数学建模中的模糊数学

关于模糊C任何新生事物的产生和发展，都要经过一个由弱到强,逐步成长壮大的过程，一种新理论、一种新学科的问世，往往一开始会受到许多人的怀疑甚至否定。模糊数学自1965年L.A.Zadeh教授开创以来所走过的道路，充分证实了这一点，然而，实践是检验真理的标准，模糊数学在理论和实际应用两方面同时取得的巨大成果，不仅消除了人们的疑虑，而且使模糊数学在科学领域中，占有了自己的一席之地。经典数学是适应力学、天文、物理、化学这类学科的需要而发展起来的，不可能不带有这些学科固有的局限性。这些学科考察的对象，都是无生命的机械系统，大都是界限分明的清晰事物，允许人们作出非此即彼的判断，进行精确的测量，因而适于用精确方法描述和处理。而那些难以用经典数学实现定量化的学科，特别是有关生命现象、社会现象的学科，研究的对象大多是没有明确界限的模糊事物，不允许作出非此即彼的断言，不能进行精确的测量。清晰事物的有关参量可以精确测定，能够建立起精确的数学模型。模糊事物无法获得必要的精确数据，不能按精确方法建立数学模型。实践证明，对于不同质的矛盾，只有用不同质的方法才能解决。传统方法用于力学系统高度有效，但用于对人类行为起重要作用的系统，就显得太精确了，以致于很难达到甚至无法达到。精确方法的逻辑基础是传统的二值逻辑，即要求符合非此即彼的排中律，这对于处理清晰事物是适用的。但用于处理模糊性事物时，就会产生逻辑悖论。如判断企业经济效益的好坏时，用“年利税在100万元以上者为经济效益好的企业”表达，否则，便是经济效益不好的企业。根据常识，显而易见：“比经济效益好的企业年利税少1元的企业，仍是经济效益好的企业”，而不应被划为经济效益不好的企业。这样，从上面的两个结论出发，反复运用经典的二值逻辑，我们最后就会得到，“年利税为0者仍为经济效益好的企业”的悖论。类似的悖论有许多，历史上最著名的有“罗素悖论”。它们都是在用二值逻辑来处理模糊性事物时产生的。客观实际中存在众多的模糊性事物和现象，促使人们寻求建立一种适于描述模糊事物和现象的逻辑模式。模糊集合理论便是在这种形势下应运而生的。模糊方法的逻辑基础是连续值逻辑，它是建立在[0，1]上的。如若我们把年利税在100万元以上者的属于“经济效益好”的企业的隶属度规定为1，那末，相比之下，年利税少1元的企业，属于“经济效益好”的企业的隶属度就应相应减少一点，比如为0.99999，依此类推，企业的年利税每减少1元，它属于“经济效益好”的企业的隶属度就要相应减少一点。这样下去，当企业的年利税为0时，它属于“经济效益好”的企业的隶属度也就为0了，显然，模糊方法的这种处理方式，是符合于人们的认识过程的，连续值逻辑是二值逻辑的合理推广。现代科学发展的总趋势是，从以分析为主对确定性现象的研究，进到以综合为主对不确定性现象的研究。各门科学在充分研究本领域中那些非此即彼的典型现象之后，正在扩大视域，转而研究那些亦此亦彼的非典型现象。自然科学不同学科之间，社会科学不同学科之间，自然科学和社会科学之间，相互渗透的趋势日益加强，原来截然分明的学科界限一个个被打破，边缘科学大量涌现出来。随着科学技术的综合化、整体化，边界不分明的对象，亦即模糊性对象，以多种多样的形式普遍地、经常地出现在科学的前沿。模糊集合理论自诞生以来，获得了长足的发展，每年全世界发表的研究论文的数量，以指数级速度增长。研究范围从开始时的模糊集合，发展为模糊数、模糊代数、模糊测度、模糊积分、模糊规划、模糊图论、模糊拓扑……等众多的分枝。和模糊集合理论的发展速度相比，模糊技术的应用虽稍迟一步，但也取得了令人可喜的进展。自1980年第一例应用模糊技术的产品问世以来，有关这方面的研究报告已逾7000多篇，制造出近千种模糊产品，如计算机、电饭煲、摄像机、微波炉、洗衣机、空调器等。