数列的概念及表示2

数列的概念及表示（2）苍溪中学文晋递推数列1,2,22,23,24,25,26,27,…,263的关系如何？与项思考：此问题中相邻两nnaa112nnaa观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型模型一：自上而下：第1层钢管数为4:即4＝1+3第2层钢管数为5:即5＝2+3第3层钢管数为6:即6＝3+3第4层钢管数为7:即7＝4+3第5层钢管数为8:即8＝5+3第6层钢管数为9:即9＝6+3第7层钢管数为10:即10＝7+3若用表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列.且3(17)nann=+＃na请同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。即:41a114512aa115623aa依此类推：11(27)nnaan-=+＃递推（或递归）数列的概念数列的若干连续项之间的关系叫递推关系。比如。由递推关系和初始条件确定的数列叫递推数列。比如1232nnnaaa1212,1,1nnnaaaaa如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种方法。数列的递推公式a1=a，an=f(an－1)，(n=2，3，4，…)例1：已知数列满足：a1=5,an=an－1+3（n≥2）（1）写出这个数列的前五项为。（2）这个数列的通项公式是。{}na{}na{}na{}na{}na{}na2．已知数列满足：a1=2,an=2an－1（n≥2）（1）写出数列的前五项为。（2）这个数列的通项公式是。由递推公式求通项公式例3已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋1n(n－1)(n≥2)，写出该数列的前五项及它的一个通项公式．解由递推公式得a1＝1，a2＝1＋12×1＝32，a3＝32＋13×2＝53，a4＝53＋14×3＝74，a5＝74＋15×4＝95.故数列的前五项分别为1，32，53，74，95.∴通项公式为an＝2n－1n＝2－1n.总结已知递推关系求通项公式这类问题要求不高，主要掌握由a1和递推关系先求出前几项，再归纳、猜想an的方法，以及累加：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1；累乘：an＝anan－1·an－1an－2·…·a2a1·a1等方法．已知数列{an}满足a1＝12，anan－1＝an－1－an，求数列{an}的通项公式．解∵anan－1＝an－1－an，∴1an－1an－1＝1.∴1an＝1a1＋1a2－1a1＋1a3－1a2＋…＋1an－1an－1＝2＋1＋1＋…＋1＝n＋1.∴1an＝n＋1，∴an＝1n＋1.（n-1）个1课时作业一、选择题1．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是()A.递增数列B.递减数列C.常数项D.不能确定A2．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝12an＋12n，则此数列第4项是()A.1B.12C.34D.58B3．若a1＝1，an＋1＝an3an＋1，给出的数列{an}的第34项是()A.34103B.100C.1100D.1104解析a2＝a13a1＋1＝13＋1＝14，a3＝a23a2＋1＝1434＋1＝17，a4＝a33a3＋1＝1737＋1＝110，猜想an＝13(n－1)＋1，∴a34＝13×(34－1)＋1＝1100.C4．已知数列{an}满足an＋1＝2an0≤an12，2an－112≤an1.若a1＝67，则a2010的值为()A.67B.57C.37D.17解析计算得a2＝57，a3＝37，a4＝67，故数列{an}是以3为周期的周期数列，又知2010除以3能整除，所以a2010＝a3＝37.C二、填空题6．已知数列{an}满足：a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，(n∈N*)，则使an100的n的最小值是________．127．设an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}从首项到第m项的和最大，则m的值是________．解析令an＝－n2＋10n＋11≥0，则n≤11.∴a10，a20，…，a100，a11＝0.∴S10＝S11且为Sn的最大值．10或11三、解答题8．已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：数列{an}是递减数列．(1)解因为f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n，所以=－2n，an－1an＝－2n，所以a2n＋2nan－1＝0，解得an＝－n±n2＋1.因为an0，所以an＝n2＋1－n.nnaa22loglog22(2)证明an＋1an＝(n＋1)2＋1－(n＋1)n2＋1－n＝n2＋1＋n(n＋1)2＋1＋(n＋1)1.又因为an0，所以an＋1an，所以数列{an}是递减数列．9．在数列{an}中，a1＝12，an＝1－1an－1(n≥2，n∈N*)．(1)求证：an＋3＝an；(2)求a2010.(1)证明an＋3＝1－1an＋2＝1－11－1an＋1＝1－11－11－1an＝1－11－1an－1an＝1－11－anan－1＝1－1an－1－anan－1＝1－1－1an－1＝1－(1－an)＝an.∴an＋3＝an.(2)解由(1)知数列{an}的周期T＝3，a1＝12，a2＝－1，a3＝2.又∵a2010＝a3×670＝a3＝2.∴a2010＝2.