高数 函数的单调性与极值

1主讲教师:王升瑞高等数学第十八讲2第九节一、函数的单调性二、函数的极值及其求法函数的单调性与极值第二章3一、函数的单调性若定理1.设函数则在I内单调递增,)0)((xf(递减).证:无妨设任取由拉格朗日中值定理得0故这说明在I内单调递增.在开区间I内可导,证毕I称为单调递增(递减)区间。4例1.确定函数的单调区间.解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)(xf得2,1xxx)(xf)(xf)1,(2001)2,1(),2(21故的单调增区间为,)1,();,2(的单调减区间为).2,1(12xoy12为驻点5yxo说明:1)单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,32xy2)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.例如,yox3xy6例2证明31tan0.32xxxx证：令331tan)(xxxxF22()sec1Fxxx))(tan(tanxxxx令xxxgtan)(22()sec1tan002gxxxx0)0(tan)(gxxxg0)(xF0)0()(FxF从而2031tan3xxxx成立22tanxx7例3.证明.)0(1arctan)1ln(xxxx证:设xxxxarctan)1ln()1()(,则0)0(211)1ln(1)(xxx)0(0x故0x时,)(x单调增加,从而0)0()(x即)0(1arctan)1ln(xxxx思考:证明)10(arcsin)1ln(11xxxxx时,如何设辅助函数更好?xxxxxarcsin1)1ln()1()(2提示:8例4求证)1ln(arctan22xxx证法一：设)1ln(arctan2)(2xxxxf0)0(fxxxxxxxfarctan21212arctan2)(220)0()(fxf当0x时)(0)(xfxf0)0()(fxf0)0()(fxf当0x时0)(xf综上可知，无论x为什么值，总有)1ln(arctan22xxx则不等式成立。当0x时)(0)(xfxf9例4求证)1ln(arctan22xxx证法2：设)1ln(arctan2)(2xxxxf0)0(fxxxxxxxfarctan21212arctan2)(220)(xfarctan则无论x为什么值，总有)1ln(arctan22xxx则不等式成立对f(x)在0与x之间应用拉格朗日中值定理，有xxxxarctan2)1ln(arctan22式中在0与x之间，由于与x同号，10例5证明在证明令在上利用拉格朗日中值定理得故当时，从而在内单调增加。内单调增加。此函数为幂指函数，两边取对数11例5证明方程2xxe在区间(0,1)内有且仅有一个实根。证明：设2xxexf在区间[0,1]上连续，020f021ef由零点定理，,1,0使0f即2xxe的根存在。又01xexfxxf单调增加。xf的图形至多与x轴有一个交点，所以方程仅有唯一解。12二、函数的极值及其求法定义:在其中当时,(1)则称为的极大点,称为函数的极大值;(2)则称为的极小点,称为函数的极小值.极大点与极小点统称为极值点.13注意:3x1x4x2x5xxaboy41,xx为极大点52,xx为极小点3x不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为0或不存在的点.1)函数的极值是函数的局部性质.31292)(23xxxxf例如(P146例4)为极大点,是极大值;是极小值.为极小点,12xoy1214定理2（极值存在的必要条件）()0.fx0()0fx()yfx如果在x0处可导，且在x0处取得极值，则（证明略）使的点称为函数的驻点。()yfx定理2告诉我们，可导函数的极值点必定是驻点，但驻点未必是极值点。寻求函数的极值点首先要找()yfx的驻点以及不可导的点，再判断其是否为极值点。15定理3(极值第一判别法),)(0的某邻域内连续在设函数xxf且在空心邻域内有导数,,0时由小到大通过当xx(1))(xf“左正右负”,;)(0取极小值在则xxf(2))(xf“左负右正”,.)(0取极大值在则xxf(自证)点击图中任意处动画播放\暂停x)(xf)(xf0xx0xx0x－0＋)(0xf为极小值0x为极小点如：16例1.求函数的极值.解:1)求导数235()3fxx1323x35235xx2)求极值可疑点令,0)(xf得;521x令,)(xf得20.x3)列表判别x)(xf)(xf0520033.0)0,(),0(52),(52是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为17定理4(极值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.证:(1))(0xf00)()(lim0xxxfxfxx0)(lim0xxxfxx,0)(0知由xf存在,0,00时当xx时，故当00xxx;0)(xf时，当00xxx,0)(xf0x0x0x由第一判别法知.)(0取极大值在xxf(2)类似可证.18例2.求函数的极值.解:1)求导数,)1(6)(22xxxf)15)(1(6)(22xxxf2)求驻点令,0)(xf得驻点1,0,1321xxx3)判别因,06)0(f故为极小值;又,0)1()1(ff故需用第一判别法判别.1xy119试问为何值时,axxaxf3sin31sin)(32x在时取得极值,解:)(xf由题意应有)32(f2a又)(xf)(xf取得极大值为3)(32f)32(3cos)32cos(a,3sin3sin2xx并求出该极值。指出它是极大还是极小，例31)21(a12a20内容小结1.可导函数单调性判别Ixxf,0)(在I上单调递增Ixxf,0)(在I上单调递减2.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0或不存在的点(2)第一充分条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值21思考与练习1.设,1)()()(lim2axafxfax则在点a处().)()(xfA的导数存在,；且0)(af)()(xfB取得极大值;)()(xfC取得极小值;)()(xfD的导数不存在.B提示:利用极限的保号性.222.设)(xf在0x的某邻域内连续,且,0)0(f,2cos1)(lim0xxfx则在点0x处).()(xf(A)不可导;(B)可导,且;0)0(f(C)取得极大值;(D)取得极小值.D提示:利用极限的保号性.,2)(lim0xxfx233.设)(xfy是方程042yyy的一个解,若,0)(0xf且,0)(0xf则)(xf在)(0x(A)取得极大值;(B)取得极小值;(C)在某邻域内单调增加;(D)在某邻域内单调减少.提示:0)(4)(00xfxfA24作业P1491（1）（2）；2；3(2)(4);4；5(2),(3)(6);6；7；8.25思考与练习]1,0[上,0)(xf则,)1(,)0(ff)0()1(ff或)1()0(ff的大小顺序是())0()1()0()1()(ffffA)0()0()1()1()(ffffB)0()1()0()1()(ffffC)0()1()0()1()(ffffD提示:利用)(xf单调增加,)10()()0()1(fff及B1.设在26.),(21)1,(2121e2.曲线21xey的凹区间是凸区间是拐点为提示:)21(222xeyx),(2121),(21及;;274、设函数由方程所确定，求的极值。令得代入原方程得由，所以函数在处有极小值解方程两边同时对x求导整理得289、设函数在内连续，在内存在，且，证明当时，函数单调增加。因，故单调增加，因此从而知单调增加。解