如日本松下公司研制的智能化家用空调器，可根据内置的传感器提供的室内空气温度数据，在室温高或低于25℃时，会自动地“稍稍”调节空调器的阀门，进行4608种不同状态设定选择，从而获得最佳开启状态和尽可能少的消耗。而这种“稍稍”的程度，只有通过有经验的人的感觉来决定。模糊技术方法不是对精确的摒弃，而是对精确更圆满的刻画。它通过模糊控制规划，利用人类常识和智慧，理解词语的模糊内涵和外延，将各方面专家的思维互相补充。虽然，目前要使模糊技术接近于人的思维，尚难以做到，但正如日本夏普公司电子专家日吉考庄所说：一个普遍应用模糊技术的时代，不久就会到来。我国自70年代开始模糊数学研究以来，成就突出，已形成了2000至3000人的世界最庞大的研究队伍，并在高速模糊推理研究等领域，居世界领先地位。但同时在其它方面，也存在着一些差距，尤其突出的是实验室里的成果，还有许多未转化成经济效益。需要在政府和工业界的支持和参与下，成立专门的开发实体，制定规划，并积极开展国际交流，为我国21世纪的技术发展和科学腾飞奠定基础。第二章模式识别§2-1模式识别及识别的直接方法在日常生活中生活中，经常需要进行各种判断、预测。如图象文字识别、故障（疾病）的诊断、矿藏情况的判断等，其特点就是在已知各种标准类型前提下，判断识别对象属于哪个类型的问题。这样的问题就是模式识别。一、模糊模式识别的一般步骤模式识别的问题，在模糊数学形成之前就已经存在，传统的作法主要用统计方法或语言的方法进行识别。但在多数情况下，标准类型常可用模糊集表示，用模糊数学的方法进行识别是更为合理可行的，以模糊数学为基础的模式识别方法称为模糊模式识别。模式识别主要包括三个步骤：第一步：提取特征，首先需要从识别对象中提取与识别有关的特征，并度量这些特征，设nxx,,1分别为每个特征的度量值，于是每个识别对象x就对应一个向量),,,(21nxxx，这一步是识别的关键，特征提取不合理，会影响识别效果。第二步：建立标准类型的隶属函数，标准类型通常是论域),(1nxxU的模糊集，ix是识别对象的第i个特征。第三步：建立识别判决准则，确定某些归属原则，以判定识别对象属于哪一个标准类型。常用的判决准则有最大隶属度原则（直接法）和择近原则（间接法）两种。二、最大的隶属度原则若标准类型是一些表示模糊概念的模糊集，待识别对象是论域中的某一元素（个体）时，往往由于识别对象不绝对地属于某类标准类型，因而隶属度不为1，这类问题人们常常是采用称为“最大隶属度原则”的方法加以识别，这种方法（以及下面的“阈值原则”）是处理个体识别问题的，称为直接法。最大隶属度原则：设)(,21UFAAAn是n个标准类型，Ux0，若nkxAxAki1)(max)(00则认为0x相对隶属于iA所代表的类型。例1通货膨胀识别问题通货膨胀状态可分成五个类型:通货稳定;轻度通货膨胀;中度通货膨胀;重度通货膨胀;恶性通货膨胀.以上五个类型依次用R(非负实数域,下同)上的模糊集54321,,,,AAAAA表示,其隶属函数分别为:5],]35[exp[50,1)(21xxxxA))510(exp()(22xxA))720(exp()(23xxA))930(exp()(24xxA50,1500),)1550(exp[)(25xxxxA其中对0x,表示物价上涨%x。问40,8x时，分别相对隶属于哪种类型？解3679.0)8(1A，8521.0)8(2A0529.0)8(3A，0032.0)8(4A0000.0)8(5A0000.0)40(1A，0000.0)40(2A0003.0)40(3A，1299.0)40(4A6412.0)40(5A由最大隶属原则，8x应相对隶属于2A，即当物价上涨%8时，应视为轻度通货膨胀；40x，应相对隶属于5A，即当物价上涨%40时，应视为恶性通货膨胀。