排列组合经典例题总结

基本原理组合排列排列数公式组合数公式组合数性质应用问题知识结构网络图：名称内容分类原理分步原理定义相同点不同点两个原理的区别与联系：做一件事或完成一项工作的方法数直接（分类）完成间接（分步骤）完成做一件事，完成它可以有n类办法，第i类办法中有mi种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…mn种不同的方法做一件事，完成它可以有n个步骤，做第i步中有mi种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1·m2·m3·…·mn种不同的方法.排列和组合的区别和联系：名称排列组合定义种数符号计算公式关系性质，mnAmnC(1)(1)mnAnnnm!()!mnnAnm!0!1nnAn==(1)(1)!mnnnnmCm-鬃?+=!!()!mnnCmnm=-01nC=mmmnnmACA=?mnmnnCC-=11mmmnnnCCC-+=+从n个不同元素中取出m个元素，按一定的顺序排成一列从n个不同元素中取出m个元素，把它并成一组所有排列的的个数所有组合的个数11mmnnAnA--=一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排这两个位置.先排末位共有___然后排首位共有___最后排其它位置共有___13C13C14C14C34A34A由分步计数原理得=28813C14C34A位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？练习1解一：分两步完成；第一步选两葵花之外的花占据两端和中间的位置35A有种排法第二步排其余的位置：3454AA共有种不同的排法44有A种排法解二：第一步由葵花去占位：24A有种排法第二步由其余元素占位：55A有种排法2545AA共有种不同的排法二.相邻元素捆绑策略例2.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.甲乙丙丁由分步计数原理可得共有种不同的排法55A22A22A=480解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，共有多少种不同的排法？练习2种不同的排法有288443322AAA三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种，55A第二步将4舞蹈插入第一步排好的5个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法46A由分步计数原理,节目的不同顺序共有种55A46A相相独独独元素相离问题,可先把没有位置要求的元素进行排队,再把不相邻元素插入中间和两端.马路上有编号为1、2、3…9的九盏路灯，为节约用电，现要求把其中3盏灯关掉，但不能关掉相邻的2盏或3盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法有多少种。练习3不同的关灯方法有：3510C=（种）四.定序问题缩倍(空位.插入)策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多多少种不同的排法.解:(缩倍法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7733AA（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有种坐法，则共有种方法47A147A思考:能否让甲乙丙先坐?（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有方法4*5*6*7定序问题可以用缩倍法，还可转化为插空模型处理练习题410人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少种排法？55105CC五.多排问题直排策略例5.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.先在前4个位置排甲乙两个特殊元素有____种,再排后4个位置上的特殊元素有_____种,其余的5人在5个位置上任意排列有____种,则共有_________种.前排后排24A14A55A24A55A14A一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.10名学生分坐两行，要求面对面坐下，但其中甲乙两位同学不可相邻也不可面对面，有多少种坐法？练习题5118478CCA118668CCA共有118118478668CCACCA+(1)甲在两端：(2)甲不在两端：六.排列组合混合问题先选后排策略例6.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有__种方法.再把5个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有_____种方法.25C44A根据分步计数原理装球的方法共有_____25C44A解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.练习题6某种产品有4只次品和6只正品，每只均不同且可区分，今每次取出一只测试，直到4只次品全部测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试中被发现的不同情况有多少种？