灰色预测原理及实例

LOGO灰色预测理论陈文广灰色系统的定义白色系统是指一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是完全充分的。黑色系统是指一个系统的内部信息对外界来说是一无所知的，只能通过它与外界的联系来加以观测研究。灰色系统是指“部分信息已知,部分信息未知”的“小样本”,“贫信息”的不确定性系统,它通过对“部分”已知信息的生成、开发去了解、认识现实世界，实现对系统运行行为和演化规律的正确把握和描述.青岛理工大学管理学院母板日期CompanyLogo例：人体是个灰色系统，人体某些外形参数：身高，体重．．．，以及某些内部参数：血压，脉搏，．．．但有更多的信息的：如人体穴位的多少及作用，人体体温场，人体的信息网络等．此外，社会系统，经济系统，生态系统，农业系统，商业系统等抽象系统没有物理原型，又不清楚系统的作用机理，很难判断信息的完备性，难以对系统关系，结构做精确地描述．人们只能凭逻辑推理，凭某些观念意识，凭某种准则对系统的结构，关系进行论证，然后再建立某种模型．这累抽象系统我们称为特征性灰色系统．严格说来，灰色系统是绝对的，而白色与黑色系统是相对的。社会，经济，农业等系统的预测，都属于特征性灰色系统的预测。青岛理工大学管理学院母板日期CompanyLogo灰色系统的定特点灰色系统模型的特点：对试验观测数据及其分布没有特殊的要求和限制，是一种十分简便的新理论，具有十分宽广的应用领域。灰色系统认为:尽管客观系统表象复杂,数据离散,但它们总是有整体功能的,总是有序的.因此,它必然潜藏着某种内在规律.关键在于要用适当方式去挖掘它,然后利用它。青岛理工大学管理学院母板日期CompanyLogo灰色系统的定义和特点常用的灰色预测有五种：（1）数列预测，即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。（2）灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。（3）季节灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测灾变值发生在一年内某个特定的时区或季节的灾变预测。（4）拓扑预测，将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的时点。（5）系统预测.通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。青岛理工大学管理学院母板日期CompanyLogo生成列为了弱化原始时间序列的随机性，强化规律性，在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。对原始数据的生成就是企图从杂乱无章的现象中去发现内在规律.常用的灰色系统生成方式有:累加生成,累减生成,均值生成,级比生成等,下面对这几种生成做简单介绍.青岛理工大学管理学院母板日期CompanyLogo累加生成AGO（AccumulatedGeneratingOperation）累加生成,即通过数列间各时刻数据的依个累加以得到新的数据与数列.累加前的数列称原始数列,累加后的数列称为生成数列.累加生成是使灰色过程由灰变白的一种方法,它在灰色系统理论中占有极其重要地位,通过累加生成可以看出灰量积累过程的发展态势,使离乱的原始数据中蕴含的积分特性或规律加以显化.累加生成是对原始数据列中各时刻的数据依次累加,从而生成新的序列的一种手段.青岛理工大学管理学院母板日期CompanyLogo数列累加【例1】设原始数据序列}7,10,8,3,6{})(,),2(),1({)0()0()0()0(Nxxxx对数据累加：(1)(0)(1)(0)(0)(1)(0)(0)(0)(1)(0)(0)(0)(0)(1)(0)(0)(0)(0)(0)(1)(1)6(2)(1)(2)639(3)(1)(2)(3)63+817(4)(1)(2)(3)(4)63+8+1027(5)(1)(2)(3)(4)(5)63+8+10+7xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx，，，，34.青岛理工大学管理学院母板日期CompanyLogo于是得到一个新数据序列(1){6,9,17,27,34}x青岛理工大学管理学院母板日期CompanyLogo当然，有些实际问题的数列中有负数(例如温度等)，累加时略微复杂。有时，由于出现正负抵消这种信息损失的现象，数列经过累加生成后规律性非但没得到加强，甚至可能被削弱。例如，给定原始数列X(0)=(1，一1，+3，一4)，如图3，累加后得图4，图4很难说比图3要好。青岛理工大学管理学院母板日期CompanyLogo对于这种情形，我们可以先进行移轴，然后再做累加生成。先将原始数据加+4，相当于将横坐标轴向下平移4个单位，得数据X(0)＝(5，3，7，0)，再进行累加生成，得X(1)＝(5，8，15，15)，图5表明数列X(1)有较强的规律。青岛理工大学管理学院母板日期CompanyLogo累减生成AGO（InverseAccumulatedGeneratingOperation）累减生成,即对数列求相邻两数据的差,累减生成是累加生成的逆运算,常简记为IAGO(InverseAccumulatedGeneratingOperation),累减生成可将累加生成还原为非生成数列,在建模过程中用来获得增量信息,其运算符号为∆.