三、阈值原则在使用最大隶属度原则进行识别中，还会出现以下两种情况，其一是有时待识别对象0x关于模糊集nAAA21,中每一个隶属程度都相对较低，这时说明模糊集合nAAA21,对元素x不能识别；其二是有时待识别对象x关于模糊集nAAA21,中若干个的隶属程度都相对较高，这时还可以缩小x的识别范围，关于这两种情况有如下阈值原则。阈值原则：)(,21UFAAAn是n个标准类型，]1,0(,0dUx为一阈值（置信水平）令nkxAk1)(max0若d则不能识别，应查找原因另作分析。若d且有dxAi)(01，dxAi)(02…dxAmi)(0则判决0x相对地属于miiiAAA21例2三角形识别问题我们把三角形分成等腰三角形I,直角三角形R,正三角形E,非典型三角形T,这四个标准类型,取定论域CBACBACBAxxX,180),,,(这里CBA,,是三角形三个内角的度数，通过分析建立这四类三角形的隶属函数为：)]()[(6011)(CBBAxI(21)(xAn909011)(AxR)(18011)(CAxE]902,),(3),(3min[1801)(ACACBBAxT现给定，)45,50,85(),,(0CBAx，0x对上述四个标准类型的隶属度为：06.0)(7.0)(94.0)(916.0)(0000xTxExRxI由于0x关于I,R的隶属程度都相对高，故采用阈值原则，取8.0d，因8.0916.0)(0xI，8.094.0)(0xR，按阈值原则，0x相对属于I∩R,即0x可识别为等腰直角三角形。例3癌细胞识别在癌细胞识别问题中细胞分成四个标准类型，即：癌细胞)(M，重度核异质细胞)(N，轻度核异质细胞)(R，正常细胞。)(T选取表征细胞状况的七个特征：.:,:,:,:,:,:,:7654221核内平均透光率核内平均光密度核内总光密度细胞周长细胞面积核周长核面积xxxxxxx根据病理知识，反映细胞是否癌变的主要指标有以下六个，它们都是),,,(:721xxxxxX上的模糊集：12324612122512672741213125212121])4(1[)(,:])4(1[)(,:])lg(1[)(,:)1()(,:)1()(,:)()1()(:xxxFFxxxEExxxxDDxxCCxxBBaxaxAA细胞畸形核畸形核内染色质不匀核桨比例置核染色增深正常核面积核增大上述621,,,是适当选取的常数细胞识别中的几个标准类型分别定义为：ccccccRNMTNMCBARMCBANFEDCBAM212121)]([上述定义中的模糊集21A的隶属函数为21A21))(()(xAx。另两个模糊集21B、21C的隶属函数类似定义。给定待识别细胞Xx0，设0x的核面积等七个特征值为),,(070201xxx据此可算出)(0xM、)(0xN、)(0xR、)(0xT，最后按最大隶属度原则识别。例4冬季降雪量预报内蒙古丰镇地区流行三条谚语：（1）夏热冬雪大，（2）秋霜晚冬雪大，（3）秋分刮西北风冬雪大，现在根据三条谚语来预报丰镇地区冬季降雪量。为描述“夏热”)(1A、秋霜晚)(2A、秋分刮西北风)(3A等概念，在气象现象中提取以下特征：1x：当年6~7月平均气温2x：当年秋季初霜日期3x：当年秋分日的风向与正西方向的夹角。于是模糊集1A（夏热），2A（秋霜晚）、3A（秋分刮西北风）的隶属函数可分别定义为：202)(2111)(1111111211211111xxxxxxxxxxA其中1x是丰镇地区若干年6、7月份气温的平均值，1为方差，实际预报时取x=2,19c21=0.98222222222222201)(axxxaaxaxxxxA其中2x是若干年秋季初霜日的平均值，2a是经验参数，实际预报时取2x=17（即9月17日），2a=10（即9月10日）。