314464576CCA=七.相同元素分配问题隔板策略例7.有10个三好学生名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有___________种分法。一班二班三班四班五班六班七班69C将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为11mnC--练习题7有编号为1、2、3的3个盒子和10个相同的小球，现把这10个小球全部装入3个盒子中，使得每个盒子所装球数不小于盒子的编号数，这种装法共有多少种?2615C=八.正难则反间接法例8.四面体的顶点和各棱中点共10个点，从中取4个不共面的点，不同的取法有多少种？44106(463)141CC-++=取出的4点不共面情形复杂，故采用间接法。取出的4点共面有三类：464C（1）过四面体的一个面有种；（2）过四面体的一条棱上的三个点和对棱的中点的平面有6种；（3）过四面体的四条棱的中点且与另两条棱平行的平面有3种；故取4个不共面的点有以一个正方体的顶点为顶点，能组成多少个不同的四面体？481258C-=练习8解排列组合题的常用方法6.排列组合混合题先选后排法1.特殊元素优先考虑2.不相邻问题插空法3.相邻问题捆绑法4.定序问题缩倍法5.多排问题直排法7.相同元素分配问题隔板法8.正难则反间接法练习1.（1）6本不同的书分给5名同学每人一本，有多少种不同分法？（2）5本相同的书分给6名同学每人至多一本，有多少种不同的分法？（3）6本不同的书全部分给5名同学每人至少一本，有多少种不同的分法？1.分配问题56A56C5526AC捆绑法第2课时排列组合综合应用练习1（5）6本不同的书分给甲、乙、丙3名同学每人两本，有多少种不同分法？（4）6本不同的书分给3名同学，甲1本、乙2本、丙3本，有多少种不同的分法？3333222426).(2AACCC：解2224261CCC：解332516CCC解：分配问题均分有序注：222426CCC捆绑法练习1（6）8本不同的书分给3名同学，其中1名同学2本、另两人3本，有多少种不同分法？3322333628).(AACCC解：分配问题练习1（7）7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社会公益活动，若每天安排3人，者有多少种不同的安排方法？34371CC：解分配问题22223437).(2AACC：解练习1：（8）将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每个班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有多少？分配问题90).(33222325AACC解：练习2：（1）7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子中，共有多少种不同的方法？分配问题解：相当于将7个小球用3块隔板分成4份隔板法3101037C共有不同方法数隔板数小球数解：练习2：（2）7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子中，每个盒子至少有1个小球的不同放法有多少种？分配问题解：将7个小球用3块隔板分成4份但盒子又不能空隔板法3667C有不同方法数个空隙个小球有解：练习3：四面体的一个顶点是A，从其它顶点和各棱中点中取3个点，使他们和点A在同一个平面上，则共有多少种不同的取法？2.组图形问题3335C解：练习4：用正方体的8个顶点共可以组成多少个不同的四面体？2.组图形问题)246(4448CC解：练习5：10双不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任取4只，试求符合下列各种情形的方法数？先成双后成单3360.112121212410CCCCC：解210C解：3360...244114116118120ACCCC：解（1）4只鞋子恰成两双；(2)4只鞋子没有成双；1140.121229110CCCC解：(3)4只鞋子恰有2只成双；练习6：8名外交工作者，其中3人只会英语，2人只会日语，3人既会英语又会日语，现从则8人中选3个会英语，3个会日语的人去完成一项任务，有多少种不同的选法？3333342312351322.).().(CCCCCCCC解：3.选人问题例10：给下面的5个行政区域涂色，要求相邻区域不同色，现有4种颜色可供选择，问共有多少种不同的涂色方案？4.涂色问题23154种）共有种颜色涂色有：）用种颜色涂色有：）用解：分两类完成(7242314412333444123334ACACACAC练习7：用4种颜色给下面的5个行政区域涂色，要求相邻区域不同色，问共有多少种不同的涂色方案？练习8：6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种不同的分法？540).()..().(3333222426332211124633112336AACCCAACCCACCC解：5.综合问题练习9：从5男3女中选5人担任5门不同学科的课代表，求符合下列条件的不同选法？5535234513).(ACCCC解：5综合问题（1）有女生担人数必须少于男生；（2）男生只能担任数学化学物理课代表；233335332325..AACAAC解：练习10：3张卡片正反面分别写着数字0与1、3与4、5与6，将三张卡片并排组成三位数，共可以组成多少个不同的三位数？5综合问题22121233121212..ACCACCC解：