第二章---波-动-方-程

第二章波动方程第一节一阶线性方程的特征线解法常微分方程初值问题：考虑连续性方程的初值问题：更一般的，考虑方程可变为方程(1.3)的特征线为利用常微分方程解法,得到用特征线方程解一阶偏微分方程的步骤：第二节初值问题（一维情形）2.1初值问题与两个基本物理原理可分解为如下三个初值问题：考虑初值问题：注意：对于混合问题，情况类似。叠加原理只对线性问题成立。定理2.1定解问题（2.2）和（2.4）的解可表示为注：利用变上限积分求导公式：证明:2.2解的表达式(行波法)求解定解问题（2.3）：利用特征线法求得：利用定理2.1可得定解问题（2.1）的解为：——一维非齐次波动方程初值问题解的Kirchhoff公式定理2.2：推论：1）弦振动方程的波动特征：左右传播波与传播速度的有限性考察自由振动方程：2.3依赖区间、决定区域和影响区域注：振动的波动性和传播的有限性：弦振动方程的解为左右传播波的叠加，因此称为波动方程；传播速度有限。例1若初值条件为试说明无界自由振动方程解的物理意义。()x-22012解：由达朗贝尔公式有随着时间的推移，其波形如图所示：0-2-424121t-224012-422t012-2-4240t3t012-2-4244t012-2-4245t012-2-4242）依赖区间、决定区域和影响区域看达朗贝尔公式，回答下面三个问题：特征线，斜率1/a特征线依赖区间x1xxatt1x决定区域2x2xxat一点的影响区域如图1xx2xt2xxat影响区域1xxat1xxt1xxat影响区域1xxat4)初值的奇性沿特征线向定解区域（上半空间）内传播。初值的奇性沿特征线向定解区域（上半空间）内传播。一、端点固定的情况(1)齐次端点条件考虑定解问题2.5半无界问题（延拓法）设此时定解问题为2(,),,0(3.13)(,0)(),(,0)(),,ttxxtUaUFxtxtUxxUxxx()0()11(,)()()()221(,)2xatxattxatxatuxtxatxatdaFsdsda则在上，有,0xt其中，对有0,x()(),()(),(,)(,).xxxxFxtfxt问题是，对x0,如何定义(),(),(,?)xxFxt或者说，如何把延拓到x0,使得u(0,t)=0?(),(),(,)xxfxt由微积分知，若一个连续函数g(x)在上是奇函数，则必有g(0)=0。故要使得解u(x,t)满足u(0,t)=0，只要u(x,t)是x的奇函数即可。而由命题1知，只要是x的奇函数。(),(),(,)xxFxt(,)为此，只需要对关于x作奇延拓。(),(),(,)xxfxt(),0,()(),0.xxxxx(),0,()(),0.xxxxx(,),0,0,(,)(,),0,0.fxtxtFxtfxtxt通过的奇延拓，得到定解问题(3.13)的解U(x,t)。问题(3.12)的解u(x,t)就是U(x,t)在上的限制，即(),(),(,)xxfxt0x0,t当时，有0xat1122()120()(,)[()()]()(,).xataxattxataxatuxtxatxatdfsdsd当时，有0,0xatx1122()()120(())(,)[()()]()(,)(,).xaxaatxtatxataxattxaxtaxtatuxtxatxatdfsdsdfsdsd(2)非齐次端点条件考虑定解问题例4.求解初值问题212(),0,0(,0)sin,(,0)1cos,0,(0,)0,0.ttxxtuauxtxtuxxuxxxutt解.把关于x奇延拓到12()sin,()1cos,(,)()xxxxfxtxt(,0),()sin,xx1cos,0()(1cos),0xxxxx1212(),0,0(,)(),0,0xtxtFxtxtxt得到新定解问题的解1122()120()(,)[()()]()(,),xataxattxataxatUxtxatxatdFsdsd限制在上，得到：0,0xt当时，有0xat23111412(,)sincossincos;auxtxattatxxtt当时，有0,0xatx31322232112(,)1sincos(333).xaaauxtxatxaxtaxtaxt§3初值问题(高维情形)三维波动方程的球对称解三维齐次波动方程的泊松公式和球平均法泊松公式的物理意义1.三维波动方程初值问题基本思路：将三维问题转化为一维问题（球面平均法）三维波动方程可描述声波、电磁波和光波等在空间中的传播，称为球面波。考虑初值问题§3初值问题(高维情形)则齐次方程(3.1)可化为或者等价地写成推导思路——球平均法其中另一方面，由于故有因此，有更进一步，因此,对于非齐次波动方程的初值问题由定理2.1得——三维非齐次波动方程初值问题的Kirchhoff公式于是例1.