二次函数复习.ppt

红安思源实验学校邹素妮退出一、定义二、顶点与对称轴三、解析式的求法四、图象位置与a、b、c、的正负关系一、定义二、顶点与对称轴四、图象位置与a、b、c、的正负关系一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，那么，y叫做x的二次函数。三、解析式的求法一、定义二、顶点与对称轴三、解析式的求法四、图象位置与a、b、c、的正负关系y=ax2+bx+cy=a(x+)2+b2a4ac-b24a对称轴：x=–b2a顶点坐标：（–，）b2a4ac-b24a一、定义二、顶点与对称轴三、解析式的求法四、图象位置与a、b、c、的正负关系解析式使用范围一般式已知任意三个点顶点式已知顶点（h,k)及另一点交点式已知与x轴的两个交点及另一个点y=ax2+bx+cy=a(x-h)2+ky=a(x-x1)(x-x2)(1)a确定抛物线的开口方向：a0a0(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:c0c=0c0(3)a、b确定对称轴的位置:ab0ab=0ab0(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：Δ0Δ=0Δ0x=-b2a(1)a确定抛物线的开口方向：(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:(3)a、b确定对称轴的位置:(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：xy0a0a0c0c=0c0ab0ab=0ab0Δ0Δ=0Δ0x=-b2a(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:(3)a、b确定对称轴的位置:(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：xy0a0a0c0c=0c0ab0ab=0ab0Δ0Δ=0Δ0(1)a确定抛物线的开口方向：x=-b2a(1)a确定抛物线的开口方向：(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:(3)a、b确定对称轴的位置:(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：xy0•(0,c)a0a0c0c=0c0ab0ab=0ab0Δ0Δ=0Δ0x=-b2a(1)a确定抛物线的开口方向：(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:(3)a、b确定对称轴的位置:(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：xy0•(0,0)a0a0c0c=0c0ab0ab=0ab0Δ0Δ=0Δ0x=-b2a(1)a确定抛物线的开口方向：(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:(3)a、b确定对称轴的位置:(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：xy0•(0,c)a0a0c0c=0c0ab0ab=0ab0Δ0Δ=0Δ0x=-b2a(1)a确定抛物线的开口方向：(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:(3)a、b确定对称轴的位置:(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：xy0x=-b2aa0a0c0c=0c0ab0ab=0ab0Δ0Δ=0Δ0x=-b2a(1)a确定抛物线的开口方向：(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:(3)a、b确定对称轴的位置:(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：xy0x=-b2aa0a0c0c=0c0ab0ab=0ab0Δ0Δ=0Δ0x=-b2a(1)a确定抛物线的开口方向：(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:(3)a、b确定对称轴的位置:(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：xy0x=-b2aa0a0c0c=0c0ab0ab=0ab0Δ0Δ=0Δ0x=-b2a(1)a确定抛物线的开口方向：(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:(3)a、b确定对称轴的位置:(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：xy0•(x1,0)•(x2,0)a0a0c0c=0c0ab0ab=0ab0Δ0Δ=0Δ0x=-b2a(1)a确定抛物线的开口方向：(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:(3)a、b确定对称轴的位置:(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：xy0•(x,0)a0a0c0c=0c0ab0ab=0ab0Δ0Δ=0Δ0x=-b2a(1)a确定抛物线的开口方向：(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:(3)a、b确定对称轴的位置:(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：xy0•a0a0c0c=0c0ab0ab=0ab0Δ0Δ=0Δ0x=-b2a二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则在下列各不等式中成立的个数是____________1-10xy①abc0②a+b+c0③a+cb④2a+b=0⑤2b-4ac0开口方向:向上a0;向下a0对称轴:在y轴右侧a、b异号;在y轴左侧a、b同号与y轴的交点:在y轴正半轴c0;在y轴负半轴c0与x轴的交点:两个不同b2-4ac0;唯一b2-4ac=0;没有b2-4ac0a+b+c由当x=1时的点的位置决定;a-b+c由当x=-1时的点的位置决定例1-2如图：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的几个特例：1）、当x=1时，2）、当x=-1时，3）、当x=2时，4）、当x=-2时，y=y=y=y=6）、2a+b0.xyo1-12＞０＜０＞０＜０＞5）、b²-4ac0.