产投资；如下：个子因素，个母因素某地区有:::::::::::,5665432154321YYYYYYXXXXXXYji行生成数累加生成的意义：应用举例图8-2图8-3存在的问题解决的方法图8-7没有累加生成时的误差为21.26%GM(1,1)模型（一）、数据的检验与处理首先，为了保证建模方法的可行性，需要对已知数据做必要的检验处理。设参考数据为，计算数列的级比如果所有的级比都落在可容覆盖内，则数列可以作为模型的数据进行灰色预测。(0)(0)(0)(0)[(1),(2),,()]Xxxxn(0)(0)(1)(),1,2,,()xkkknxk2211(,)nnee()k(0)X（二）、建立GM(1,1)模型的一般过程（数据预处理）1.累加生成。设为原始序列对进行一次累加生成，得生成序列其中,(0)X(0)(0)(0)(0)[(1),(2),,()]Xxxxn(1)(1)(1)(1)[(1),(2),,()]Xxxxn(0)X(1)(0)1()(),1,2,,kixkxiknGM(1,1)模型的一般过程（建立模型）2.建模。由构造背景值序列其中，一般取=0.5,建立白化方程(影子方程)为称之为GM(1,1)模型的原始形式(1)X(1)(1)(1)(1)[(2),(3),,()]Zzzzn(1)(1)(1)()(1)(1)()zkxkxk(2,3,,)kn(1)(1)dxaxbdtGM(1,1)模型的一般过程这里，符号GM(1,1)的含义如下：GM（1，1）GreyModel1阶方程1个变量将上式离散化，微分变差分，得到GM(1,1)微分方程如下：称之为GM(1,1)模型的基本形式。(0)(1)()()xkazkbGM(1,1)模型的一般过程（求解参数）其中a,b为待定系数，分别称之为发展系数和灰色作量,a的有效区间是(-2,1)。3.求解参数。应用最小二乘法可经下式得：其中,1ˆ(,)()TTTnaabBBBY(1)(1)(1)(1)(1)(1)11/2((1)(2)),11/2((2)(3)),11/2((1)()),xxxxBxnxn(0)(0)(0)[(2),(3),,()]nYxxxnGM(1,1)模型的一般过程（建立预测模型）4.建立预测公式(1)(0)(0)(1)(1)ˆ(1)((1))ˆˆˆ(1)(1)()akbbxkxeaaxkxkxkGM(1,1)模型的一般过程（模型检验）5.检验模型(1)求出与之残差，相对误差求出原始数据平均值,残差平均值:(0)11()nkxxkn(0)(0)ˆ()()()ekxkxk(0)()100%()kekxk(0)()xk(0)ˆ()xk()ekkxe(0)21()1nkeeknGM(1,1)模型的一般过程（模型检验）(2)求出原始数据方差与残差方差的均方差比值C和小误差概率p:当，，时，模型精度为一级。当发展系数时,则所建GM(1,1)模型则可用于中长期预测。21s22s2(0)2111[()]nksxkxn2(0)2211[()]nkseken0.35C0.95p(2,1)0.3aa且21Css(0)1{()0.6745}pPekes0.01kGM(1,1)模型的一般过程精度检验等级参照表相对误差关联度均方差比值小误差概率一级二级三级四级0.010.050.100.200.900.800.700.600.350.500.650.800.950.800.700.6000C0p级比偏差检验(3)级比偏差值检验据数据预处理中的级比和a求出级比偏差如果，则可认为达到一般要求；如果，则认为达到较高要求。()k10.5()1()()10.5akka()0.2k()0.2k例题设原始序列为：试用GM(1,1)模型对进行模拟。(0)(0)(0)(0)(0)(0)((1),(2),(3),(4),(5))Xxxxxx(0)X(2.874,3.278,3.337,3.390,3.679)