青岛理工大学管理学院母板日期CompanyLogo次累减为次累减为从而有关系式即无累加次累减为式中，i1),53(,,0))1(())(())(())1(())(())(())1(())(())(()())(()(10)(1)(1)()()()1()()1()()2()()()()0()()1()()()0(iriririrrrrorrrrkxkxkxkxkxkxkxkxkxkxkx青岛理工大学管理学院母板日期CompanyLogo从而可得下述关系)())(()())(()())(()()()()1()())1(())(())(()0()()()()()()2()()2()1(11)1(1)1()()()(0)(0)()1(kxkxkxkxkxkxkxixixkxkxkCxkxkxrrirrirrrkirkirrrrrr青岛理工大学管理学院母板日期CompanyLogo计算示例1),1()())(()()()()11,11,10,5,4,5(IGAO11)5()6()6(,611)4()5()5(,510)3()4()4(,45)2()3()3(,34)1()2()2(,25)1()0()1()1(,10)0(,0)1()()()46,35,24,14,9,5())6(),5(),4(),3(),2(),1((10)0()1()1()0()1()1()0()1()1()0()1()1()0()1()1()0()1()1()1()0()1()1()1()0()1()1()1()1()1()1()1(limtkxkxkxttkxkxdtkdxxxxxkxxxkxxxkxxxkxxxkxxxxkxkkxkxkxxxxxxxxt相当于而有求导性质，这是因为不难看出，累减生成具）（从而有：若解：）（青岛理工大学管理学院母板日期CompanyLogo均值生成.均值生成分为邻均值生成与非邻均值生成两种,[(1),(2),,()],(),()0.5()0.5(1),()Xxxxnkzkzkxkxkzk所谓就是对于等时距的数列,用相邻数据的平均值构造新的数据.即若有原始数列记点的生成值为且则称为邻均值生成数,显然,这种生成是相邻值的等邻均值生成权生成.青岛理工大学管理学院母板日期CompanyLogo,[(1),(2),,(),(1),,()],(),(),()0.5(1)0.5(1),()Xxxkxkxnkkzkzkxkxkzk所谓就是对于非等时距的数列,或虽为等时距数列,但剔除异常值之后出现空穴的数列,用空穴两边的数据求平均值构造新的数据以填补空穴,即若有原始数据这里为空穴记点的生成值为且则称为非邻均值生成数,显然,这种生成是空穴前后信息的非邻均值生成等权生成.青岛理工大学管理学院母板日期CompanyLogo级比生成级比生成是一种常用的填补序列端点空穴的方法.对数列端点值的生成,我们无法采用均值生成填补空缺,只能采用级比生级比生成.成是级比级比生(k成在建模中可以获得较好的灰)与光滑比(k)生成指数律.的总称.(0)(0)(0)(0)[(1),(2),,()],(),(),XxxxnKk设序列为原始序列称为级比为光滑比其表达式为(0)(0)(0)(1)()()/(1)()()/(1)(212)kxkxkkxkxk青岛理工大学管理学院母板日期CompanyLogo(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)[(1),(2),,(1),()],(1)(1),()(),(1)()Xxxnnxnxnxxn设为端点是空穴的序列若用右邻的级比生成用的左邻级比生成则称和为级比生成青岛理工大学管理学院母板日期CompanyLogo2灰色系统的模型1.建模原理给定观测数据列经一次累加得(1)(1)dxaxudt+=})(,),2(),1({)0()0()0()0(Nxxxx})(,),2(),1({)1()1()1()1(Nxxxx设满足一阶常微分方程(1)x（2.1）（2.2）（2.3）青岛理工大学管理学院母板日期CompanyLogo2灰色系统的模型此方程满足初始条件(1)(1)00()ttxxt当时的解为0()(1)(1)0()().attuuxtxteaa(2.3)’对等间隔取样的离散值(注意到）则为01t(1)(1)(1)[(1)].akuuxkxeaa(2.4)灰色建模的途径是一次累加序列（2.2）通过最小二乘法来估计常数a与u.青岛理工大学管理学院母板日期CompanyLogo2灰色系统的模型)1()1(x(1)(1)(1)(2),(3),...,()xxxN,1)1(ttt(1)(1)(1)(1)(0)(2)(2)(2)(1)(2),xxxxxt(1)(1)(0)(0)(3)()(3),...,().xxNxxNtt(0)(1)(0)(1)(0)(1)(2)(2),(3)(3),..............................()().xaxuxaxuxNaxNuìï+=ïïïï+=ïïíïïïïï+=ïïî因留作初值用，故将用差分代替微分，又因等间隔取样，分别代入方程(2.3),故得类似地有于是，由式（2.3）有青岛理工大学管理学院母板日期CompanyLogo2灰色系统的模型)()1(iax(0)(1)(0)(1)(0)(1)(2)[(2),1](3)[(3),1]()[(),1]axxuaxxuaxNxNutx)1()1(x)()1(ix)()(ixi由于涉及到累加列的两个时刻的值，因此，取前后两个时刻的平均代替更为合理，即将替换为把项移到右边，并写成向量的数量积形式(2.5)青岛理工大学管理学院母板日期CompanyLogo2灰色系统的模型将（2.5）写为矩阵表达式(0)(0)(0)T((2),(3),,()).yxxxN(1)(1)(0)12(1)(1)(0)12(1)(1)(0)12[(2)(1)]1(2)[(3)(2)