＞a+b+ca-b+c4a+2b+c4a-2b+cy=ax2y=ax2+ky=a(x–h)2y=a(x–h)2+k上下平移左右平移上下平移左右平移各种顶点式的二次函数的关系左加右减上加下减将向左平移3个单位,再向下平移2个单位后,所得的抛物线的关系式是221xy2)3(212xy(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)例2例3：已知二次函数y=—x2+x-—（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求ΔMAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？x为何值时，y0？1232例1：已知二次函数y=—x2+x-—（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求ΔMAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？x为何值时，y0？1232解:（1）∵a=—0∴抛物线的开口向上∵y=—(x2+2x+1)-2=—(x+1)2-2∴对称轴x=-1，顶点坐标M（-1，-2）121212例1：已知二次函数y=—x2+x-—（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求ΔMAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？x为何值时，y0？1232解:(2)由x=0，得y=--—抛物线与y轴的交点C（0，--—）由y=0，得—x2+x-—=0x1=-3x2=1与x轴交点A（-3，0）B（1，0）32323212例1：已知二次函数y=—x2+x-—（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求ΔMAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？x为何值时，y0？1232解0xy(3)④连线①画对称轴x=-1②确定顶点•(-1,-2)••(0,-–)③确定与坐标轴的交点及对称点••(-3,0)(1,0)32例1：已知二次函数y=—x2+x-—（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求ΔMAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？x为何值时，y0？1232解0•M(-1,-2)••C(0,-–)••A(-3,0)B(1,0)32yxD：（4）由对称性可知MA=MB=√22+22=2√2AB=|x1-x2|=4∴ΔMAB的周长=2MA+AB=2√2×2+4=4√2+4ΔMAB的面积=—AB×MD=—×4×2=41212例1：已知二次函数y=—x2+x-—（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求ΔMAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？x为何值时，y0？1232解解0xx=-1••(0,-–)••(-3,0)(1,0)32:(5)•(-1,-2)当x=-1时，y有最小值为y最小值=-2当x≤-1时，y随x的增大而减小;例1：已知二次函数y=—x2+x-—（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求ΔMAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？x为何值时，y0？1232解:0•(-1,-2)••(0,-–)••(-3,0)(1,0)32yx由图象可知(6)当x-3或x1时，y0当-3x1时，y0返回巩固练习（1）二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是___________对称轴是_________。（2）抛物线y=-2x2+4x与x轴的交点坐标是___________（3）已知函数y=—x2-x-4，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是___________（4）二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象经过原点，则m=____。12（—，-—）12524x=—12（0，0）（2，0）x12返回归纳小结：（1）二次函数y=ax2+bx+c及抛物线的性质和应用注意：图象的递增性，以及利用图象求自变量x或函数值y的取值范围返回（2）a，b，c，Δ的正负与图象的位置关系注意：图象与轴有两个交点A（x1，0），B（x2，0）时AB=|x2-x1|=√(x1+x2)2+4x1x2=——这一结论及推导过程。√Δ|a|1、如图①，已知抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）与x轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.(3)设抛物线的对称轴与x轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．．1.如图①，已知抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）与x轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.Q(1,0)(-3,0)(0,3)y=-x²-2x+3Q(-1,2)(3)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．以M为圆心，MC为半径画弧，与对称轴有两交点;以C为圆心，MC为半径画弧，与对称轴有一个交点（MC为腰）。作MC的垂直平分线与对称轴有一个交点（MC为底边）。(1,0)(-3,0)(0,3)(-1,0)2．（2012•遵义）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，-)．（1）求抛物线的函数解析