通信原理课件 第3章 随机过程

信息科学与工程学院通信教研室通信原理PrinciplesofCommunications《通信原理》教学组信息科学与工程学院通信教研室第3章随机过程信息科学与工程学院通信教研室第3章随机过程毛用才,《随机过程》西安电子科技大学出版社张卓奎,《随机过程》西安电子科技大学出版社A.Papoulis,《概率、随机变量与随机过程》第4版西安交通大学出版社信息科学与工程学院通信教研室第3章随机过程3.1随机过程的基本概念3.2平稳随机过程3.3高斯随机过程3.4平稳随机过程通过线性系统3.5窄带随机过程3.6正弦波加窄带高斯噪声3.7高斯白噪声和带限白噪声信息科学与工程学院通信教研室本章学习目标随机过程的基本概念;随机过程的数字特征（均值、方差、相关函数）;随机过程的平稳性、各态历经性、自相关函数的性质、相关函数与功率谱密度的关系;高斯随机过程的定义、性质，其一维概率密度函数和正态分布函数，高斯白噪声;平稳随机过程通过线性系统，其输出过程的均值、自相关函数和功率谱密度、带限白噪声;窄带随机过程的表达式，其包络、相位的统计特性，其同相分量、正交分量的统计特性；正弦波加窄带高斯过程的合成包络的统计特性。信息科学与工程学院通信教研室第3章随机过程载有信息的信号是不可预测的，或者说带有某种随机性；干扰信息信号的噪声更是不可预测的。这些不可预测的信号和噪声都是随机过程。但随机信号和噪声的不可预测性的意义则是完全不同。随机信号的不可预测性是它携带信息的能力；而噪声的不可预测性则是有害的，它将使有用信号受到污染。信息科学与工程学院通信教研室3.1随机过程的基本概念例子：设有n台性能完全相同的接收机。在相同的工作环境和测试条件下记录各台接收机的输出噪声波形，测试结果表明，n条曲线中找不到两个完全相同的波形。这就是说，接收机输出的噪声电压随时间的变化是不可预知的，因而它是一个随机过程。随机过程更严格的定义：设Sk(k=1,2,…)是随机试验。每次试验都有一条时间波形（称为样本函数或实现），记作xi(t)，所有可能出现的结果的总体{x1(t),x2(t),…,xn(t),…}就构成一随机过程，记作ξ(t)简言之，无穷多个样本函数的总体叫做随机过程，如图3-1所示。信息科学与工程学院通信教研室2.1随机过程的基本概念和统计特性随机过程的基本特征体现在两个方面：其一，它是一个时间函数；其二，在固定某一观察时刻t1上，全体样本在t1时刻的取值是一个随机变量。x1(t)x2(t)xn(t)ttt样本空间S1S2Sn(t)tk信息科学与工程学院通信教研室3.1随机过程的基本概念3.1.1随机过程的分布函数设ξ(t)表示一随机过程，则它在任意时刻t1的值ξ(t1)是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述，其中11111(,)[()]FxtPtx＝称为随机过程ξ(t)的一维分布函数。1111111Fxtxfxt(,(),)则称f1(x1,t1)为ξ(t)的一维概率密度函数。如果F1(x1,t1)对x1的偏导数存在，即有信息科学与工程学院通信教研室3.1随机过程的基本概念随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻上的统计特性,而没有说明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系，为此需要进一步引入二维分布函数。任给两个时刻t1,t2，则随机变量ξ(t1)和ξ(t2)构成一个二元随机变量{ξ(t1),ξ(t2)}，称212121122FxxttPtxtx(,;,)(),()为随机过程ξ(t)的二维分布函数。如果存在2212121212122(,;,(,;,))Fxxttxxfxxtt则称f2(x1,x1;t1,t2)为ξ(t)的二维概率密度函数。信息科学与工程学院通信教研室2.1随机过程的基本概念和统计特性同理，可定义ξ(t)的n维分布函数和n维概率密度函数：1212121212(,...;,...,)(,...,;,...,)...nnnnnnnFxxtttfxxxtttxxx显然，n越大，对随机过程统计特性的描述就越充分。但问题的复杂性也随之增加。在一般实际问题中，掌握二维分布函数就已经足够了。121211(,...,;,...,){(),,()}nnnnnFxxxtttPtxtx信息科学与工程学院通信教研室3.1随机过程的基本概念和统计特性3.1.2随机过程的数字特征在大多数情况下，往往不容易或不需要确定随机过程的n维分布函数或概率密度函数，而是用随机过程的数字特征来部分地描述随机过程的主要特性。对于通信系统而言，这通常足以满足要求。1.数学期望设随机过程ξ(t)在任意时刻的数学期望，记为a(t)1atEtxfxtdx()[()](,)a(t)是时间t的函数，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心。信息科学与工程学院通信教研室2.1随机过程的基本概念和统计特性2.方差222221()()()(,()()())[]EtaDtEtEtxfxtdxtatD[ξ(t)]常记为σ2(t)。可见方差等于均方值与数学期望平方之差。它刻画了随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度。均值和方差描述了随机过程在各个孤立时刻的特征，为描述随机过程在两个不同时刻状态之间的联系，还需利用二维概率密度引入新的数字特征.信息科学与工程学院通信教研室2.1随机过程的基本概念和统计特性3.相关函数协方差函数定义为:12112211222121212(,)()()()()()()(,;,)BttEtattatxatxatfxxttdxdx衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联程度时，常用协方差函数B(t1,t2)和相关函数R(t1,t2)来表示。