求解初值问题233(),(,,),0(,,,0),(,,,0)0,(,,)ttxxyyzztuauuuxyzRtuxyzxyzuxyzxyzR解.由Poisson公式得2001(,,,)4(sincossinsincos)]sin}uxyzttxyztatdd2001()sin4txyzddt22200(sincos)sinatdd2200sincosatdd.xyz例2.求解初值问题233(),(,,),0(,,,0),(,,,0),(,,)ttxxyyzztuauuuxyzRtuxyzyzuxyzxzxyzR解.法一.此处由Poisson公式得200(,,,)1sin(sinsin)(cos)4uxyzttyatzatddt,,yzxz2001sin(sincos)(cos)4xatzatdd20022200221sin(sinsincos4sincossin)sin(4cossincossincoscos).tyzzatyatttatddxzxatzatatdd由三角函数的周期性和正交性，有2200sincos0,dd00cossincos0.dd因此00(,,,)12sin2sin44uxyztttyzdxzdt.yztxz法二.由于定解问题是线性的，故可由叠加原理，令123,uuuu其中分别满足如下定解问题123,,uuu1211010,,00,,tttxxttuaxRtuxuuxRz2220022,,0,0,yytttttuuyzuayRtuyR3330032,,0,0,0zztttttuuuazRtuzR由达朗贝尔公式可分别求得以上三个定解问题的解，为11,2xatxatuzdxzta21[()()],2uzyatzyatyz30,u因此.uxztyz例4.求解初值问题233()2(),(,,),0(,,,0),(,,,0)0,(,,)ttxxyyzztuauuuytxyzRtuxyzxyzuxyzxyzR解.由例1，仅需计算推迟势2222000(,,,)142(sinsin)1sin4raratrataftdddaryrtrdddrar231.3ytt因此231(,,,).3uxyztxyzytt例5.求解二维初值问题2222(),(,),0(,,0)(,),(,,0)0,(,)tttxxyyuacuxyRtuxuuyxyuxyxyR解.令则v满足三维波动方程的初值问题(,,,,)(,,)czavxyztuxyte233(),(,,),0(,,0)(,),(,)0,(,,)ttczxxyyzzatvaxyzRtvxyexyvxyxZRvyvv由泊松公式(2.5)，有球面的方程为MatS2222()()()(),xyzat即222()()(),zatxy故222221,()()()atatxy将曲面积分化为平面上的二重积分，并注意到球面上下两半都投影于同一圆面，有(,)MatS21(,)(,,,)4MatcaSevxyztdSatt222222222(()()())2()()()(()()())22211(,,,)4(,)()()()czatxyaxyatczatxyavxyzteattateatxydd222()()()2222222()()()(,)()()()czaxyateatcchatxyaddatxy所以222()()()2222221(,,)2()()()(,)()()()xyatuxytatcchatxyaddatxy考虑非齐次波动方程初值问题二、二维齐次波动方程的初值问题（降维法）上述问题可看作三维问题，因此则由泊松公式可知，定解问题23300(),(,,),0(3.2)(,,),(,,),(,,)ttxxyyzztttUaUUUxyzRtUxyzUxyzxyzR的解221(,,)1(,,)(,,,)44MMatatSSUxyztdSdSattat其中球面2222{(,,)|()()()()}.MatSxyzat现计算球面上的积分MatS(,,)(,,)(,,)MatSSSdSdSdSttt下上其中上半球面222()()(),Szatxy上：下半球面222()()(),Szatxy下：它们的面积元222221,()()()dSddatddatxy且在平面上的投影区域均为圆域,SS下上(,)222{(,)|()()()},MatCxyat所以222(,,)(,)2.()()()MMatatSCatdSddttatxy同理222(,,)(,)2.()()()MMatatSCatdSddttatxy从而2222221(,)(,,,)2()()()1(,)(3.3)2()()()MatMatCCUxyztddatatxyddaatxy