通信原理课件：确定信号分析

通信系统原理主讲人:孙恩昌北京工业大学电控学院Email:[e-mail]本章的主要内容：傅氏级数傅氏变换功率谱密度和能量谱密度卷积与相关确定信号确定信号:指可以用确定的时间函数表示的信号.确定信号的分类周期信号和非周期信号,能量信号与功率信号,模拟信号与数字信号,基带信号与频带信号等周期信号若f(t)=f(t+T)对于任何t值成立,其中T为任一常数,则称f(t)为周期信号,T为其周期.一、傅立叶级数任何一个周期信号，只要满足狄里赫利条件，都可以表示为傅立叶级数。狄里赫利条件：①在一周期内只有有限个间断点；②在一周期内只有有限个极值点；③绝对可积：)(tfTttdttf00)(傅立叶级数的三种表示形式1、傅立叶级数的三角形式：式中称为傅立叶系数。是的平均值，即直流分量。,...2,1,0n,dt)tTn2cos()t(fT2a2/T2/Tn,...3,2,1,)2sin()(22/2/ndttTntfTbTTn2/0a)(tf0122()cos()sin()2nnnannftatbtTT2、傅立叶级数的另一种三角表示形式式中，3、傅立叶级数的指数形式为式中)tn2cos(d2a)t(fn1nn0badnnn22)a/barctan(nnnntTn2jnec)t(f0,02,02,02nnnnnajbnacnajbn2/2/21()0,1,2,jnTtTnTcfteTn讨论:①若f(t)=f(-t),则函数f(t)为偶函数,此时傅氏级数中只含有余弦项;②若f(t)=-f(-t),则函数f(t)为奇函数,此时傅氏级数中只含有正弦项;③若f(t+T/2)=f(t),则只含偶次谐波;④若f(t+T/2)=-f(t),则只含偶次谐波。二、傅立叶变换非周期信号可把它看作周期信号周期趋于无穷的一种极限情况。在指数形式的傅式级数展开中令可得：通常把称为的频谱密度，或简称频谱。傅立叶变换提供了信号在频域和时间域之间的相互变换关系。由到的变换叫傅氏正变换，而相反的变换称为傅氏反变换。一般来说，如果在每个有限区间内满足狄里赫利条件，且满足则傅氏变换存在，这是充分条件。傅立叶变换的性质常用傅立叶变换对deFtftj)(21)(dtetfFtj)()(其中)(F)t(f)(F)t(fdttf|)(|)t(fT三、功率谱密度和能量谱密度对于信号电压或电流f(t)，耗散在单位电阻上的瞬时功率可表示为|f(t)|2，而总能量为当信号的总能量为有限值时，称为能量信号，否则，总能量为无穷大而平均功率为有限值时，称为功率信号。dttfE2)(对于功率信号：定义信号f(t)在单位电阻上所消耗的平均功率为：（单位时间的能量）而对于能量信号，则定义信号f(t)在单位电阻上所散耗的能量为：可以看到能量信号的平均功率为零，故研究其功率无实际价值，而功率信号的能量为无穷大，因此也同样没有研究的价值。222)(1limTTTdttfTPdttfE2)(帕什瓦尔定理信号的能量可以分别从时域和频域计算利用帕什瓦尔定理可得：对于能量信号有：对于功率信号有：其中为截短的有限时间信号的傅式变换。以上几个式子反映的是信号在时域的总能量（或功率）等于信号在频域内的总能量（或功率），各式中等号左端反映的是信号能量或功率在时域的分布情况，右端为在频域的分布情况。)()(FtfdTFdttfTPTTTTT2222)(lim21)(1lim)(TF()()20TTfttft其他dFdttfE22)(21)(对于周期信号：（特殊的功率信号）周期信号的功率值等于信号所有谐波分量幅度的平方之和，即周期信号的总功率等于各频率分量单独贡献的功率之和从功率角度只能获得关于信号幅度的信息，得不到任何相位信息nnTTcdttfTP2222)(1为了用统一的形式来表示信号能量或功率在频域的分布规律，可分别定义能量谱密度和功率谱密度，则从频域计算信号的能量或功率的表达式可统一为：显然，对于能量信号有：而对于功率信号有：对于周期信号来说，同样可以推导出：)()(SdE)(21dSP)(212)()(FTFSTT2)(lim)(nTnncS)(2)(2信号的能量等于能量密度谱曲线下的总面积，表示信号能量沿频率轴的分布情况。信号的功率密度谱代表功率的频率分布或功率对频率的密度)()(S由于为分量的平均功率，所以由函数的抽样性质有：可见，dnccTnn)(222ncTnnTnnndnccP)(22nTndnc)(2nTndnc)(2212nTnncS)(2)(2四、卷积和相关1、卷积卷积就是一个函数与另一个函数折叠后相乘再积分，定义为：注意这里积分变量为，而结果是t的函数。卷积是一种特殊类型的乘积，因此满足交换律、分配律、结合律。)()()()()(2121tftfdtfftf任何函数与冲激函数卷积得出函数f(t)本身卷积定理设则有：)()()()(*)(tfdtfttf)()(*)(TtfTttf)()(*)(2121tttfttttf)()()()(2211FtfFtf)()()(*)(2121FFtftf)(*)(21)()(2121FFtftf2、相关相关运算类似于卷积，它是在时域中描述信号特征的一种重要方法，它是信号波形之间相似性或关联性的一种测度。定义：为非周期信号与的相关积分或相关函数。对于同周期的两个信号，则定义相关函数为：，其中星号表示复共轭。注意这里积分变量为t，而结果是的函数。dttftfR)()()(2*112)(1tf)(2tf222*112)()(1)(TTdttftfTR如果和是两个不同的函数，则称为互相关函数,表示为；如果和是同一个函数，则称为自相关函数，表示为等。注意：，次序一般不可交换。可证当，为实函数时，有)t(f2)t(f1)t(f1)t(f2)t(f2)t(f1)()(2112RR)(12R)(),(xxRR)()(*RR)t(f1)t(f2)()(2112RR)()(RR相关定理：信号的能量谱时域：，=对于功率信号来说，同样有信号的功率谱频域：duuFuFtftf)()(21)()(2121duuFuFtf)()(21|)(|1121)()()(2*112FFR2)()(FR)()(lim)(2STFRTT)(自相关函数的性质：1、复对称性：，实部为的偶函数，虚部为的奇函数2、对于能量信号：能量对于功率信号：平均功率3、4、周期信号自相关也是同周期的周期函数)()(*RREdttfR2)()0(222)(1)0(TTdttfTR)()0(RR卷积与相关卷积表明一个函数和另一个折叠函数的相关程度。当f1(t)为偶函数时，卷积和相关完全相等，因为偶函数和它的镜像函数相同。