信息科学与工程学院通信教研室2.1随机过程的基本概念和统计特性相关函数定义为1212122121212(,)()()(,;,)RttEttxxfxxttdxdx由协方差函数与相关函数的定义式可知，二者关系为：121212BttRttatat(,)(,)()()若a(t1)=0或a(t2)=0，则B(t1,t2)=R(t1,t2)。若t2＞t1，并令t2=t1+τ，则R(t1,t2)可表示为R(t1,t1+τ)。这说明，相关函数依赖于起始时刻t1及t2与t1之间的时间间隔τ，即相关函数是t1和τ的函数。信息科学与工程学院通信教研室2.1随机过程的基本概念和统计特性由于B(t1,t2)和R(t1,t2)是衡量同一过程的相关程度，又常分别称为自协方差函数和自相关函数。两者所描述的随机过程的特征是一致的，今后将常用自相关函数。对于两个或更多个随机过程，可引入互相关函数。1212(,)()()RttEtt设ξ(t)和η(t)分别表示两个随机过程，则互相关函数定义为：信息科学与工程学院通信教研室3.2平稳随机过程3.2.1定义所谓平稳随机过程，是指它的统计特性不随时间的推移而改变。若一个随机过程ξ(t)的任意有限维分布函数或概率密度函数与时间起点无关，也就是说对于任意的正整数n和所有的实数Δ，有12121212(,,,;,,,)(,,,;,,,)nnnnnnfxxxtttfxxxttt统计特性与起始时间无关则称是严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。t()信息科学与工程学院通信教研室3.2平稳随机过程严平稳随机过程的一维分布，与时间t无关，二维分布只与时间间隔τ有关，即有如果一个随机过程ξ(t)，它的均值为常数，自相关函数仅是τ的函数，则称它为广义平稳随机过程。严平稳随机过程必定是广义平稳随机过程，反之不一定不成立。11111tfxfx(,)()12212212fxfxtxtx(,;)(,),;数字特征与起始时间无关信息科学与工程学院通信教研室3.2平稳随机过程通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。以后讨论的随机过程除特殊说明外，均假定是平稳的，且均指广义平稳随机过程，简称平稳过程。3.2.2各态历经性假设x(t)是平稳随机过程ξ(t)的任意一个实现，它的时间均值和时间相关函数分别为：221TTTaxtxtdtT//()lim()221TTTRxtxtxtxtdtT//()()()lim()()(3.2-6)信息科学与工程学院通信教研室3.2平稳随机过程如果平稳随机过程使下式成立aaRR()()则称该平稳随机过程具有各态历经性（遍历性）。“各态历经”的含义：随机过程中任一实现（样本）都经历了随机过程的所有可能状态。因此，只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征，从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。左端概率数字特征右端时间数字特征信息科学与工程学院通信教研室3.2平稳随机过程注意：具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程，但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。3.2.3平稳过程自相关函数对于平稳随机过程而言，它的自相关函数是特别重要的一个函数。其一，平稳随机过程的统计特性，如数字特征等，可通过自相关函数来描述；其二，自相关函数与平稳随机过程的谱特性有着内在的联系。因此，我们有必要了解平稳随机过程自相关函数的性质。信息科学与工程学院通信教研室3.2平稳随机过程［的平均功率］［的直流功率］［的偶函数］［的上界］［方差，的交流功率］20REt()[()]2REt()[()]RR()()0RR()()20RR()())(R)(t)(t)(t当均值为0时，有20R()具有下列主要性质：REtt()[()()]设ξ(t)为实平稳随机过程，则它的自相关函数代入性质1，2，就得到方差定义式只与时间间隔有关信息科学与工程学院通信教研室3.2平稳随机过程3.2.4平稳过程的功率谱密度确知的非周期功率信号的自相关函数与其功率谱密度是一对傅氏变换关系。对于平稳随机过程，也有类似的关系，即于是20RPfdfEt()()[()]jPfRed()()jRPfedf()()（3.2-17）信息科学与工程学院通信教研室3.2平稳随机过程因为R(0)表示随机过程的平均功率，它应等于功率谱密度曲线下的面积。因此，必然是平稳随机过程的功率谱密度函数。Pf()简记为RPf()()称为维纳-辛钦关系。根据上述关系式及自相关函数R(τ)的性质，不难推演功率谱密度有如下性质：Pf()0Pf()PfPf()()2.偶函数1.非负性RR()()243TfTEFfPfEPfppT()()()lim.信息科学与工程学院通信教研室3.2平稳随机过程【例3-1】某随机相位余弦波，其中A和均为常数，θ是在(0,)内均匀分布的随机变量。（1）求的自相关函数与功率谱密度；（2）讨论是否具有各态历经性。)cos()(θtωAtξccωπ2)(tξ)(tξ解：(1)先考察是否广义平稳。数学期望为：)(tξ)(tξ20012catEtAtd()[()]cos()的自相关函数为)(tξ均匀分布，概率密度函数信息科学与工程学院通信教研室3.2平稳随机过程212122cARttEttR(,)[()()]cos()因为数学期望为常数，自相关函数只与有关，所以，是广义平稳。)(tξ)(tξτ根据以及)()(ωPτRξccccos()()平均功率为：21022()()APRPd